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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 04.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Aufgabe:
Sei A nichtleer und Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Außerdem sei A abgeschlossen und offen. Zeigen Sie, dass [mm] A=\IR.
[/mm]
Hallo.
Und zwar ist seit kurzem die Probeklausur online und hab mich auch mal dran gewagt xD Ist eigentlich ganz ok, nur ein Beweis scheint mir für 18 Punkte zu simpel. Habe auch die Lösung nicht, deswegen frag ich hier nach.
Also, hab erstmal nochmal die Defintionen hingschrieben.
Demnach gilt also:
Da A abgeschlossen, ist jeder Berührpunkt von A auch Element von A.
Da A offen, ist jeder innere Punkt von A auch Element von A.
So, nach Skript gilt, dass [mm] \IR [/mm] sowohl abgeschlossen als auch offen ist wie auch die leere Menge (aber A ist hier ja nichtleer nach Vor.)
Das heißt, dass es doch durchaus reichen würde, dass eine andere Menge außer [mm] \IR [/mm] nicht in Frage kommt, oder? Also führt man das auf einen Widerspruch.
Ist das prinzipiell richtig?
Nur komme ich jetzt nicht weiter, weil ich keinen Ansatz finde. Bitte wirklich nur Tipps.
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja Widerspruch ist die richtige idee. fang an mit M abgeschlossen aber nicht ganz R d. h es gibt mindestens einen punkt a in R der nicht dazugehört, also auch nicht HP in R ist. was kannst du damit weiter machen?
Dann noch benutzen, dass M ja uch offen ist.
na ja das dazwischen musst du ausfüllen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:46 Fr 04.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo.
Danke erstmal für deine Antwort.
Genau das wollte ich ja auch. Ich wähle eine Menge M als echte Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Dann ex. ein Punkt a [mm] \in [/mm] K\ M (K als Komplement).
Kannst du mir vllt. erklären, was man genau unter einem Häufungspunkt versteht? Was ein Berührpunkt ist, ist mir klar, aber nicht der HP.
Denn ich wüsste jetzt nicht, warum a nicht HP in [mm] \IR [/mm] sein sollte. Oder kann ich den Begriff fast schon als BP verstehn. Nur darf die Folge für HP nicht konstant sein.
Kannst du mir das vllt erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hatte mich verschrieben, a ist nicht HP in M.
a ist nicht Berüuhr punkt und nicht innerer Punkt von M was weisst du dann über a (bitte definier Berührpkt. wie ihr es gemacht habt für mich
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:06 Fr 04.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Also, erstmal die Defintionen.
a ist BP von X genau dann, wenn es eine Folge [mm] (x_{n}) \in x^{\IN} [/mm] gibt mit
[mm] (x_{n}) \to [/mm] a.
a ist BP von X genau dann, wenn [mm] B_{\IK}(a, \varepsilon) \cap [/mm] X [mm] \not= \emptyset \forall \varepsilon [/mm] >0
a liegt auf jeden Fall im Komplement von M. Also, da M nun abgeschlossen, ist das Komplement von M offen. Dann müsste a ein innerer Punkt des Komplements sein. Aber was nun?
Danke nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:58 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
a in M nicht BP dann gibte es eine Umg. von a in der kein pkt von M liegt.
also gibt es einen nächsten Punkt b in M zu a mit einem abstand r>0
b ist in M, m ist eine offene Menge??
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Fr 04.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..sry, aber so ganz verstehe ich das jetzt nicht.
Also..nochmal xD
Man weiß, dass [mm] \IR [/mm] abg. und offen ist. Also zeige man, dass für jede andere Menge M [mm] \subseteq \IR [/mm] gilt, dass diese nicht zugleich abg. und offen sein kann. Die leere Menge wird ja hier nach Vor. ausgeschlossen.
Wenn M aber nun eine echte Teilmenge von [mm] \IR [/mm] ist, ex. mind. ein Punkt a [mm] \in \IR [/mm] \ M. Bisher richtig?
Jetzt verstehe ich aber nicht, wieso a kein BP von M ist. Nach Vor. ist M doch abgeschlossen.
Danke vielmals. vllt hab ich deine Antwort aber auch falsch verstanden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Fr 04.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hall
er ist nicht BP weil er sonst in der abgeschl Menge wäre. wir hatten doch gesagt wenn m nicht [mm] \IR [/mm] ist dann gibt es einen Punkt a, [mm]a\not\in M[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:39 Sa 05.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..bin irgendwie verwirrt.
Also, M ist echte Teilmenge von [mm] \IR. [/mm] Dann ex. ein Punkt a [mm] \not\in [/mm] M. Und dieses a ist jetzt kein BP von M (könnte aber Berührpunkt des Komplements von M sein, oder?)
Richtig so? Aber ich seh nicht ganz, was mir das bringen soll. Danke vielmals.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Sa 05.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a ist nicht in M, aber M nicht leer. dann gibt es einen Punkt in M der a am nächsten ist, ich nenn ihen [mm] b\in [/mm] M b hat einen Abstand r>0 von a, da a eine Umgebung hat in der kein Punkt von M liegt. jetzt ist b ja auch Punkt der offenen menge M, denn M ist ja auch offen.
Eben seh ich, dass ich das schon mal gesagt hab. du hast damit nichts gemacht?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Sa 05.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke für deine Hilfe bzw. auch deine Mühe ;)
Naja, ich hab das eben nur nicht verstanden :(
Warum hat a eine Umgebung, in der kein Punkt von M liegt? Sry, aber ist für mich noch nicht erkennbar.
