Frage zum Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:30 Sa 08.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+1}{(3k)^k} [/mm] |
Hallo,
ich will zeigen das die Reihe konvergiert indem ich das Quotientenkriterium anwende:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|
[/mm]
Wenn ich das jetzt so einsetze:
[mm] \bruch{\bruch{k+2}{(3(k+1))^k}}{\bruch{k+1}{(3k)^k}}=\bruch{k+2}{(3(k+1))^k}*\bruch{(3k)^k}{(k+1)}
[/mm]
Und jetzt stecke ich fest. Ich sitze jetzt schon seit 2 stunden dran aber ich kann das irgendwie nicht weit genug vereinfachen...Habt ihr einen Tipp für mich wie ich das vereinfachen könnte?
Sorry übrigens das ich letzter Zeit so viel poste/frage. Dieses Thema ist irgendwie ziemlich schwer für mich und ich bin wirklich sehr sehr dankbar für die Hilfe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Sa 08.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k+1}{(3k)^k}[/mm]
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> Hallo,
>
> ich will zeigen das die Reihe konvergiert indem ich das
> Quotientenkriterium anwende:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_n}|[/mm]
>
> Wenn ich das jetzt so einsetze:
>
> [mm]\bruch{\bruch{k+2}{(3(k+1))^k}}{\bruch{k+1}{(3k)^k}}=\bruch{k+2}{(3(k+1))^k}*\bruch{(3k)^k}{(k+1)}[/mm]
Das stimmt so nicht. Richtig ist
[mm]\bruch{\bruch{k+2}{(3(k+1))^{k+1}}}{\bruch{k+1}{(3k)^k}}=\bruch{k+2}{(3(k+1))^{k+1}}*\bruch{(3k)^k}{(k+1)}[/mm]
>
> Und jetzt stecke ich fest. Ich sitze jetzt schon seit 2
> stunden dran aber ich kann das irgendwie nicht weit genug
> vereinfachen...Habt ihr einen Tipp für mich wie ich das
> vereinfachen könnte?
>
> Sorry übrigens das ich letzter Zeit so viel poste/frage.
Ist doch gut so, glaubs mir , ich bins, der FRED
Weiter im Text:
[mm]0 \le q_k:=\bruch{\bruch{k+2}{(3(k+1))^{k+1}}}{\bruch{k+1}{(3k)^k}}=\bruch{k+2}{(3(k+1))^{k+1}}*\bruch{(3k)^k}{(k+1)}=\bruch{k+2}{k+1}*(\bruch{3k}{3k+3})^k*\bruch{1}{3k+3}[/mm]
Der erste Faktor ganz rechts sterbt gegen was ?
Der dritte Faktor ganz rechts sterbt gegen was ?
Der zweite Faktor ganz rechts ist [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] \le [/mm] 1.
Damit strebt [mm] (q_k) [/mm] gegen was ?
FRED
> Dieses Thema ist irgendwie ziemlich schwer für mich und
> ich bin wirklich sehr sehr dankbar für die Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Sa 08.11.2014 | | Autor: | Rzeta |
Oh mann. Ich hab das (k+1) im exponent vergessen. Ist mir irgendwie nicht aufgefallen.
Der erste Faktor geht gegen 1
Der dritte Faktor geht gegen null
"Der zweite Faktor ganz rechts ist $ [mm] \ge [/mm] $ 0 und $ [mm] \le [/mm] $ 1."
Damit strebt [mm] (q_k) [/mm] gegen 0
Bei dir schaut das irgendwie so einfach aus. Die Idee das in 3 Faktoren aufzuteilen und dann jeden Faktor einzeln zu untersuchen wäre mir nicht eingefallen. Ich hoffe sowas ändert sich mit der Zeit (und mit viel Übung).
Danke Fred!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Sa 08.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Oh mann. Ich hab das (k+1) im exponent vergessen. Ist mir
> irgendwie nicht aufgefallen.
>
> Der erste Faktor geht gegen 1
Ja
>
> Der dritte Faktor geht gegen null
Ja
>
> "Der zweite Faktor ganz rechts ist [mm]\ge[/mm] 0 und [mm]\le[/mm] 1."
>
> Damit strebt [mm](q_k)[/mm] gegen 0
Ja
>
> Bei dir schaut das irgendwie so einfach aus. Die Idee das
> in 3 Faktoren aufzuteilen und dann jeden Faktor einzeln zu
> untersuchen wäre mir nicht eingefallen. Ich hoffe sowas
> ändert sich mit der Zeit (und mit viel Übung).
Ja, das kommt noch.
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> Danke Fred!
Bitte schön
FRED
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