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| Aufgabe | Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der 1. Achse eingeschlossen wird.
f(x)= 3x(4-x)³ |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Wie funktioniert das? Kann mir jemand helfen?
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Hallo,
> Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der
> Funktion f und der 1. Achse eingeschlossen wird.
>
> f(x)= 3x(4-x)³
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Wie funktioniert das? Kann mir jemand helfen?
kann ich davon ausgehen, dass du Integralrechnung schon mal gemacht hast?
wenn ja, solltet ihr, um diese Aufgabe lösen zu können partielle Integration gemacht haben.
Die Formel dazu lautet:
[mm] \integral_{a}^{b}{u(x)*v'(x) dx} [/mm] = [mm] [u(x)*v(x)]-\integral_{a}^{b}{u'(x)*v(x) dx} [/mm]
wobei beim ersten teil [u(x)*v(x)] noch die grenzen eingesetzt werden müssen.
Hier bietet es sich an u=3x und [mm] v'=(4-x)^{3} [/mm] zu setzen, wobei du bei der stammfunktion von v' auf die innere Ableotung -1 achten musst.
Hilft dir das, um weiter zu kommen?
lg cmueller
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| Aufgabe | | Leider sagt mir partielle Integration gar nichts. Wir haben das immer nur mit Stammfunktionen gemacht und nicht mit Ableitungen. |
Aber wie komm ich dann zu den Grenzen des Integrals??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Do 19.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo deLiiCiouS,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Leider sagt mir partielle Integration gar nichts. Wir haben
> das immer nur mit Stammfunktionen gemacht und nicht mit
> Ableitungen.
Das ist auch eine Form, um die Stammfunktion zu bestimmen. Zur "Not" musst Du den Term [mm] $3x*(4-x)^3$ [/mm] zunächst ausmultiplizieren.
> Aber wie komm ich dann zu den Grenzen des Integrals??
Indem Du die Nullstellen der zu integrierenden Funktion $f(x) \ = \ [mm] 3x*(4-x)^3$ [/mm] bestimmst:
$$f(x) \ = \ 0$$
[mm] $$3x*(4-x)^3 [/mm] \ = \ 0$$
Nun die entsprechenden $x_$-Werte ermitteln.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 Do 19.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Um die Fläche zw. Graph und x-Achse zu bestimmen, musst du zuerst die Nullstellen der fkt bestimmen -das ist hier leicht. Danach die Funktion zwischen den Grenzen integrieren.
das Integrieren kannst du schnell mit Substitution oder einfach durch ausmultiplizieren machen.
Gruss leduart
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Danke, aber wie rechne ich (4-x)³ aus? Und wie komme ich zu der Stammfunktion dieser Funktion?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Do 19.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast doch [mm] 0=3x\red{*}(4-x)^{3} [/mm] zu berechnen.
Da du ein Produkt hast, das Null werden soll, reicht es doch, wenn einer der Faktoren Null wird, also ENTWEDER: [mm] 3x=0\gdw x_{0_{1}}=\ldots [/mm] ODER [mm] (4-x)^{3}=0\gdw4-x=0\gdw x_{0_{2}}=\ldots
[/mm]
Für Die Stammfunktion würde ich das ganze aber ausmultiplizieren, beachte, dass
[mm] (a-b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}, [/mm] was du mit dem ![[]](/images/popup.gif) pascalschen Dreieck oder dem binomischen Satz relativ schnell bestimmen kannst.
Also hast du folgendes Integral zu bestimmen:
[mm] \integral_{x_{0_{1}}}^{x_{0_{1}}}3x(4-x)^{3}dx
[/mm]
[mm] =\integral_{x_{0_{1}}}^{x_{0_{1}}}\text{,,Ausmultiplizierte Funktion"}dx
[/mm]
Marius
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> Danke, aber wie rechne ich (4-x)³ aus? Und wie komme ich
> zu der Stammfunktion dieser Funktion?
>
[mm] (4-x)^{3} [/mm] kannst du ausrechnen mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks. Danach gilt(für deinen Fall):
[mm] (a-b)^{3}=a^{3}-3*a^{2}*b+3a*b^{2}-b^{3}
[/mm]
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