Frechet-Differenzierbarkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Mo 11.04.2011 | | Autor: | max3000 |
| Aufgabe | Ist der Operator
[mm] $G:X:=L_p(\Omega)\to X:=L_q(\Omega)$
[/mm]
[mm] G(y)(x):=\max(0,y(x))
[/mm]
Frechet-Differenzierbar in [mm] $y_0$, [/mm] falls gilt:
[mm] \mu({x\in\Omega:y_0(x)=0})=0 [/mm] ? |
Hallo allerseits.
Die Bedingung bedeutet so viel wie "Die kritischen Stellen (dort wo die Maximumfunktion einen Knick hat) sind vom Maße null".
Ich stelle mir grad selbst diese Frage und ich brauche die Antwort für meine Diplomarbeit.
Die formale Ableitung [mm] G':X\to\mathcal{L}(X,Y) [/mm] wäre ja
[mm] G'(y)=\begin{cases}
0,&\mbox{f"ur}\ y(x)<0,\\
\delta, &\mbox{f"ur}\ y(x)=0,\\
1,&\mbox{f"ur}\ y(x)>0.
\end{cases}
[/mm]
Dieser Operator ist linear, aber erfüllt er auch die Bedingung
[mm] \lim_{\|h\|\to0}\frac{1}{\|h\|}\|G(y_0+h)-G(y)-G'(y)h\| [/mm] ?
Wie kann ich das am besten zeigen? Ich hab irgendwie nicht die richtige Idee wie das gehen soll.
Vielen Dank schonmal.
Grüße
Max
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:51 Di 12.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ist der Operator
>
> [mm]G:X:=L_p(\Omega)\to X:=L_q(\Omega)[/mm]
>
> [mm]G(y)(x):=\max(0,y(x))[/mm]
>
> Frechet-Differenzierbar in [mm]y_0[/mm], falls gilt:
>
> [mm]\mu({x\in\Omega:y_0(x)=0})=0[/mm] ?
> Hallo allerseits.
>
> Die Bedingung bedeutet so viel wie "Die kritischen Stellen
> (dort wo die Maximumfunktion einen Knick hat) sind vom
> Maße null".
>
> Ich stelle mir grad selbst diese Frage und ich brauche die
> Antwort für meine Diplomarbeit.
>
> Die formale Ableitung [mm]G':X\to\mathcal{L}(X,Y)[/mm] wäre ja
>
> [mm]G'(y)=\begin{cases}
0,&\mbox{f"ur}\ y(x)<0,\\
\delta, &\mbox{f"ur}\ y(x)=0,\\
1,&\mbox{f"ur}\ y(x)>0.
\end{cases}[/mm]
Wie kommst Du denn auf so etwas ? Was soll [mm] \delta [/mm] sein ?
>
> Dieser Operator ist linear,
Das stimmt doch nicht ! Nehmen wir [mm] \Omega=[0,1] [/mm] und die Funktionen 1 und 0
Dann wäre doch 1= G'(1)=G'(1+0) =G'(1)+G'(0)=1 + [mm] \delta [/mm] ????
FRED
> aber erfüllt er auch die
> Bedingung
>
> [mm]\lim_{\|h\|\to0}\frac{1}{\|h\|}\|G(y_0+h)-G(y)-G'(y)h\|[/mm] ?
>
> Wie kann ich das am besten zeigen? Ich hab irgendwie nicht
> die richtige Idee wie das gehen soll.
>
> Vielen Dank schonmal.
>
> Grüße
>
> Max
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:23 Di 12.04.2011 | | Autor: | max3000 |
Das [mm] \delta [/mm] ist ein beliebiger Wert zwischen 0 und 1.
Ich bin auch sehr skeptisch was das angeht.
Mein Professor meinte das ist Frechet-Differenzierbar unter dieser zusätzlichen Voraussetzung. In einer Doktorarbeit habe ich genau das selbe gelesen:
"Sine [mm] P_{[a,b]}=max(a,min(b,\cdot)) [/mm] is not differentiable at a and b, an analogous result for Frechet differentiability does only hold if [mm] $x_0\ne [/mm] a,b$ almost everywhere."
Hier ging es um die Frechet-Differenzierbarkeit von
[mm] $F:L_p\to L_q$
[/mm]
[mm] F(y)(x):=P_{[a,b]}(a,min(b,y(x)))
[/mm]
Fred, die Funktion [mm] y\equiv0 [/mm] erfüllt nicht die Voraussetzung [mm] $y\ne0\ [/mm] f."u.$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:21 Mi 20.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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