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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Freie Lie-Algebra auf {x,y}
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Freie Lie-Algebra auf {x,y}: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:30 Mi 20.03.2013
Autor: Anfaenger101

Aufgabe
Es sei R ein kommutativer Ring.
Zeige, dass die freie Lie Algebra auf der Menge {x,y}(geschrieben f({x, y})) ein graduierter freier R-Modul mit einer unendlichen Basis x, y, [x,y], [x,[x,y]], [y,[x,y]], [x,[x,[x,y]]], [x,[y,[x,y]]], [y,[y,[x,y]]], ... ist, wobei [.,.] die Lie-Klammer auf f({x,y}) bezeichne.

Hallo Leute,

ich beschäftige mich zurzeit mit Lie-Algebren und arbeite deshalb das entsprechende Kapitel in Charles Weibels Buch "An Introduction to homological algebra" durch. Jetzt bin ich leider an dieser obigen Übungsaufgabe angelangt, an welcher ich nicht so recht weiter weiß.

Meine Ideen: Der freie R-Modul zur Basis {x, y} ist R^2, also gilt f(\{x, y\}) = f(R^2), da die freie Lie-Algebra auf einer Menge gerade so definiert ist. So wie ich das verstanden habe müsste ich jetzt zeigen, dass gilt: f(R^2) = \bigoplus_{d > 0}A_d mit A_1 = , A_2 = , A_3 = <[x,y]>, A_4 = <[x,[x,y]]>, A_5 = <[y,[x,y]]>, A_6 = <[x,[x,[x,y]]]>, ... usw.
Dazu müsste ich zeigen, dass  f(R^2) = \bigoplus_{d > 0}A_d die universelle Eigenschaft einer freien Lie-Algebra erfüllt, d.h. für jede R-lineare Abbildung R^2 \to \mathfrak{g}, wobei \mathfrak{g} eine Lie-Algebra ist, existiert eine eindeutige Fortsetzung zu einen Lie-Algebra-Homomorphismus \bigoplus_{d > 0}A_d \to \mathfrak{g}.

Allerdings ist mir das ganze ziemlich suspekt. Wie genau soll sich denn eine Abbildung R^2 \to \mathfrak{g} auf \bigoplus_{d > 0}A_d \to \mathfrak{g} fortsetzen, und was genau hat das mit den Lie-Klammern als Basis auf sich?

Wäre nett, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte, ich seh leider absolut nicht, wie das gehen soll.

Ich habe diese Frage auch in einem anderen Forum gestellt, hier der Link zum entsprechenden Thread: http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=179571

Leider verstehe ich den Hinweis nicht und da sich nun seit 2 Tagen niemand mehr gemeldet hat, dachte ich, ich frag auch mal hier nach :-)

Viele Grüße

Anfänger

        
Bezug
Freie Lie-Algebra auf {x,y}: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:20 So 24.03.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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