Fragen zur Dichtematrix < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Fr 11.01.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
ich versuche den Beweis der Extremaleigenschaft der Entropie zu verstehen. Dazu wird eine Ungleichung verwendet an der ich schon scheitere:
[mm] $\rho$ [/mm] und [mm] $\rho_0$ [/mm] seien zwei Dichtematrizen, dann gilt:
[mm] $\mathrm{tr}\left(\rho(\ln\rho_0-\ln\rho)\right)\leq [/mm] 0$
[mm] $\mathrm{tr}$ [/mm] ist die Spur einer Matrix und die Dichtematrizen sehen so aus:
[mm] $\rho=\sum_n P_n|n\rangle\langle [/mm] n|$ und [mm] $\rho_0=\sum_k P_{0k}|k\rangle\langle [/mm] k|$
Problem a:
Ich weiß nicht so genau, wie ich mir eine Summe als Matrix vorstellen soll.
Problem b:
Ich kann mir noch viel weniger vorstellen, was der Logarithmus einer Matrix sein soll.
Vermutlich deshalb verstehe ich auch schon den ersten Schritt des Beweises nicht:
[mm] $\mathrm{tr}\left(\rho(\ln\rho_0-\ln\rho)\right)=\sum_n P_n\langle n|(\ln\rho_0-\ln P_n)|n\rangle$
[/mm]
Kann mir das jemand erklären?
Gruß,
notinX
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 27.01.2013 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
geben wir uns mal kurz einen Operatore [mm]\hat A[/mm] vor und seine
Eigenzustaende [mm]|n\rangle[/mm], so dass
[mm]\hat A |n\rangle = A_n |n\rangle[/mm] gelten moege.
Dann gilt [was man durch eine passende
Taylor-Reihe zeigen kann]:
[mm]f\left(\hat A\right)|n\rangle = f\left(A_n\right)|n\rangle[/mm]
D.h. die Funktion eines Operators angewandt auf einen Eigenzustand
(hierbei ist es wichtig, dass es ein Eigenzustand ist), ist gleich
dem Funktionswert ausgewertet an der Stelle des Eigenwertes mal
dem Eigenzustand.
Nun haben wir den Dichtematrix-Operator [mm]\hat \rho = \sum_n P_n |n\rangle\langle n|[/mm] . Dann ist [mm]|n\rangle[/mm]
ein Eigenzustand von [mm]\hat\rho[/mm] mit Eigenwert [mm]P_n[/mm]:
[mm]\hat\rho |n\rangle = \sum_m P_m |m\rangle\langle m| n\rangle = P_n |n\rangle[/mm], weil
[mm]\langle m|n\rangle =\delta_{m,n}[/mm].
Ok. Nun muessen wir nur noch kurz das Folgende ausrechnen:
[mm]\mathrm{tr}\left[ \hat\rho (\ln\rho_0 -\ln\rho)\right] =\sum_n \langle n \left[\hat\rho(\ln\rho_0 -\ln\rho)\right] n\rangle [/mm]
Jetzt kannst du die obigen Aussagen versuchen, zu kombinieren um auf das von dir
angegeben Ergebnis zu kommen.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 So 27.01.2013 | | Autor: | notinX |
Ok, ich versuchs nochmal:
[mm] $\ensuremath{\mathrm{tr}\left(\rho(\ln\rho_{0}-\ln\rho)\right)=\sum_{m}\langle m|\rho(\ln\rho_{0}-\ln\rho)|m\rangle=\sum_{m}\langle m|P_{m}(\ln P_{0m}-\ln P_{m})|m\rangle}=\sum_{m}P_{m}(\ln P_{0m}-\ln P_{m})$
[/mm]
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:54 Sa 02.02.2013 | | Autor: | Kroni |
Hallo,
beim dritten Schritt wuerde ich noch einen Zwischenschritt einfuegen.
Was gilt, was man mit der Eigenvektor-Eigenschaft sehen kann, ist ja
[mm]\mathrm{tr}(\hat\rho (\ln\hat\rho_0 - \ln\hat\rho)) = \sum_n \langle n | \hat\rho(\ln\hat\rho_0-\ln\hat\rho)|n\rangle = \sum_n P_n\langle n | \ln\hat\rho_0 - \ln P_n|n\rangle[/mm]
Jetzt ist nur noch die Frage, ob die zweite Dichtematrix [mm]\hat\rho_0[/mm] in
der selben Basis [mm]|n\rangle[/mm] diagonal ist, d.h. ob in der selben
Basis die Beziehung
[mm]\hat\rho_0 = \sum_k P_{0,k} |k\rangle \langle k|[/mm]
gilt, d.h. fuer diese Zustaende [mm]\langle k|n\rangle=\delta_{n,k}[/mm] gilt, oder
ob die Dichtematrix [mm]\hat\rho_0[/mm] in einer anderen Basis diagonal ist.
Wenn man mal vom allgemeinen Fall ausgeht, so wuerde ich dann schreiben
[mm]\sum_n P_n \langle n|ln\hat\rho_0 - \ln P_n|n\rangle = -\sum_n P_n \ln P_n + \sum_n P_n \langle n |\ln \hat\rho_0 |n\rangle[/mm].
Nun kann man eine [mm]\mathbbm{1}=\sum_k |k\rangle\langle k |[/mm] einschieben [wobei nun [mm] $|k\rangle$ [/mm] zur Eigenbasis
von [mm] $\hat\rho_0$ [/mm] gehoert, so
dass folgt fuer die zweite Summe:
[mm]\sum_{n,k} P_n \langle n |\ln\hat\rho_0 |k\rangle\langle k |n\rangle[/mm]
Wie wuerde die Rechnung dann weiter gehen, und in welchem Falle bekommt
man dein Ergebnis?
LG
Kroni
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