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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Frage zum Integral einer FKT
Frage zum Integral einer FKT < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Frage zum Integral einer FKT: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:56 Do 15.12.2005
Autor: K-D

Hallo,

ich soll folgendes Integral berechnen:

[mm] \integral_{0}^{\pi} [/mm] { [mm] \bruch{1}{e^{-2 i t}+1} [/mm] dt}

Durch Substitution erhalte ich:

z= 4 [mm] e^{-2 i t}+1 [/mm]

und

[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {- [mm] \bruch{1}{2 i z} [/mm] dt}

Dies ist jetzt ein Verzweigungspunkt und ich bekomme als Lösung

i/2 [ln (2 [mm] e^{-2i t}+1)+ [/mm] i(2t+ 2 [mm] \pi [/mm] k)] = -2 [mm] \pi [/mm]

Mathematica liefert aber [mm] \pi [/mm] als Ergebnis

Deshalb wollte ich fragen, was ich bei der Rechnung falsch mache...

Danke,

KD

        
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Frage zum Integral einer FKT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Do 15.12.2005
Autor: Leopold_Gast

Da wird ja gnadenlos über eine Singularität hinwegintegriert: Für [mm]t = \frac{\pi}{2}[/mm] verschwindet nämlich der Nenner des Integranden. Auch die folgende Umformung zeigt dies:

[mm]\frac{1}{\operatorname{e}^{-2 \operatorname{i} t} + 1} \ = \ \frac{\operatorname{e}^{\, \operatorname{i} t}}{2 \cdot \frac{\operatorname{e}^{\, \operatorname{i} t} + \operatorname{e}^{- \operatorname{i} t}}{2}} \ = \frac{1}{2} \, \frac{\operatorname{e}^{\, \operatorname{i} t}}{\cos{t}} \ = \ \frac{1}{2} \left( 1 + \operatorname{i} \, \tan{t} \right)[/mm]

Und jetzt beachte das Verhalten der Tangensfunktion bei [mm]t = \frac{\pi}{2}[/mm].

Überprüfe bitte deine Angaben.

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Bezug
Frage zum Integral einer FKT: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Do 15.12.2005
Autor: K-D

Hallo,

stimmt ich habe mich wirklich verschrieben.
Sorry...

Jetzt nochmal richtig:

Ich soll über  [mm] \integral_{c}^{} {\bruch {1}{z^{2}+1} dz} [/mm]
integrieren mit
[mm] z=\bruch{1}{2} e^{2 i t} [/mm] für t von 0 bis [mm] \pi [/mm]

Eingesetzt und umgeformt erhalte ich dann:

[mm] \integral_{0}^{\pi} {\bruch {1}{\bruch {1}{4} e^{2 i t}+1} dt} [/mm]
bzw.
[mm] \integral_{0}^{\pi} {\bruch {4 e^{-2 i t}}{4 e^{-2 i t}+1} dt} [/mm]

jetzt substituiere ich:

z=4 [mm] e^{-2 i t}+1 [/mm]
dz = -8 i [mm] e^{-2 i t} [/mm]

und bekomme als lösung von

[mm] \integral_{a}^{b} {\bruch {1}{-2 i z} dz} [/mm]

[mm] \bruch{i}{2}[ln(2 e^{-2 i t}+1)+(2 [/mm] i t+ 2 [mm] \pi [/mm] k)]

wobei k die Nummer des Riemannschen Blattes angibt
(bei t=0 0 und bei [mm] t=\pi [/mm] 1)

Dafür erhalte ich aber dann nicht nur [mm] \pi [/mm] ...


Grüße,

KD

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Frage zum Integral einer FKT: kl. Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Do 15.12.2005
Autor: Herby

Hallo K-D,


du hast da kleine Fehler eingebastelt:

[mm] \vektor{\bruch{1}{2}*e^{2it}}^{2}=\bruch{e^{\red{4}it}}{4} [/mm]

als Integral erhältst du

[mm] x+\bruch{ln(e^{4it}+4)*i}{4} [/mm]

und dann kommt auch [mm] \pi [/mm] raus


Liebe Grüße
Herby

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Bezug
Frage zum Integral einer FKT: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 Do 15.12.2005
Autor: K-D

Danke :)

Und warum kommt dort das x (vermutlich t) dazu?

