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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Fr 18.03.2022 | | Autor: | Spica |
Angenommen ich möchte berechnen, wie lange ein Körper unter idealisierten Bedingungen (ohne Einfluss anderer Himmelskörper, ohne Luftwiderstand nach eintauchen in die Atmosphäre) braucht, bis er aus der Ruhe aus einem Abstand von 100.000 km auf der Erde aufschlägt (der Einfachheit halber Erdradius mit glatten 7.000 km angenommen).
Nun möchte man meinen, dass man g = M(Erde) x F / [mm] r^{2} [/mm] über r aufgetragen einfach nur im Intervall A = 100.000.000 m und B = 7.000.000 m integrieren und dann dann davon durch Multiplikation mit 1/(A-B) den Mittelwert von g für die gesamte Fallstrecke im inhomogenen Schwerefeld hätte.
Anschließend müsste man dieses g dann nur einsetzen in die Gleichung 93.000.000 = 0,5 x g x [mm] t^{2}. [/mm] Aufgelöst nach t müsste man die Fallzeit erhalten.
Aber diese Überlegung ist falsch. Warum eigentlich und wie rechnet man das richtig?
VG Spica
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Der Mittelwert ist nicht immer der Wert in der Mitte.
Beispiel: Jemand fährt 10 km weit mit 20 km/h und dann den selben Weg mit 60 km/h zurück. Wie ist seine Durchschnittsgeschwindigkeit?
(20+60)/2 km/h = 40 km/h ist falsch. Er fährt insgesamt 20 km weit und braucht dafür erst 30 min. und dann 10 min., also 40 min. für 20 km, macht 30 km/h Durchschnittsgeschwindigkeit.
Für die Berechnung der Fallzeit musst du zunächst die Fallgeschwindigkeit in Abhängigkeit von einer beliebigen Höhe x wissen. Dabei nehmen wir r als Starthöhe an.
Das bedeutet:
Ist g die Erdbeschleunigung als feste Zahl an der Erdoberfläche (also etwa g = 10 [mm] m/s^2), [/mm] so gehört diese zum Erdradius R (also ca. 7.000.000 m). Die Beschleunigung a im Abstand x beträgt damit
a = [mm] g*R^2/x^2.
[/mm]
Das ist umgekehrt quadratisch, und wenn du für x wieder R einsetzt, erhältst du a = g. M(Erde) wird dann nicht benötigt.
Nun ist aber a die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit, also a = dv/dt. Außerdem ist v die Ableitung der Fallstrecke nach der Zeit, also v = - dx/dt (v soll positiv sein, wenn x abnimmt).
Trick: Wir nehmen die obige Gleichung mit v mal und setzen beides darin ein:
v*a = [mm] v*g*R^2/x^2
[/mm]
v*dv/dt = - [mm] g*R^2/x^2*dx/dt
[/mm]
Das nehmen wir mit dt mal und erhalten
v*dv = - [mm] g*R^2/x^2*dx
[/mm]
Beide Seiten integriert:
[mm] \integral_{A}^{E}{v dv} [/mm] = - [mm] \integral_{r}^{E}{g*R^2/x^2 dx}
[/mm]
Dabei bezeichnet A den Anfangs- und E den Endwert.
1/2 [mm] v^2 |^E_A [/mm] = [mm] g*R^2/x|^E_r, [/mm] wobei r die Starthöhe ist.
1/2 [mm] v_E^2 [/mm] - 1/2 [mm] v_A^2 [/mm] = [mm] g*R^2/x_E [/mm] - [mm] g*R^2/r
[/mm]
Da [mm] v_a [/mm] = 0 sein soll, erhält man - wenn man für die momentanen Werte das E weglässt:
1/2 [mm] v^2 [/mm] = [mm] g*R^2(1/x [/mm] - 1/r)
v = [mm] \wurzel{2g*R^2(1/x - 1/r)}.
