Frage zur Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Di 19.07.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hallo Leute,
mir ist aufgefallen, dass man die Differenzierbarkeit eigentlich nur auf metrischen Räumen definiert welche durch eine Norm induziert sind. Oder sehe ich das falsch? Mich würde interessieren wieso dies so ist. Würde mich freuen, wenn mir das jemand erklären würde.
LG Loriot95
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Di 19.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Leute,
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> mir ist aufgefallen, dass man die Differenzierbarkeit
> eigentlich nur auf metrischen Räumen definiert welche
> durch eine Norm induziert sind. Oder sehe ich das falsch?
> Mich würde interessieren wieso dies so ist. Würde mich
> freuen, wenn mir das jemand erklären würde.
>
> LG Loriot95
Dann schauen wir uns mal die Definition an:
X und Y seien normierte Räume , es sei G eine (offene) Teilmenge von X und $f:G [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung.
f heißt in [mm] x_0 \in [/mm] G differenzierbar, wenn es eine stetige lineare Abbildung $T:X [mm] \to [/mm] Y $ gibt mit:
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)-T(h)}{||h||}=0$.
[/mm]
Also, was benötigen wir:
1. Abstände in X und Y. Das hätten wir auch in metrischen Räumen,
und
2. Addition in X bzw. in Y und "Linearität". Dies hat man in einem allg. metrischen Raum nicht.
Du siehst: in normierten Räumen hast Du beides.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 19.07.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Wo hier von der Linearität gebraucht gemacht wird, sehe ich leider nicht. Wo kommt diese denn zum Zuge?
LG Loriot95
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:49 Di 19.07.2011 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
die Abbildung $T:X [mm] \to [/mm] Y$ ist linear, wie fred schon geschrieben hat. Die Definition der Differenzierbarkeit hat sich so bewährt. ;) Denn daraus folgt z.B. die Eindeutigkeit der Ableitung.
lg zetamy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Di 19.07.2011 | | Autor: | Loriot95 |
> Hallo,
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> die Abbildung [mm]T:X \to Y[/mm] ist linear, wie fred schon
> geschrieben hat. Die Definition der Differenzierbarkeit hat
> sich so bewährt. ;) Denn daraus folgt z.B. die
> Eindeutigkeit der Ableitung.
Das ist ja alles richtig was du schreibst, aber mich würde interessieren wo denn hier von der Linearität gebrauch gemacht wird. Ich sehe jedenfalls keine Anwendung in der Gleichung.
LG Loriot95
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> mich würde
> interessieren wo denn hier von der Linearität gebrauch
> gemacht wird. Ich sehe jedenfalls keine Anwendung in der
> Gleichung.
>
> LG Loriot95
Hallo Loriot,
Die Definition, die Fred angegeben hat, lautet:
> X und Y seien normierte Räume , es sei G eine (offene) Teilmenge von X und $ f:G [mm] \to [/mm] Y $ eine Abbildung.
> f heißt in $ [mm] x_0 \in [/mm] $ G differenzierbar, wenn es eine stetige lineare Abbildung $ T:X [mm] \to [/mm] Y $ gibt mit:
> $ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0+h)-f(x_0)-T(h)}{||h||}=0 [/mm] $.
Schon für die Definition der Differenzierbarkeit benötigt
man also Linearität bzw. die Möglichkeit, überhaupt
Linearität einer Abbildung zu definieren und zu prüfen.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Hm na gut. Ich sehe das dies dort steht, aber wo sie genau verwendet wird sehe ich leider nicht. Dennoch vielen Dank für eure Hilfe ;).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hm na gut. Ich sehe das dies dort steht, aber wo sie genau
> verwendet wird sehe ich leider nicht. Dennoch vielen Dank
> für eure Hilfe ;).
Vorschlag: definiere Du mal "Differenzierbarkeit" in allg. metrischen Räumen
FRED
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