$ [mm] x+\bruch{ln(e^{4it}+4)\cdot{}i}{4} [/mm] $

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Frage zum Integral einer FKT: ups
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:24 Do 15.12.2005
Autor: Herby

[huhu]

natürlich t - das x ist mir nur so dazwischen geraten [sorry]


lg
Herby

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Frage zum Integral einer FKT: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:28 Do 15.12.2005
Autor: K-D

Könntest du mir deine Rechnung erklären,
weil Mathematica liefert die selbe Stammfunktion,
aber ich verstehe halt nicht wieso.

Da ich nicht die zusätzliche t-Abhängigkeit bekomme...

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Frage zum Integral einer FKT: sorry -edit-
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:40 Do 15.12.2005
Autor: Herby

Hallo nochmal,

sorry, aber ich muss zum Zug - wenn es bis morgen noch keiner gemacht hat (was ich natürlich nicht glaube ;-) ) - dann mach ich das!

----- hatte sie mir doch einfacher vorgestellt, die Funktion - mal schauen, was draus wird ;-) -----


--- @ Leopold: deine Aussage verstehe ich nicht! Könntest du noch einmal erläutern, was du damit sagen willst?

Liebe Grüße
Herby

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Frage zum Integral einer FKT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 Fr 16.12.2005
Autor: Julius

Hallo!

Wie Leopold schon richtig meinte, gilt:

[mm] $\int\limits_c \frac{1}{1+z^2}\, [/mm] dz = [mm] \int\limits_0^{\pi} \frac{ie^{2it}}{\left( \frac{1}{2} e^{2it} \right)^2+1}\, [/mm] dt = [mm] \left[\arctan\left( \frac{1}{2} e^{2it} \right) \right]_0^{\pi} [/mm] =0$.

Liebe Grüße
Julius

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Bezug
Frage zum Integral einer FKT: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:57 Fr 16.12.2005
Autor: Herby

Hallo Julius,


> Hallo!
>  
> Wie Leopold schon richtig meinte, gilt:
>  
> [mm]\int\limits_c \frac{1}{1+z^2}\, dz = \int\limits_0^{\pi} \frac{ie^{2it}}{\left( \frac{1}{2} e^{2it} \right)^2+1}\, dt = \left[\arctan\left( \frac{1}{2} e^{2it} \right) \right]_0^{\pi} =0[/mm].
>  
> Liebe Grüße
>  Julius


wo kommt den der Zähler auf einmal her?  [kopfkratz3]

[mm] ie^{2i\pi}=i\not=1 [/mm] - wenn ich mich nicht täusche

ich sehe das Ganze ein bisschen anders!


Liebe Grüße
Herby

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Frage zum Integral einer FKT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Fr 16.12.2005
Autor: Leopold_Gast

Ich würde mich hier gar nicht auf das diffizile Gebiet mehrdeutiger Funktionen wie der komplexen [mm]\arctan[/mm]-Funktion wagen. Zumindest sollte man dann erklären, welchen Zweig man meint.
Die ganze Parametrisierung ist auch gar nicht nötig, da wegen des Cauchyschen Integralsatzes von vorneherein klar ist, daß der Integralwert 0 ist.

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Bezug
Frage zum Integral einer FKT: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:07 Fr 16.12.2005
Autor: Herby

Hallo Leopold,

> Ich würde mich hier gar nicht auf das diffizile Gebiet
> mehrdeutiger Funktionen wie der komplexen [mm]\arctan[/mm]-Funktion
> wagen. Zumindest sollte man dann erklären, welchen Zweig
> man meint.
>  Die ganze Parametrisierung ist auch gar nicht nötig, da
> wegen des Cauchyschen Integralsatzes von vorneherein klar
> ist, daß der Integralwert 0 ist.