[/mm]
Nun ist in jedem Moment v = - dx/dt, also dt = - dx/v und damit
dt = [mm] \bruch{-dx}{\wurzel{2g*R^2(1/x - 1/r)}}.
[/mm]
Wenn du jetzt beide Seiten vom Anfangs- zum Endwert integriertst, erhältst du die gesamte Flugzeit.
Nach meinem Mathe-Programm gibt das
t = [mm] \bruch{x}{R}\wurzel{\bruch{r}{2g}}*arctan(\wurzel{\bruch{r-R}{R}}) [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{r(r-R)}{2gR}}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:57 Sa 19.03.2022 | | Autor: | Spica |
Vielen Dank für die gute Erklärung Schritt für Schritt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 So 20.03.2022 | | Autor: | Spica |
Nachgefragt:
Diese Zusammenhänge gelten aber nur, solange die Masse des Fallkörpers vernachlässigbar ist gegenüber der Erde. Wenn im Gedankenspiel nun der Mond aus der Ruhe auf die Erde fallen würde, wie müsste man dann rechnen? Da würde sich auch die Erde auf den Mond zubewegen, also beide aufeinander zufallen, was die Berechnung wohl wesentlich komplizierter machen würde.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:15 Mi 23.03.2022 | | Autor: | chrisno |
So schlimm ist das nicht. Man geht dazu in das Schwerpunktsystem über. Dann ist auf beiden Seiten immer das Produkt aus Masse und Abstand gleich. Daher kannst Du für den Endabstand berechnen, wie weit die beiden Körper dann vom Schwerpunkt entfernt sein müssen. Für die Berechnung der Beschleunigung des einen Körpers wird weiterhin der Abstand der beiden Körper verwandt.
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Kurzer Überschlag:
Bei feststehender Erde erhalte ich für die Fallzeit des Mondes [mm] 4,218*10^5 [/mm] s [mm] \approx [/mm] 117,16 h [mm] \approx [/mm] 4,88 Tage.
Bei beweglicher Erde bleibt der Schwerpunkt des Systems Erde-Mond "auf der Stelle", während der Mond sich auf die Erde zu bewegt, bewegt sich die Erde immer 1/81 mal so weit auf den Mond zu (Verhältnis beider Massen) und hat nach den knapp 5 Tagen eine Strecke von ca. 4640 km zurückgelegt, was einer Durchschnittsgeschwindigkeit von ca. 40 km/h entspricht (zu Anfang 0, später deutlich mehr).
Natürlich werden die Gleichungen und Berechnungen dadurch schwerer, aber es tut doch auch so schon weh genug...?!
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:01 Fr 25.03.2022 | | Autor: | Spica |
Hat sich erledigt.
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Es gibt eine ganz einfache Möglichkeit, die Fallzeit des Mondes auf die Erde zu berechnen, ohne Analysis.
Das Keplersche Gesetz besagt: Wenn zwei beliebige Körper (hier: Monde) ein Zentralgestirn (hier: Erde) auf Ellipsen umkreisen und deren Halbachsen [mm] a_1 [/mm] und [mm] a_2, [/mm] ihre Umlaufzeiten [mm] T_1 [/mm] und [mm] T_2 [/mm] sind, so gilt:
[mm] \bruch{T_1^2}{a_1^3}=\bruch{T_2^2}{a_2^3} [/mm] = konstant.
Der Mond ist am weitesten mit 404 694 km und am nächsten mit 362 102 km von der Erde entfernt, die große Ellipsenachse somit 766 796 km lang und damit [mm] a_1 [/mm] = 383 398 km. [mm] T_1 [/mm] = 1 Monat = 27,322 Tage.
Nun lassen wir einen zweiten, ruhenden Mond aus der Durchschnittsentfernung 384 000 km auf die Erde fallen. Hätte er einen winzigen Kick zur Seite, würde er die Erde gerade verfehlen, um sie auf einer Ellipse zu umkreisen und zurückkehren. Wegen des geringen Kicks wäre diese Ellipse fast ein Strich. Bei einer völlig "platten" Ellipse liegen die beiden Brennpunkte praktisch auf den Enden, das heißt, 384 000 km wäre die Länge der großen Achse, also [mm] a_2 [/mm] = 192 000 km.
