Fragen zum Hilbertraum < Atom- und Kernphysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:28 So 05.04.2015 | | Autor: | Jellal |
Hey zusammen,
ich habe ein paar Fragen zu mathematischen Eigenschaften des Hilbertraums der physikalischen Zustände.
In meinem Buch wurde gezeigt, dass die "Elemente des Hilbertraums dicht liegen", d.h. dass in jeder noch so kleinen Umgebung um ein Element andere Elemente aus H(Hilbertraum) liegen.
Weiter wird gesagt:
"Von einem Hilbertraum wird verlangt, dass er ein separabler Raum ist. Ein Raum heißt separabel, wenn in ihm eine abzählbar dichte Teilmenge existiert.
Eine Konsequenz der Separabilität ist, dass man zu jedem Element [mm] |\Psi> [/mm] eine Folge [mm] |\Psi_{n}> [/mm] finden kann, die sich sukzessiv dem Element annähert, sodass [mm] |\Psi> [/mm] zwar das Grenzelement dieser Folge ist, aber der Folge selbst nicht angehöhren muss."
Hier wäre meine erste Frage.
Die Glieder der Folge, müssen die linear unabhängig sein?
Wenn dem so wäre, was macht man dann, wenn H endlich dimensional ist. Dann hat jede Folge ja nur endlich viele Glieder. Wie soll sich eine endliche Folge immer weiter an [mm] |\Psi> [/mm] annähern, ohne dass [mm] |\Psi> [/mm] selbst Teil der Folge ist?
Gruß und frohe Ostern schon mal :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 So 05.04.2015 | | Autor: | hippias |
> Hey zusammen,
> ich habe ein paar Fragen zu mathematischen Eigenschaften
> des Hilbertraums der physikalischen Zustände.
>
> In meinem Buch wurde gezeigt, dass die "Elemente des
> Hilbertraums dicht liegen", d.h. dass in jeder noch so
> kleinen Umgebung um ein Element andere Elemente aus
> H(Hilbertraum) liegen.
>
> Weiter wird gesagt:
>
> "Von einem Hilbertraum wird verlangt, dass er ein
> separabler Raum ist. Ein Raum heißt separabel, wenn in ihm
> eine abzählbar dichte Teilmenge existiert.
> Eine Konsequenz der Separabilität ist, dass man zu jedem
> Element [mm]|\Psi>[/mm] eine Folge [mm]|\Psi_{n}>[/mm] finden kann, die sich
> sukzessiv dem Element annähert, sodass [mm]|\Psi>[/mm] zwar das
> Grenzelement dieser Folge ist, aber der Folge selbst nicht
> angehöhren muss."
>
> Hier wäre meine erste Frage.
> Die Glieder der Folge, müssen die linear unabhängig
> sein?
Nein.
> Wenn dem so wäre, was macht man dann, wenn H endlich
> dimensional ist. Dann hat jede Folge ja nur endlich viele
> Glieder. Wie soll sich eine endliche Folge immer weiter an
> [mm]|\Psi>[/mm] annähern, ohne dass [mm]|\Psi>[/mm] selbst Teil der Folge
> ist?
Diese Frage eruebrigt sich ja nun. Aber eine Anmerkung: "sodass [mm] $|\Psi>$ [/mm] zwar das Grenzelement dieser Folge ist, aber der Folge selbst nicht angehöhren muss" bedeutet, dass das Grenzelement der Folge angehoeren kann.
>
>
> Gruß und frohe Ostern schon mal :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 05.04.2015 | | Autor: | Jellal |
Hey, danke für die Antwort!
Wenn wir also von einem endlichen Raum ausgehen und wir wählen uns ein beliebiges [mm] |\Psi> [/mm] heraus:
Hat die sich annähernde Folge dann nur endlich viele Glieder und [mm] |\Psi> [/mm] ist das 'letzte' Folgenglied, oder habe ich in der Regel unendlich viele Folgenglieder, die aber linear abhängig sein können und sich immer weiter annähern?
[mm] |\Psi> [/mm] könnte dann entweder Teil der Folge sein, und die Glieder 'pendeln' immer enger um es herum, oder aber es ist nicht Teil der Folge, wird aber stets weiter angenähert.
