Fragen bezüglich positiv definit und Signatur < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 07.06.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo im Matheraum,
wir haben gerade in unserer Übung die Frage behandelt:
"Wie erkennt man, ob [mm] \beta [/mm] positiv definit ist"???
Also die Definition ist mir bekannt, ABER ich habe die Erklärung des Professors nicht nachvollziehen können.
Es ging um folgende Matrix:
[mm]\begin{pmatrix}
1 & 17 \\
17 & 1
\end{pmatrix}[/mm] und diese hat die Signatur (2,1,1) die 2 verstehe ich ja noch, das soll die Dimension sein, (richtig)? Aber was sollen die Einser darstellen und woher kommen sie und vor allem wie finde ich sie???
Und jetzt kommt noch was viel verwirrenderes
Der Profsessor hat erklärt die ober 17 sei: [mm] \beta( e_1, e_2) [/mm] das verstehe ich GAR nicht!!!
Und dann noch:
[mm] \beta ( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}) = \beta (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) - 2\beta (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) +\beta (\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = -32[/mm]
Ja, also das verstehe ich absolut nicht, auch nicht im Zusammenhang und es beantwortet (in meinem Kopf) auch nicht die Frage woher man sieht. dass [mm] \beta [/mm] positiv definit ist...
Vielleicht weiß jemand dieses "Phänomen" zu erklären. Liebe Grüße Cathy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:14 Di 08.06.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
> Also die Definition ist mir bekannt, ABER ich habe die
> Erklärung des Professors nicht nachvollziehen können.
>
> Es ging um folgende Matrix:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
> 1 & 17 \\
> 17 & 1
> \end{pmatrix}[/mm]
Dies soll anscheinend die Strukturmatrix einer symmetrischen Bilinearform [mm] $\beta$ [/mm] bezüglich der Standardbasis darstellen, also:
[mm]B_{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 17 \\ 17 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta(e_1,e_1) & \beta(e_1,e_2) \\ \beta(e_2,e_1) & \beta(e_2,e_2) \end{pmatrix}[/mm].
> und diese hat die Signatur (2,1,1) die 2 verstehe ich ja noch, das soll die Dimension sein, (richtig)? Aber was sollen die Einser > darstellen und woher kommen sie und vor allem wie finde ich sie???
Normalerweise ist die Signatur, wenn man sie als Tripel definiert, ein Ausdruck $(p,q,r)$, wobei $p$ die Anzahl der positiven Eigenwerte (mit algebraischer Vielfachheit), $q$ die Anzahl der negativen Eigenwerte (mit algebraischer Vielfachheit) und $r$ die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes $0$ darstellt.
Hier scheint es anders zu sein als gewöhnlich. Meine Vermutung:
die $2$: Dimension
erste $1$: Anzahl der positiven Eigenwerte (mit algebraischer Vielfachheit)
zweite $1$: Anzahl der negativen Eigenwerte (mit algebraischer Vielfachheit).
Das kommt zumindestens für dieses Beispiel hin. Aber du musst dir das schon genau im Skript anschauen. Oder aber du setzt mir einen Link auf dein Skript.
Wie kommt man darauf und was hat das mit Determinanten zu tun?
Schau dir mal das folgende Skript an:
![[]](/images/popup.gif) http://fsmath.mathematik.uni-dortmund.de/script/BeMu_LinAIIv/LinA2Global.pdf
Ab Seite 97 (Zählung unten links auf der Seite) ist der ganze Themenkomplex ausführlich und sehr gut erklärt, auch der Zusammenhang zu den Hauptminoren. Die Hauptaussagen:
(1) Im Falle einer invertierbaren $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix gilt: Die Anzahl der negativen Eigenwerte (mit algebraischer Vielfachheit) ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Folge [mm] $(1,\det(A_1),\ldots, \det(A_n))$ [/mm] der Hauptminoren.
(2) Eine Matrix ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren größer als $0$ sind.
> Nehmen wir mal
> Und jetzt kommt noch was viel verwirrenderes
>
> Der Profsessor hat erklärt die ober 17 sei: [mm] \beta( e_1, e_2) [/mm] das verstehe ich GAR nicht!!!
Das sollte nach meinen Anfangsbemerkungen klar geworden sein: Die Matrix stellt die Strukturmatrix von [mm] $\beta$ [/mm] bezüglich der Standardbasis da.
>
> Und dann noch:
>
> [mm]\beta ( \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}) = \beta (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) - 2\beta (\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) +\beta (\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}) = -32[/mm]
>
Nun ja, die Matrix oben hat zwei Eigenwerte: einen positiven [mm] ($\lambda_1 [/mm] = 18$) und einen negativen [mm] ($\lambda_2=-16$).
[/mm]
Ein Eigenvektor zum negativen Eigenwert $-16$ ist [mm] $\begin{pmatrix} 1 \\ - 1 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Der Prof hat nun gezeigt, dass für einen solchen Eigenvektor $x$ zu einem negativen Eigenwert
[mm] $x^T B_{\beta} [/mm] x = [mm] \beta(x,x) [/mm] <0$
gilt, d.h. ein negativer Eigenwert reicht dafür auch, dass die Matrix nicht mehr positiv definit ist.
Liebe Grüße
Julius
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