Also ist b als innerer Punkt auch Element von M (nach Def. von Offenheit einer Menge).
Aber wo ist da ein Widerspruch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 05.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a liegt nicht in M, d.h. es ist kein BP, was folgt daraus?
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Sa 05.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Das würde doch bedeuten, dass alle Epsilon-Umgebungen keinen Punkt von M enthalten, also:
[mm] B_{\IK}(a, \varepsilon) \cap [/mm] M = [mm] \emptyset
[/mm]
Richtig so? Aber was daraus folgern? Ich muss doch jetzt irgendwie einen Widerspruch zur Offenheit von M einbringen, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Sa 05.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Das würde doch bedeuten, dass alle Epsilon-Umgebungen
> keinen Punkt von M enthalten, also:
nein, sicher nicht alle, sondern es gibt ein [mm] \epsilon_m>0, [/mm] so dass für alle [mm] \epsilon<\epsilon_m [/mm] gilt
> [mm]B_{\IK}(a, \varepsilon) \cap[/mm] M = [mm]\emptyset[/mm]
jetzt nimm den punkt in M der am nächsten zu a liegt, also in dem Abstand [mm] \epsilon_m>0 [/mm] hat. ist das ein Punkt einer offenen Menge?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Sa 05.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ach sry, habe falsch negiert. Eigentlich meinte ich nicht alle, sondern eine epsilon-Umgebung. ;) Aber gut.
Boah..ist das kompliziert :( Mal sehn, ob ich das doch noch verstehe.
Nun bin ich soweit, dass der Punkt a nicht in M liegt und somit kein BP von M ist. Somit gibt es eine epsilon-Umgebung, die kein Element von M enthält, also ex. ein [mm] \varepsilon [/mm] mit
[mm] B_{\IK}(a, \varepsilon) \cap [/mm] M = [mm] \emptyset [/mm]
Dieses Epsilon ist also jetzt kleiner als ein gewisses [mm] \epsilon_{M}
[/mm]
Jetzt sei b ein Punkt der Menge M, der a am nächsten liegt.
Offen wäre M doch dann, wenn ein [mm] \varepsilon [/mm] ex. mit B(b, [mm] \varepsilon) \subseteq [/mm] M(stimmt das gleich hier oder muss es eine echte Teilmenge sein???)
Aber warum sollte M jetzt nicht offen sein? Ich versteh das irgendwie nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Sa 05.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
b ist der nächste Punkt der Menge, jede Umgebung von b enthält Punkte aus der Umgebung von a die nicht in M liegen. kann b ein innerer Punkt sein?
(übrigends freds argument ist natürlich schneller, aber wenn ihr all die begriffe nicht hattet wohl nicht direkt anwendbar.)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Sa 05.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
> b ist der nächste Punkt der Menge, jede Umgebung von b enthält Punkte
> aus der Umgebung von a die nicht in M liegen.
Und genau das versteh ich nicht, wie man darauf kommt. Woher weiß ich, dass jede Umgebung von b Punkte aus der Umgebung von a enthält?
Die Folgerung ist aber dann klar. b kann dann kein innerer Punkt sein, da die Umgebung von b komplett in M liegen müsste (salopp formuliert) und das wäre ja dnan nicht der fall. Folglich ist die Menge dann nicht offen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:56 So 06.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
b war doch der a am NÄCHSTEN gelegene BP also liegen zwischen a und b keine punkte aus M
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Sa 05.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Eine Möglichkeit, wenn man weiß, was "zusammenhängend" bedeutet:
1. A ist offen
2. A ist abgeschlossen, also ist [mm] $B:=\IR \setminus [/mm] A$ offen.
3. A und B sind disjunkt und [mm] $\IR [/mm] = A [mm] \cup [/mm] B$
Da [mm] \IR [/mm] zusammenhängend ist, folgt: A = [mm] \emptyset [/mm] oder B= [mm] \emptyset.
[/mm]
Da A nichtleer ist ist B= [mm] \emptyset, [/mm] also A= [mm] \IR
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Sa 05.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke für die Antwort.
Nur ist mir der Begriff "zusammenhängend" nicht bekannt. Ich weiß nur, dass ein Intervall eine zusammenhängende Teilmenge von [mm] \IK [/mm] ist.
Dürfte ich den Begriff dann trotzdem benutzen? Anschaulich kann man sich ja vorstellen, was mit einer zusammenhängenden Menge gemeint ist.
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> Danke für die Antwort.
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> Nur ist mir der Begriff "zusammenhängend" nicht bekannt.
> Ich weiß nur, dass ein Intervall eine zusammenhängende
> Teilmenge von [mm]\IK[/mm] ist.
>
> Dürfte ich den Begriff dann trotzdem benutzen?
Hallo,
nein, wenn der Begriff nicht bekannt ist, sind auch keine entsprechenden Sätze und Folgerungen bekannt, mit der Folge, daß Du sie nicht verwenden darfst.
Du darfst natürlich die entsprechenden Sätze selbst beweisen und dann verwenden, bzw. Deinen eigenen Beweis angelehnt daran führen.
Aber einfach zu schreiben: "weil's zusammenhängt, muß ja pipapo gelten", geht in Deinem Fall nicht.
Gruß v. Angela
> Anschaulich
> kann man sich ja vorstellen, was mit einer
> zusammenhängenden Menge gemeint ist.
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