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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Fragen zu Lipschitz und Lsg.
Fragen zu Lipschitz und Lsg. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fragen zu Lipschitz und Lsg.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:56 Di 01.03.2011
Autor: nureinmal

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey, nach dem Forster gilt für [mm] $\IR^n$, [/mm] dass:

Sei G [mm] \subset \IR \times \IR^n [/mm] und $$f: G [mm] \to \IR^n, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] f(x,y)$$

eine bzgl. der Variablem y stetig partiell differenzierbare Funktion.
Dann genügt f in G lokal einer Lipschitz-Bedingung.

Das ist mir im mehr-dimensionalen klar, denn man kann die Lipschitzkonstante durch die Matrixnorm der zugehörigen Matrix bestimmen.
Wie sieht es aber im [mm] \IR [/mm] aus? Da muss ja die Ableitung von f beschränkt sein, damit ich die Lipschitzkonstante bequem berechne oder mein Definitionsbereich eben kompakt sein, damit ich ein Maximum habe.
Gilt dieser Satz überhaupt im eindimensionalen? Wäre 1/x auf [mm] (0,\infty) [/mm] ein Gegenbeispiel?

Eine andere Frage ist:
Wenn ich eine homogene lineare DGL n-ter Ordnung habe, ist die Lösung ja eine Linearkombination aus der Basis des Kerns der Funktion. Und jenachdem, wie mein AWP gegeben ist, variieren die Koeffizienten dieser Linearkombination oder?

        
Bezug
Fragen zu Lipschitz und Lsg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:16 Mi 02.03.2011
Autor: fred97


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  Hey, nach dem Forster gilt für [mm]\IR^n[/mm], dass:
>  
> Sei G [mm]\subset \IR \times \IR^n[/mm] und [mm]f: G \to \IR^n, (x,y) \mapsto f(x,y)[/mm]
>  
> eine bzgl. der Variablem y stetig partiell differenzierbare
> Funktion.
> Dann genügt f in G lokal einer Lipschitz-Bedingung.
>  
> Das ist mir im mehr-dimensionalen klar, denn man kann die
> Lipschitzkonstante durch die Matrixnorm der zugehörigen
> Matrix bestimmen.
>  Wie sieht es aber im [mm]\IR[/mm] aus?


komisch, das ist doch ein Spezialfall ??

>  Da muss ja die Ableitung von
> f beschränkt sein,


Nein, es geht doch um "lokale" Lipschitzbedingung . Dann muß die Ableitung lokal beschränkt sein. Das ist sie aber, wenn sie stetig ist.



> damit ich die Lipschitzkonstante bequem
> berechne oder mein Definitionsbereich eben kompakt sein,
> damit ich ein Maximum habe.
>  Gilt dieser Satz überhaupt im eindimensionalen?



Na klar.

> Wäre 1/x
> auf [mm](0,\infty)[/mm] ein Gegenbeispiel?

Nein.

>  
> Eine andere Frage ist:
>  Wenn ich eine homogene lineare DGL n-ter Ordnung habe, ist
> die Lösung ja eine Linearkombination aus der Basis des
> Kerns der Funktion.


Welche Funktion meinst Du ???


> Und jenachdem, wie mein AWP gegeben
> ist, variieren die Koeffizienten dieser Linearkombination
> oder?

Selbstverständlich

FRED


Bezug
                
Bezug
Fragen zu Lipschitz und Lsg.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:58 Mi 02.03.2011
Autor: nureinmal

Also ist gilt dann der Satz auch im eindimensionalen?
ich konnte sonst nämlich nirgends einen ähnlichen satz finden. der stand nur im forster bzgl [mm] \IR^n. [/mm]

Wäre denn aber nicht 1/z in [mm] (0,\infty) [/mm] stetig partiell differenzierbar, aber nicht lokal lipschitz in einer umgebung [mm] $B(0,\epsilon) \cap (0,\infty)$? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Fragen zu Lipschitz und Lsg.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Mi 02.03.2011
Autor: fred97


> Also ist gilt dann der Satz auch im eindimensionalen?

Na klar.

>  ich konnte sonst nämlich nirgends einen ähnlichen satz
> finden. der stand nur im forster bzgl [mm]\IR^n.[/mm]

Willst Du mich verschaukeln ? Was ist denn [mm] \IR^n [/mm] für n=1  ????



>  
> Wäre denn aber nicht 1/z in [mm](0,\infty)[/mm] stetig partiell
> differenzierbar,

natürlich ist diese Funktion stetig differenzierbar , [mm] -1/z^2 [/mm] ist doch stetig !!!


> aber nicht lokal lipschitz in einer
> umgebung [mm]B(0,\epsilon) \cap (0,\infty)[/mm]?

Mann, mann:

für x,y> [mm] \varepsilon [/mm] ist

        $|1/y-1/z| = [mm] \bruch{|y-z|}{yz} \le \bruch{|y-z|}{\varepsilon^2}$ [/mm]

FRED


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