Daraus ergibt sich nach obiger Formel für die Umlaufzeit dieses Mondes [mm] T_2 [/mm] = 9,6825 Tage, für den Hinweg zur Erde die Hälfte zu 4,821 Tage.
Die leichte Abweichung von der Analysisrechnung ergibt sich aus der Ungenauigkeit von g = 9,81 [mm] m/s^2 [/mm] sowie aus der Tatsache, das dort der Mond schon an der Erdoberfläche gestoppt wird und nicht noch um den Erdmittelpunkt wandert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:49 Fr 25.03.2022 | | Autor: | Spica |
<<Die leichte Abweichung von der Analysisrechnung ergibt sich aus der Ungenauigkeit von g = 9,81 $ [mm] m/s^2 [/mm] $ sowie aus der Tatsache, das dort der Mond schon an der Erdoberfläche gestoppt wird und nicht noch um den Erdmittelpunkt wandert.<<
Nun ist es aber so, dass die Analysis t-Formel für 384.000km sogar 4,84 Tage berechnet für das Auftreffen des Mondes (streng genommen seines Mittelpunktes) auf den Erdradius bei 6.371km, also sogar mehr als deine 4,82 bei Kepler. Deine Keplerberechnung lässt doch streng genommen die Mittelpunkte beider Körper in minimalem Abstand aneinander vorbeifliegen.
Ich habe dann noch für gedachten Aufschlagradius von 1 m (wegen einfacher Eintipperei) für die Erde gerechnet [mm] (g_{R=1} [/mm] = 3,982 * [mm] 10^{14}). [/mm] Dann kommt eben 4,85 Tage raus. Schaut man sich aber die Differenzen dieser 3 Ergebnisse genauer in Sek. an, dann wird schnell klar, dass hier schon - aus welchen Gründen auch immer - eine gewisse Ungenauigkeit reinkommt.
418567 Sek. für Aufschlag bei echtem Erdradius.
418920 Sek. und damit 353 Sek. mehr bei gedachtem 1 m Erdradius. D.h, der gedachte Mondmittelpunkt (denn es dann faktisch schon nicht mehr gäbe) wäre mit ca. 18 km/Sek unterwegs zum Erdmittelpunkt. Das klingt für mich plausibel.
Nun muss man diese 418920 Sek. mit den 416534 Sek. (4,821 Tage) aus deiner Kepler-Rechnung vergleichen. Das ist eine satte Differenz von 2386 Sek., also doch knapp 40 Min. Andererseits auch wieder nur eine Abweichung von 0,6%.
Eigentlich müsste doch sogar die idealisierte Keplerrechnung genauer sein, denn an seinem Gesetz gibt es nichts zu rütteln und wir bringen den Fehler bei Analysis-Rechnung über die Rundungen und das 9,81 [mm] m/s^{2} [/mm] rein.
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> Eigentlich müsste doch sogar die idealisierte
> Keplerrechnung genauer sein, denn an seinem Gesetz gibt es
> nichts zu rütteln und wir bringen den Fehler bei
> Analysis-Rechnung über die Rundungen und das 9,81 [mm]m/s^{2}[/mm]
> rein.
Bei der Kepler-Rechnung müsste ein punktförmiger Mond um eine punktförmige Erde "kreisen", will sagen, der Mondschwerpunkt bis zum Erdschwerpunkt und darum herum, was natürlich nicht geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Sa 26.03.2022 | | Autor: | Spica |
Das meinte ich auch so. Und klar, wir betrachten hier Konstellationen, die es praktisch nicht gibt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:04 So 27.03.2022 | | Autor: | Spica |
Hat sich erübrigt!