Oder geht beides und ich mache mir zu viel Gedanken^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 So 05.04.2015 | | Autor: | hippias |
> Hey, danke für die Antwort!
>
> Wenn wir also von einem endlichen Raum ausgehen und wir
> wählen uns ein beliebiges [mm]|\Psi>[/mm] heraus:
>
> Hat die sich annähernde Folge dann nur endlich viele
> Glieder und [mm]|\Psi>[/mm] ist das 'letzte' Folgenglied,
Das koennte sein.
> oder habe
> ich in der Regel unendlich viele Folgenglieder, die aber
> linear abhängig sein können und sich immer weiter
> annähern?
Ja; Grenzwert einer Folge eben.
> [mm]|\Psi>[/mm] könnte dann entweder Teil der Folge sein, und die
> Glieder 'pendeln' immer enger um es herum, oder aber es ist
> nicht Teil der Folge, wird aber stets weiter angenähert.
Beides ist moeglich.
Ein Beispiel: [mm] $\IQ$ [/mm] ist dicht in [mm] $\IR$: [/mm] jede reelle Zahl laesst sich beliebig genau durch einen Bruch approximieren. Die approximierende Folge kann alle moeglichen Eigenschaften haben. [mm] $\IR$ [/mm] ist sogar ein $1$-dimensionaler Hilbertraum, wenn Du darauf Wert legen solltest.
>
> Oder geht beides und ich mache mir zu viel Gedanken^^
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 05.04.2015 | | Autor: | Jellal |
Alles klar.
Dann gehts jetzt weiter:
"Aus der Separabilität des Hilbertraums kann man die Schlussfolgerung ziehen, dass in diesem Raum ein System abzählbarer linear unabhängiger Basiselemente [mm] |\alpha_{1}>, |\alpha_{2}>... [/mm] existiert, das den ganzen Hilbertraum aufspannt."
Dass eine Basis existiert, hat mit der Separabilität ja nichts zu tun, und linear unabhängig ist die Basis ja sowieso.
Anscheinend kann ich von der Separabilität also auf die Abzählbarkeit der Basiselemente schließen.
Wenn die dichte Teilmenge abzählbar ist (Separabilität), dann muss die Basis auch abzählbar sein.
Aber wer sagt mir jetzt, dass die Basis der Teilmenge, auch eine Basis des gesamten Raumes ist?
Die Elemente des Raumes kann ich ja unter Umständen beliebig genau durch die Elemente der Teilmenge annähern, ohne dass sie selbst Teil davon sind.
Und die Vektoren, die zwar approximiert werden können, aber selbst nicht Teil der Teilmenge sind, kann ich ja nicht mit der Basis aus der Teilmenge darstellen... oder?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:21 Mo 06.04.2015 | | Autor: | hippias |
> Alles klar.
>
> Dann gehts jetzt weiter:
> "Aus der Separabilität des Hilbertraums kann man die
> Schlussfolgerung ziehen, dass in diesem Raum ein System
> abzählbarer linear unabhängiger Basiselemente
> [mm]|\alpha_{1}>, |\alpha_{2}>...[/mm] existiert, das den ganzen
> Hilbertraum aufspannt."
Diese Aussage ist nicht richtig (siehe Deine Einwaende unten), oder jedenfalls sehr ungenau. Informiere Dich in einem Mathebuch ueber (separable) Hilbertraeume. Oder lies den englischen Wikipediaartikel ![[]](/images/popup.gif) hier.
>
> Dass eine Basis existiert, hat mit der Separabilität ja
> nichts zu tun, und linear unabhängig ist die Basis ja
> sowieso.
> Anscheinend kann ich von der Separabilität also auf die
> Abzählbarkeit der Basiselemente schließen.
>
> Wenn die dichte Teilmenge abzählbar ist (Separabilität),
> dann muss die Basis auch abzählbar sein.
>
> Aber wer sagt mir jetzt, dass die Basis der Teilmenge, auch
> eine Basis des gesamten Raumes ist?
> Die Elemente des Raumes kann ich ja unter Umständen
> beliebig genau durch die Elemente der Teilmenge annähern,
> ohne dass sie selbst Teil davon sind.
