Frage zum Quotientenkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ich hab folgende Reihe
3/5 + 3/50 + 3/500 + ... [mm] \gdw [/mm] 0,6 + 0,06 + 0,006 + ...
Man sieht dass die Reihe ganz offensichtlich gegen [mm] \bruch{2}{3} [/mm] konvergiert.
Ich hab mir die Folge [mm] \bruch {6}{10^n} [/mm] hergeleitet und die in das Quotientenkriterium [mm] \bruch{An+1}{An} [/mm] eingetragen.
[mm] \bruch{\bruch{6}{10^{n+1}}}{\bruch{6}{10^n}} [/mm] = [mm] \bruch{6}{10^{n+1}} \* \bruch{10^n}{6} [/mm] = [mm] \bruch{6}{10^{n+1}\*10^{-n}\*6} [/mm] = [mm] \bruch{6}{60} [/mm] = [mm] \bruch{1}{10} [/mm]
Aber wieso kommt [mm] \bruch{1}{10} [/mm] raus wenn der Grenzwert [mm] \bruch{2}{3} [/mm] ist? Wie komm ich rechnerisch an den Grenzwert?
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Das Quotientenkriterium gibt dir nicht den Grenzwert an, sondern nur die Bestätigung dafür, dass die Reihe konvergiert. Wenn [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|\le [/mm] c<1 für alle [mm] n\in \IN [/mm] ist, existiert ein Grenzwert.
In diesem Fall hast du eine geometrische Folge, die du mit der entsprechenden Formel berechnen kannst. Damit erhältst du dann den Wert 2/3.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 13:09 Do 20.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo HJKWeseleit,
wie ich schon in meiner Antwort geschrieben habe, muss nicht zwingend gelten
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}|
sondern für fast alle n, also es kann auch für alle bis auf endlich viele n gelten.
Denn das Quotientenkriterium besagt:
Sei c [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < c < 1. und [mm] (a_n) [/mm] eine Folge reeller Zahlen.
Wenn ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] exisiert, sodass [mm] a_{n} \not= [/mm] 0 und
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] c für alle n [mm] \ge n_0. [/mm]
Dann konvergiert die Reihe $ [mm] \summe a_n [/mm] $ absolut.
Viele Grüße,
X3nion
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Hallo X3nion,
ich habe nur eine WENN-DANN-Aussage gemacht, die so richtig ist. Natürlich gilt die Umkehrung nicht.
Liebe Grüße
HJKweseleit
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Do 20.04.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo Kopfvilla!
> Ich hab folgende Reihe
> 3/5 + 3/50 + 3/500 + ... $ [mm] \gdw [/mm] $ 0,6 + 0,06 + 0,006 + ...
> Man sieht dass die Reihe ganz offensichtlich gegen $ [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $
> konvergiert.
> Ich hab mir die Folge $ [mm] \bruch {6}{10^n} [/mm] $ hergeleitet und die in das
> Quotientenkriterium $ [mm] \bruch{An+1}{An} [/mm] $ eingetragen.
> [mm] \bruch{\bruch{6}{10^{n+1}}}{\bruch{6}{10^n}} [/mm] $ =
> [mm] \bruch{6}{10^{n+1}} [/mm] * [mm] \bruch{10^n}{6} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{6}
[/mm]
> [mm] {10^{n+1}*10^{-n}*6} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{6}{60} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $
> Aber wieso kommt $ [mm] \bruch{1}{10} [/mm] $ raus wenn der Grenzwert
> [mm] \bruch{2}{3} [/mm] $ ist? Wie komm ich rechnerisch an den Grenzwert?
a) Vorab eine Anmerkung:
Das Quotientenkriterium lautet nicht " [mm] \bruch{An+1}{An} [/mm] ".
Du musst dir klar machen, was das Quotientenkriterium besagt, dann beantwortet sich auch deine letzte Frage 
Das Quotientenkriterium besagt:
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Sei c [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < c < 1 und [mm] (a_n) [/mm] eine Folge reeller Zahlen.
Wenn ein [mm] n_0 \in \IN [/mm] exisiert, sodass [mm] a_{n} \not= [/mm] 0 und
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| \le [/mm] c für alle n [mm] \ge n_0, [/mm]
dann konvergiert die Reihe $ [mm] \summe a_n [/mm] $ absolut.
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Und aus der absoluten Konvergenz folgt die gewöhnliche Konvergenz, den Satz solltet ihr gehabt haben.
Also muss ein $ [mm] n_0 [/mm] $ gefunden werden, sodass $ [mm] a_n \not= [/mm] $ 0 für alle n $ [mm] \ge n_0 [/mm] $ (sonst könnte man den Quotient $ [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] $ ja gar nicht bilden),
und es muss $ [mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| \le [/mm] $ c (0 < c < 1) für alle n $ [mm] \ge n_0 [/mm] $ gelten.
Nun schreiben wir unsere Reihe doch erst einmal schön übersichtlich auf.
Es ist 3/5 + 3/50 + 3/500 + ... = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \frac{3}{5} [/mm] * [mm] (\frac{1}{10})^{k} [/mm] = [mm] \frac{3}{5} [/mm] * [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{10})^{k}.
[/mm]
(Deine Möglichkeit mit [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\frac{6}{10})^{k} [/mm] ist natürlich auch korrekt, auch wenn es näher liegt, wegen [mm] \frac{3}{5} [/mm] + [mm] \frac{3}{5} [/mm] * [mm] \frac{1}{10} [/mm] + [mm] \frac{3}{5} [/mm] * [mm] \frac{1}{100} [/mm] + ...
eben [mm] a_{k} [/mm] = [mm] \frac{3}{5} [/mm] * [mm] (\frac{1}{10})^{k} [/mm] als einzelne Folgenglieder zu wählen)
b) Man sieht direkt: Bei [mm] \summe_{k=0}^{\infty} (\frac{1}{10})^{k} [/mm] handelt es sich um die unendliche geometrische Reihe, denn diese hat die Form:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k}.
[/mm]
Wenn nun |q| < 1 ist, so gilt für den Grenzwert der unendlichen geometrischen Reihe:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q^{k} [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}
[/mm]
Setzen wir nun q = [mm] \frac{1}{10}, [/mm] so folgt...
... jetzt bist du dran!
c) Setze [mm] a_{k} [/mm] = [mm] (\frac{1}{10})^{k}.
[/mm]
Dann ist [mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{(\frac{1}{10})^{k+1}}{(\frac{1}{10})^{k}}\right| [/mm] = [mm] (\frac{1}{10})^{k+1-k} [/mm] = [mm] \frac{1}{10}.
[/mm]
=> Es gilt für alle k [mm] \in \IN: a_{k} \not= [/mm] 0 und [mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_{k}}\right| [/mm] = c mit c = [mm] \frac{1}{10}, [/mm] 0 < c < 1.
=> Die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] konvergiert absolut
=> c = [mm] \frac{1}{10} [/mm] ist das c mit 0 < c < 1 im Quotientenkriterium und hat nichts mit dem Grenzwert zu tun!
Viele Grüße,
X3nion
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