[haee] ist er doch garnicht - er ist 3,14159265358979..........

lg
Herby


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Frage zum Integral einer FKT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:58 Sa 17.12.2005
Autor: Leopold_Gast

Ich glaube, es wird klarer, wenn du den ganzen Strang noch einmal durchgehst, denn der Fragesteller hat seine ursprünglichen Angaben korrigiert. Wie man das komplexe Integral parametrisiert, dazu habe ich in einem vorigen Beitrag schon Stellung genommen.

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Frage zum Integral einer FKT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:38 Sa 17.12.2005
Autor: K-D

Danke sehr für die Erklärung :)

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Frage zum Integral einer FKT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:30 Mo 19.12.2005
Autor: Julius

Hallo Leopold!

Du hast schon Recht mit deinem Einwand, nur gehe/ging ich halt davon aus, dass der Fragesteller den Cauchyschen Integralsatz nicht zur Verfügung hat. (Aber vielleicht kannte er ihn ja auch, dann war meine Rechnung überflüssig.)

Trotzdem sollte man dann, das stimmt schon, mehr über den verwendeten Zweig der Arcustangens-Funktion verlieren. Es geht aber dann schon so...

Liebe Grüße
Julius

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Frage zum Integral einer FKT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:01 Do 22.12.2005
Autor: Leopold_Gast

Wenn man die Arcustangens-Funktion bemüht, bräuchte man ja die ganze Parametrisierung schon gar nicht. Man sagt dann einfach: In einer Kreisscheibe, die den Integrationsweg enthält, existiert ein Zweig der Arcustangensfunktion, der den reellen Arcustangens fortsetzt. Dieser Zweig ist eine Stammfunktion des Integranden. Daher gilt:

[mm]\int_{\frac{1}{2} \operatorname{e}^{0 \cdot \operatorname{i}}}^{\frac{1}{2} \operatorname{e}^{\operatorname{2 \pi \cdot i}}}~\frac{\mathrm{d}z}{1 + z^2} = \arctan{\frac{1}{2}} - \arctan{\frac{1}{2}} = 0[/mm]

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Frage zum Integral einer FKT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:06 Do 22.12.2005
Autor: Julius

Hallo Leopold!

Das ist natürlich vollkommen richtig, nur bin ich auf Grund der formulierten Frage (und des Lösungsansatzes) davon ausgegangen, dass die Aufgabe mit einer Parametrisierung gelöst werden sollte. Es ist klar, dass es elegantere Lösungsmöglichkeiten gibt, nur wollte ich eben "dicht am Fragesteller" bleiben. (Dass man dann natürlich das Problem mit der Mehrdeutigkeit der komplexen Arcustangens-Funktion hat, ist eventuell vom Aufgabensteller übersehen worden, sofern keine weiteren Kenntnisse vorlagen).

Liebe Grüße
Julius

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Frage zum Integral einer FKT: Vorschlag
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 22:14 Fr 16.12.2005
Autor: Herby

Hallo K-D

so müsste es gehen:


[mm] \integral_{0}^{\pi} {\bruch{1}{(\bruch{1}{2}*e^{2it})^{2}+1} dt} [/mm]

[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{\pi} {\bruch{1}{\bruch{1}{4}*e^{4it}+1} dt} [/mm]

[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{\pi} {\bruch{4}{e^{4it}+4} dt} [/mm]

jetzt erweiterst du den Zähler mit 0 = [mm] e^{4it}-e^{4it} [/mm]

dann ergeben sich zwei Teilintegrale:

[mm] \Rightarrow \integral_{0}^{\pi} {\bruch{4+e^{4it}}{e^{4it}+4} dt}+ \integral_{0}^{\pi} {\bruch{-e^{4it}}{e^{4it}+4} dt} [/mm]

Naja, das erste Integral ergibt genau das [mm] \pi [/mm] als Lösung und das Zweite ist Null.