> Und die Vektoren, die zwar approximiert werden können,
> aber selbst nicht Teil der Teilmenge sind, kann ich ja
> nicht mit der Basis aus der Teilmenge darstellen... oder?!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Jellal |
Morgen,
ich hab mir mal den Part auf Wiki zur Orthonormalbasis und Separabilität durchgelesen. Unter letzterem steht doch:
A Hilbert space is separable if and only if it admits a countable orthonormal basis.
Also Separabilität => abzählbare Orthonormalbasis.
Also ist die Aussage doch richtig?
Nur weiß ich immer noch nicht, warum ich das logisch schlussfolgern kann.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Mo 06.04.2015 | | Autor: | hippias |
Ich nehme an, das die Aussage richtig gemeint ist. Aber Du hast doch selbst gewichtige Einwaende gegen die Behauptung vorgebracht. In dem Artikel steht auch insbesondere, dass die lineare Huelle der Orthonormalbasis nicht den ganzen Hilbertraum erzeugt (besser: erzeugen muss), sondern erst der Abschluss der linearen Huelle den ganzen Raum ergibt. Dies wurde in Deinem Zitat falsch, oder mindestens sehr missverstaendlich, wiedergegeben. Ferner bestaetigt dieser Teil des Artikels Deine Bedenken.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Jellal |
Ok,
also sowohl das Buch-Zitat, als auch das Wiki-Zitat sind etwas grob formuliert, da mein Einwand richtig war.
Den Abschnitt mit der 'closure of the linear span' versteh ich nicht, da ich mit letzterem noch nie zu tun hatte. Kenne nur den Begriff der abgeschlossenen Menge.
Aber der letzte Abschnitt:
" In the infinite-dimensional case, an orthonormal basis will not be a basis in the sense of linear algebra; to distinguish the two, the latter basis is also called a Hamel basis. That the span of the basis vectors is dense implies that every vector in the space can be written as the sum of an infinite series, and the orthogonality implies that this decomposition is unique."
Ich bin dann auf den Begriff der Schauderbasis gestoßen.
In einem unendlich dimensionalen Hilbertraum kann ich eine Schauderbasis [mm] {|\alpha_{n}>} [/mm] haben, sodass ich alle Vektoren schreiben kann als unendliche Linearkombination daraus, wie gewünscht.
D.h., mit Basis meinten die eigentlich eine Schauderbasis, und nicht das, was ich bisher unter Basis verstanden habe.
Nur wieso hat ein separabler Raum automatisch eine Schauderbasis und was mach ich im endlichen Fall?
Es kommen immer neue Fragen :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:05 Di 07.04.2015 | | Autor: | hippias |
> Ok,
>
> also sowohl das Buch-Zitat, als auch das Wiki-Zitat sind
> etwas grob formuliert, da mein Einwand richtig war.
>
> Den Abschnitt mit der 'closure of the linear span' versteh
> ich nicht, da ich mit letzterem noch nie zu tun hatte.
> Kenne nur den Begriff der abgeschlossenen Menge.
Der (topologische) Abschluss einer Menge $L$ ist der Durchschnitt aller abgeschlossenen Menge, die $L$ enthalten. Etwas anschaulicher: Der Abschluss ist $L$ erweitert um alle moeglichen Grenzwerte von Folgen von Elementen aus $L$.
In Deinem Raum bedeutet das, dass nicht nur endliche Linearkombinationen gebildet werden, wie es in der linearen Algebra ueblich ist, sondern auch konvergente Reihen.
>
> Aber der letzte Abschnitt:
> " In the infinite-dimensional case, an orthonormal basis
> will not be a basis in the sense of linear algebra; to
> distinguish the two, the latter basis is also called a
> Hamel basis. That the span of the basis vectors is dense
> implies that every vector in the space can be written as
> the sum of an infinite series, and the orthogonality
> implies that this decomposition is unique."
>
> Ich bin dann auf den Begriff der Schauderbasis gestoßen.
> In einem unendlich dimensionalen Hilbertraum kann ich eine
> Schauderbasis [mm]{|\alpha_{n}>}[/mm] haben, sodass ich alle
> Vektoren schreiben kann als unendliche Linearkombination
> daraus, wie gewünscht.
