Frage zum Quotientenkrit. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:45 Di 16.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
| Aufgabe | | $\ [mm] \sum \frac{n^2}{2^n} [/mm] $ konvergent? |
Hallo,
bzgl. der Konvergenz dieser Reihe hab' ich eine kleine Frage.
Undzwar:
Mittels Quotientenkriterium erhält man
$\ | [mm] \frac{2^n(n+1)^2}{2^{n+1}n^2} [/mm] | = [mm] |\frac{(n+1)^2}{2n^2} [/mm] | = [mm] \frac{1}{2}\left(\frac{n+1}{n}\right)^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 [/mm] $
Nun wollte ich den Grenzwert dieser Folge betrachten für $\ n [mm] \to \infty [/mm] $
[mm] \lim \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
Also $\ [mm] \frac{1}{2} [/mm] = [mm] \theta [/mm] < 1 [mm] \Rightarrow \sum a_n [/mm] $ konvergiert.
Nun wird aber im Forster das Ganze folgendermaßen gemacht:
mit $\ [mm] a_n:=\frac{n^2}{2^n} [/mm] $ gilt für alle $\ n [mm] \ge [/mm] 3 $:
....
$\ [mm] \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{n}\right)^2 \le \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{3}\right)^2 [/mm] = [mm] \frac{8}{9} [/mm] =: [mm] \theta [/mm] < 1$
Nun ist mir klar, dass das Quotientenkriterium ja sagt : Ist mit einer festen pos. Zahl $\ [mm] \q [/mm] = [mm] \theta [/mm] < 1 $ fast immer $ [mm] |\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] | < q$, so muss die Reihe konvergieren.
Mit "fast immer" ist "bis auf endlich viele Ausnahmen" gemeint, also nimmt der Forster im Grunde ein $\ [mm] n_0 [/mm] = N $, ab dem alle Folgenglieder dieses Kriterium erfüllen.
Ich hab hingegen bloß untersucht, was passiert, wenn $\ n [mm] \to \infty$ [/mm] und ob sich der Grenzwert beliebig der 1 nähert, oder nicht. Um dann zu entscheiden, was mein $\ q = [mm] \theta [/mm] $ ist.
Meine Frage:
Ist es zulässig, so wie ich es gemacht habe? Oder sollte man wirklich immer so ein $\ [mm] n_0 [/mm] = N $ immer versuchen zu finden?
Würde mich über Hilfe freuen.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Di 16.03.2010 | | Autor: | pelzig |
Aus [mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}<1$ [/mm] folgt [mm] $|a_n|/|a_{n+1}|$<\theta<1$ [/mm] für fast alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Aber die Umkehrung gilt i.A. nicht.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:00 Mi 17.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Robert,
danke für Deine Antwort. Nur wie hängt das mit meiner Frage zusammen?
Bzw. ich komm nicht ganz dahinter, was ich aus deiner Antwort entnehmen soll.
Freue mich natürlich, wenn du mich aufklärst.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:25 Mi 17.03.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das heißt: Wenn du das mit dem Limes machst, ist das schon ok, weil daraus schon folgt, dass es so ein gewünschtes N gibt.
Denn wenn der Limes der Folge a<1 ist, so liegen unendlich viele Folgenglieder der Folge in einer [mm] \varepsilon-Umgebung [/mm] von a, die man so klein wählen kann, dass auch [mm] a+\varepsilon<1 [/mm] ist. Daher sind dann unendlich viele Folgenglieder echt kleiner als 1.
Aber wenn du eben weißt, dass [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n}<1 [/mm] ab einem N ist, dann muss [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] nicht direkt konvergieren. Aber das ist nur Zusatzinfo.
Zusammengefasst ist die Limesmethode legitim und so macht man das meiner Erfahrung nach auch sehr oft. Wenn du den Limes nicht direkt ausrechnen kannst, kannst du das, wie in deinem Buch, versuchen abzuschätzen.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:52 Mi 17.03.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo Teufel,
vielen Dank!
Jetzt ist klar, was gemeint war.
Viele Grüße
ChopSuey
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