Liebe Grüße
Herby

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Frage zum Integral einer FKT: Fehler?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:13 Mo 19.12.2005
Autor: Herby

Hallo Stefan,

wo liegt der Fehler?

Ich habe das Intergal mit Maple und mit meinem Taschenrechner berechnet.

Beide Programme warfen folgendes Ergebnis aus:  [mm] \integral_{0}^{\pi} {\bruch{1}{(\bruch{1}{2}e^{2it})^2+1} dt}=t+\bruch{ln(e^{4it}+4)*i}{4} [/mm]

und D-K sagte, dass dieses ebenso mit Mathematica übereinstimmen würde.

Täuschen wir uns alle?

Liebe Grüße
Herby

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Frage zum Integral einer FKT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:26 Mo 19.12.2005
Autor: Stefan

Hallo Herby!

> [mm]\integral_{0}^{\pi} {\bruch{1}{(\bruch{1}{2}e^{2it})^2+1} dt}=t+\bruch{ln(e^{4it}+4)*i}{4}[/mm]
>  
> und D-K sagte, dass dieses ebenso mit Mathematica
> übereinstimmen würde.

Das Ergebnis dieses Integrals stimmt ja, nur hat das nichts mit der Aufgabe zu tun. ;-) Lies dir die Antworten von Leopold und Julius ;-) noch einmal durch: Bei der Parametrisierung eines Wegintegrals kommt noch die Ableitung des Integrationsweges ins Spiel, die hast du hier unterschlagen.

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                                                
Bezug
Frage zum Integral einer FKT: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:02 Mo 19.12.2005
Autor: Herby

Hallo Stefan,

> Hallo Herby!
>  
> > [mm]\integral_{0}^{\pi} {\bruch{1}{(\bruch{1}{2}e^{2it})^2+1} dt}=t+\bruch{ln(e^{4it}+4)*i}{4}[/mm]
>  
> >  

> > und D-K sagte, dass dieses ebenso mit Mathematica
> > übereinstimmen würde.
>  
> Das Ergebnis dieses Integrals stimmt ja, nur hat das nichts
> mit der Aufgabe zu tun. ;-)

dachte, es ginge nur um so' ne Umformung  [idee]  =>  [scheisskram]


> Lies dir die Antworten von
> Leopold und Julius ;-) noch einmal durch: Bei der
> Parametrisierung eines Wegintegrals kommt noch die
> Ableitung des Integrationsweges ins Spiel, die hast du hier
> unterschlagen.

Ich hab mir die Antworten das gaaaaaaaaaannnze Wochenende durchgelesen und im Innnnernet gesurft und an mir gezweifelt!!!!!

Aber ich glaub, ich weiß jetzt, wo ich nacharbeiten muss.

Danke euch allen

Liebe Grüße
Herby

-------------------------------------------------------------------------------------
@ Marc - eine fehlerhafte Antwort in Regenbogenfarben sähe doch auch gut aus, oder?  :-)
--- für 'n bisschen fehlerhaft!

Bezug
                
Bezug
Frage zum Integral einer FKT: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:24 Do 15.12.2005
Autor: Leopold_Gast

Das Ganze kann nicht stimmen. Die Funktion [mm]z \mapsto \frac{1}{1+z^2}[/mm] ist auf einer Umgebung der Kreisscheibe [mm]|z| \leq \frac{1}{2}[/mm] holomorph. Wenn nun über den Rand dieser Kreisscheibe integriert wird, muß nach dem Cauchyschen Integralsatz das Integral den Wert 0 besitzen.

Die Fehler beginnen schon ganz zu Anfang. Du darfst nicht nur [mm]z = \frac{1}{2} \operatorname{e}^{2 \operatorname{i} t}[/mm] substituieren, sondern mußt auch [mm]\mathrm{d}z = \operatorname{i} \operatorname{e}^{2 \operatorname{i} t} \, \mathrm{d}t[/mm] substituieren.

Aber wie gesagt, die ganze Rechnung ist wegen des Cauchyschen Integralsatzes sowieso überflüssig.

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