>
> D.h., mit Basis meinten die eigentlich eine Schauderbasis,
> und nicht das, was ich bisher unter Basis verstanden habe.
>
> Nur wieso hat ein separabler Raum automatisch eine
> Schauderbasis und was mach ich im endlichen Fall?
Im endlichdimensionalen Fall vereinfacht sich alles auf die Begriffe, die Du bisher von der linearen Algebra her kennst. Z.B. sind in endlichdimensionalen Raeumen alle Teilraeume topologisch abgeschlossen. Daher ist ein Orthonormalsystem einfach eine Orthonormalbasis im ueblichen Sinne.
Beweise usw. findest Du in Lehrbuechern zur Funktionalanalysis.
> Es kommen immer neue Fragen :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 Di 07.04.2015 | | Autor: | Jellal |
Ok, ich fasse jetzt mal etwas zusammen:
Die Aussage, dass aus der Separabilität eine abzählbare Basis folgt, die den gesamten Hilbertraum aufspannt, ist nicht ganz korrekt, da in Wahrheit der Abschluss der linearen Hülle der Basis den Raum aufspannt.
Ferner kann ich es als bewiesen hinnehmen (das ist vermutlich nicht ganz trivial, da du mich auf die Lehrbücher verweist), dass jeder separable Hilbertraum eine Basis hat (entweder Hamelbasis im endlich dimensionalen, oder Schauderbasis im unendlichen dimensionalen Fall).
Jetzt geht es weiter:
" Die durch die Elemente [mm] |\Psi_{n}>=\summe_{k=1}^{n}a_{k}|\alpha_{k}> [/mm] gebildete Folge konvergiert bei geeigneter Wahl der komplexen Koeffizienten [mm] a_{k} [/mm] mit wachsendem n nach jedem beliebigen Element [mm] |\Psi> [/mm] des Hilbertraums."
Mit jeder Partialsumme kommt nun ein weiterer Basisvektor hinzu, sodass die Approximierung immer genauer wird.
Was mich etwas irritiert: Für jedes [mm] |\Psi> [/mm] benötige ich ja andere Folgenglieder [mm] |\Psi_{n}>. [/mm] Aber die Folgenglieder müssen doch stets aus der "abzählbar dichten Teilmenge" des Hilbertraums kommen, oder?
Was genau ist diese abzählbar dichte Teilmenge. Habe ich etwa für jeden zu approximierenden Vektor eine solche Teilmenge, die aus den Folgengliedern allein gebildet wird?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Mi 08.04.2015 | | Autor: | hippias |
In dem Artikel stand, dass eine Orthonormal Basis [mm] $\{|\alpha_{k}\rangle\}_{k\in \IN}$ [/mm] folgenden Eigenschaften hat:
Orthogonality: Every two different elements of B are orthogonal: [mm] $\langle\alpha_{k},\alpha_{j}\rangle= [/mm] 0$ for all k, j in [mm] $\IN$ [/mm] with k ≠ j.
Normalization: Every element of the family has norm [mm] 1:|||\alpha_{k}\rangle|| [/mm] = 1 for all k in [mm] $\IN$.
[/mm]
Completeness: The linear span of the family [mm] $|\alpha_{k}\rangle$, $k\in \IN$, [/mm] is dense in H.
The fact that the set is denumerable follows from the assumed separability of the space.
Die Approximationseigenschaft
>" Die durch die Elemente
> [mm]|\Psi_{n}>=\summe_{k=1}^{n}a_{k}|\alpha_{k}>[/mm] gebildete
> Folge konvergiert bei geeigneter Wahl der komplexen
> Koeffizienten [mm]a_{k}[/mm] mit wachsendem n nach jedem beliebigen
> Element [mm]|\Psi>[/mm] des Hilbertraums."
ist gerade die als Completeness bezeichnete Eigenschaft der Orthonormalbasis. Damit folgt, dass die Orthonormalbasis [mm] $\{\alpha_{k}\}_{k\in \IN}$ [/mm] fuer jedes [mm] $\psi$ [/mm] gleich bleibt, nur die Koeffizienten haengen vom jeweils betrachten Zustand ab; genauso wie bei den herkoemmlichen Bases eines Raumes. Es ist natuerlich denkbar, dass Koeffizienten $=0$ sind, also die Orthonormalbasis fuer bestimmte Zustaende verkleinert werden koennte.
