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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:01 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Blaze |
| Aufgabe | | [mm] Limsup((x_n)-(y_n))<=limsup(x_n)-liminf(y_n) [/mm] |
Hallo,
ich muss die obige Aufgabe lösen, einen wirklichen Ansatz dazu habe ich nicht. Es wird ja immer gesagt man soll die Def. durchgehen, ich habe da folgendes:
[mm] s=limsup(x_n) <=>\forall \epsilon>0 \exists n=n(\epsilon): x_n
wir haben das in der Vorlesung die direkte Charakterisierung von limsup genannt. Ansonsten haben wir den limsup als das Supremum der Menge der Häufungspunkte einer beschränkten Menge definiert. Im Internet habe ich noch folgende Definition gefunden:
[mm] s=limsup(x_n)<=>
[/mm]
1. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] unendlich viele n: [mm] x_n>s-\epsilon
[/mm]
2. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] nur endliche viele n: [mm] x_n>s+\epsilon
[/mm]
Diese Definition leuchtet mir noch ein. Dann habe ich aber noch folgendes gefunden:
[mm] limsup(x_n):=\limes_{n\rightarrow\infty}(\sup_{k\ge{}\ n}(x_k))
[/mm]
Das heißt, ich bilde den GW der Folge [mm] \sup_{k\ge{}\ n}(x_k), [/mm] aber das Supremum von [mm] (x_n) [/mm] ist doch eigentlich konstant bzw. es existiert nicht. Warum soll dann die Folge [mm] \sup_{k\ge{}\ n}(x_k) [/mm] monoton fallend sein?
Kann mir das bitte jemand erklären?
Zur Aufgabe:
Dann müsste ja gelten:
[mm] s=limsup(x_n)<=>
[/mm]
1. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] unendlich viele n: [mm] x_n>s-\epsilon
[/mm]
2. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] nur endliche viele n: [mm] x_n>s+\epsilon
[/mm]
und
[mm] t=liminf(y_n)<=>
[/mm]
1. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] unendlich viele n: [mm] y_n
2. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] nur endliche viele n: [mm] y_n
und dann
[mm] u=limsup(x_n-y_n)<=>
[/mm]
1. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] unendlich viele n: [mm] x_n-y_n>u-\epsilon
[/mm]
2. [mm] \forall \epsilon>0 \exists [/mm] nur endliche viele n: [mm] x_n-y_n>u+\epsilon
[/mm]
Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:27 Sa 22.11.2008 | | Autor: | reverend |
Kennst Du den Beweis für [mm] |a+b|\le \a{}|a|+|b| [/mm] ?
Da gibt es ein paar Gemeinsamkeiten...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:38 Sa 22.11.2008 | | Autor: | Blaze |
Ich hab grad nochmal auf mein Blatt geguckt und gesehen das meine Aufgabe anders lautet, ich habs oben schonmal verbessert, tut mir leid.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:42 So 23.11.2008 | | Autor: | Blaze |
| Aufgabe | geg: [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] x_n\ge0 [/mm] und [mm] (y_n) [/mm] mit [mm] y_n\ge0.
[/mm]
zz: [mm] limsup(x_n-y_n)\le limsup(x_n)-liminf(y_n) [/mm] |
So, meine Idee ist jetzt folgende:
zuerst würde ich [mm] limsup(x_n+(-y_n))=limsup(x_n)+limsup(-y_n) [/mm] setzen.
wie schon geschrieben soll gelten:
[mm] limsup(x_n)=s [/mm] und [mm] limsup(y_n)=t. [/mm] Kann ich dann einfach [mm] limsup(x_n+(-y_n))=s+t [/mm] setzen? Wie müsste ich [mm] limsup(x_n+(-y_n))=limsup(x_n)+limsup(-y_n) [/mm] ordentlich begründen? Der nächste Schritt wäre dann zu sagen dass [mm] limsup(-y_n)=-liminf(y_n) [/mm] ist, was ich denke ich so begründen könnte dass ich sage durch das - vor [mm] y_n [/mm] wird die gesamte Folge an der x-Achse gespiegelt, alle Vorzeichen der Glieder werden umgekehrt, wenn die Folge vorher nach oben beschränkt ist, muss sie ja dann auch nach unten beschränkt sein, also müsste dann ja [mm] limsup(-y_n)=-liminf(y_n)gelten [/mm] oder? Die Begründung für das "spiegeln" finde ich noch nicht so klasse, wie kann ich das besser erklären bzw. mit Formeln ausdrücken?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Di 25.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:21 Di 25.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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