Wenn Du schon einmal Fourier-Reihen-Entwicklung fuer eine Funktion berechnet hast, dann kennst Du bereits, um was es hier geht: Die Orthonormalbasis wird von den Funktionen [mm] $e^{inx}$ [/mm] gebildet.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Do 09.04.2015 | | Autor: | Jellal |
D.h., die dichte Teilmenge ist die lineare Hülle der Basisvektoren.
Trotzdem wird doch gesagt:
Es gibt eine abzählbar dichte Teilmenge im Raum, mit der man oben genannte Folgen bilden kann, um jedes [mm] |\Psi> [/mm] anzunähern.
Die [mm] |\alpha_{k}> [/mm] sind zwar eine abzählbare Teilmenge, aber doch nicht DICHT in H.
[mm] Span(|\alpha_{k}>) [/mm] ist zwar dicht in H, aber dafür doch nicht mehr abzählbar (weil die Koeffizienten ja aus [mm] \IC [/mm] kommen, und [mm] \IC [/mm] ist nicht abzählbar.
Kann es sein, dass eigentlich gemeint ist:
Ein separabler Hilbertraum hat eine abzählbare Orthonormalbasis.
Und die lineare Hülle liegt dicht in H.
Sry, dass ich dir so viel Arbeit mache :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:09 Do 09.04.2015 | | Autor: | hippias |
Bitte beachte, dass die Rede von zwei verschiedenen dichten Mengen ist: 1. (Irgendeine) abzaehlbare dichte Menge, die den Raum separabel macht. Diese dichte Menge hat fuer die Praxis wohl kaum eine Bedeutung.
2. Eine abzaehlbare Orthonormalbasis, die einen dichten Unterraum auspannt, deren Existenz aus der Separabilitaet geschlussfolgert werden kann. Fuer Berechnungen ist diese Orthonormalbasis sehr nuetzlich.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Do 09.04.2015 | | Autor: | Jellal |
Alles klar, dann habe ich jetzt ein besseres Bild von der Sache.
Vielen Dank für deine ganzen Erklärungen :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:15 Do 09.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hey zusammen,
> ich habe ein paar Fragen zu mathematischen Eigenschaften
> des Hilbertraums der physikalischen Zustände.
>
> In meinem Buch wurde gezeigt, dass die "Elemente des
> Hilbertraums dicht liegen", d.h. dass in jeder noch so
> kleinen Umgebung um ein Element andere Elemente aus
> H(Hilbertraum) liegen.
Das ist doch völlig unsinniges Geschwafel ! Mit Hilbertraum hat das nichts zu tun. "dicht liegen" hast Du oder Dein Buch völlig falsch formuliert.
>
> Weiter wird gesagt:
>
> "Von einem Hilbertraum wird verlangt, dass er ein
> separabler Raum ist.
Das ist doch Unsinn ! Verlangt wird nicht die Separabilität, sondern die Vollständigkeit.
Es gibt nichtseparable Hilberträume.
Ein Raum heißt separabel, wenn in ihm
> eine abzählbar dichte Teilmenge existiert.
Das ist O.K.
> Eine Konsequenz der Separabilität ist, dass man zu jedem
> Element [mm]|\Psi>[/mm] eine Folge [mm]|\Psi_{n}>[/mm] finden kann, die sich
> sukzessiv dem Element annähert, sodass [mm]|\Psi>[/mm] zwar das
> Grenzelement dieser Folge ist, aber der Folge selbst nicht
> angehöhren muss."
Das ist doch keine Folge aus der Separabilität ! Wo steht denn dieser Unsinn geschrieben ?????
Man glaubt es nicht !
FRED
>
> Hier wäre meine erste Frage.
> Die Glieder der Folge, müssen die linear unabhängig
> sein?
> Wenn dem so wäre, was macht man dann, wenn H endlich
> dimensional ist. Dann hat jede Folge ja nur endlich viele
> Glieder. Wie soll sich eine endliche Folge immer weiter an
> [mm]|\Psi>[/mm] annähern, ohne dass [mm]|\Psi>[/mm] selbst Teil der Folge
> ist?
>
>
> Gruß und frohe Ostern schon mal :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Do 09.04.2015 | | Autor: | Jellal |
Hey Fred,
das steht im Buch "Theoretische Physik III - Quantenmechanik" von Reineker und Schulz. S.112 :(
Kursives war direkt zitiert.
Wie in meinem Gespräch mit Hippias herauskam, scheint dieses Buch es nicht sehr genau mit der Mathematik zu nehmen. Wenn Leute wie ich gern mehr über den Formalismus hinter der ganzen Physik lernen möchten, steht man leider oft auf dem Schlauch...
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Fr 10.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hey Fred,
>
> das steht im Buch "Theoretische Physik III -
> Quantenmechanik" von Reineker und Schulz. S.112 :(
> Kursives war direkt zitiert.
>
> Wie in meinem Gespräch mit Hippias herauskam, scheint
> dieses Buch es nicht sehr genau mit der Mathematik zu
> nehmen. Wenn Leute wie ich gern mehr über den Formalismus
> hinter der ganzen Physik lernen möchten, steht man leider
> oft auf dem Schlauch...
Dass Physiker oft "großzügig" mit der Mathematiki umgehen, ist mir schon lange bekannt.
Das aber Physiker, die ein Buch schreiben, nicht in der Lage sind mathematische Definitionen korrekt wiederzugeben, ist erschreckend !
FRED
>
> Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Fr 10.04.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
wenn man die Aussagen richtig liest, nämlich so, wie sie nahezu jeder theoretischer Physiker lesen würde, sehe ich hier keine Probleme.
Zunächst einmal ist der Zustandsraum der QM ein separabler Hilbertraum. Oftmals wird deshalb von einem Hilbertraum verlangt, dass er separabel ist. Wenn du willst, kannst du es als Physiker Definition eines Hilbertraumes auffassen - dagegen ist nichts einzuwenden.
Im Uebrigen ist der Hilbertraum in den meisten Anwendungsbeispielen der QM [mm] $L^2(\Omega)$, $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ [/mm] messbar, oder ein abgeschlossener Teilraum davon (Sobolevräume sind sehr beliebt, weil man dann im gewissen Sinne noch differenzieren kann). Dass sind alles separable Hilberträume.
Dein zweites Zitat aus dem Buch besagt nichts anderes als dass es in einem separablen HR eine abzählbare ONB gibt. Dass diese den Hilbertraum erzeugt ist in dem Sinne zu verstehen, dass die Forierreihe jedes Elementes des Hilbertraum gegen das Element konvergiert. Wenn du willst kannst du auch das als Physiker Definition von Erzeugendensystem betrachten, auch wenn dir Mathematiker hier etwas von "Vollständigkeit des ONS" erzählen.
Die aus der LA I bekannte Definition brauchst du nämlich in der QM überhaupt nicht. Hamel Basen sind sind hier vollkommen uninteressant; nebenbeibemerkt gibt es auch nur überabzählbare Hamel Basen in einem unendlichdimensionalen Hilbertraum.
Dass manche Begrifflichkeiten in Physik und Mathematik nicht notwendig dieselbe Bedeutung haben, sollte dir aber bekannt sein. Das muss auch nicht unbedingt damit zu tun haben, dass - wie fred sagt - großzügig mit der Mathematiki umgegangen wird.
Klassisches Beispiel aus dem 1. Semester: Vektor. In der Physik ein Tupel von Zahlen mit einer gewissen Trafo-Eigenschaft, in der Mathematik lediglich ein Element eines Vektorraums.
Nichtsdestotrotz, wenn dich die Mathematik der QM interessiert, würde ich dir empfehlen Lehrbücher der mathematischen Physik, z.B. von Barry Simon, anzuschauen. Gibt auch lesenswerte Monografien aus den Anfängen der QM, etwa von Wigner, Neumann oder Kato. Glücklicherweise ist QM ganz gut verstanden, was man von den meisten anderen Theorien nicht behaupten kann.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 So 12.04.2015 | | Autor: | Jellal |
Vielen Dank für deine Ausführungen, Andy :)
Ich werde auf deine Buchvorschläge zurückkommen, sollte ich mich nochmal weitergehend damit beschäftigen (im Master vllt.)
Gruß
Jellal
|
|
|
|