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Na gut, du willst es ja genau wissen. Da ich nun ein paar Variablen mehr brauche, mache ich einige kleine Änderungen und Zusätze:
S = Schwerpunkt des Erde-Mond-Systems
h = Anfangsabstand Erdschwerpunkt-Mondschwerpunkt [mm] \approx [/mm] 384 400 km
y = Momentanabstand Erdschwerpunkt-S
z = Momentanabstand Mondschwerpunkt-S
x = Momentanabstand Erdschwerpunkt-Mondschwerpunkt = y + z
k = Masse Erde/Masse Mond [mm] \approx [/mm] 81
v = Relativgeschwindigkeit Erde-Mond = -dx/dt
w = Geschwindigkeit Mond-S = -dz/dt
g = Beschleunigungsfaktor an der Erdoberfläche [mm] \approx [/mm] 9,81
G = (k+1)/k*g [mm] \approx [/mm] g*82/81
r = Mondradius [mm] \approx [/mm] 1737 km
R = Erdradius [mm] \approx [/mm] 6371 km
Du wirst sehen, dass ich von den vorhergehenden Berechnungen sehr viel übernehmen kann.
g ist die Erdbeschleunigung als feste Zahl an der Erdoberfläche. Die Beschleunigung a des Mondes im Abstand x von der Erde beträgt damit wie bisher
a = $ [mm] g*R^2/x^2. [/mm] $
Das ist umgekehrt quadratisch, und wenn du für x wieder R einsetzt, erhältst du a = g. M(Erde) wird dann nicht benötigt.
Dabei ist a die Ableitung der Geschwindigkeit w relativ zum festen S nach der Zeit, also a = - dw/dt. Wegen actio = reactio wird aber die Erde mit der selben Kraft beschleunigt, erfährt aber nur die Beschleunigung a/k, weil sie k-mal so schwer wie der Mond ist. Die Strecke x schrumpft somit mit der Geschwindigkeit v = w + w/k = w(k+1)/k, wobei der Schwerpunkt auf der Stelle bleibt (Schwerpunktsatz). Daraus ergibt sich:
a = - dw/dt = - dv/dt*k/(k+1), und man erhält
- dv/dt*k/(k+1)= [mm] g*R^2/x^2 [/mm] bzw.
dv/dt = - (k+1)/k [mm] g*R^2/x^2 [/mm] = [mm] G*R^2/x^2
[/mm]
Der Rest verläuft genau so wie bisher, man muss überall nur g durch G ersetzen und hat dann die selben Gleichungen.
Wir nehmen die obige Gleichung mit v mal und setzen dies darin ein:
-v*dv/dt = vG [mm] R^2/x^2 [/mm] v
v*dv/dt = - [mm] GR^2/x^2*dx/dt [/mm]
v*dv = - [mm] GR^2/x^2*dx [/mm]
Beide Seiten integriert:
$ [mm] \integral_{A}^{E}{v dv} [/mm] $ = - $ [mm] \integral_{h}^{E}{G*R^2/x^2 dx} [/mm] $
Dabei bezeichnet A den Anfangs- und E den Endwert.
1/2 $ [mm] v^2 |^E_A [/mm] $ = $ [mm] G*R^2/x|^E_h, [/mm] $ wobei h der Anfangsabstand ist.
1/2 $ [mm] v_E^2 [/mm] $ - 1/2 $ [mm] v_A^2 [/mm] $ = $ [mm] GR^2/x_E [/mm] $ - $ [mm] GR^2/h [/mm] $
Da $ [mm] v_A [/mm] $ = 0 sein soll, erhält man - wenn man für die momentanen Werte das E weglässt:
1/2 $ [mm] v^2 [/mm] $ = $ [mm] G\cdot{}R^2(1/x [/mm] $ - 1/h)
v = $ [mm] \wurzel{2G\cdot{}R^2(1/x - 1/h)}. [/mm] $
Hieraus kannst du nun sofort die Aufprallgeschwindigkeit berechnen. Beim Aufprall sind die beiden Schwerpunkte, falls sie in den Körpermitten liegen, x = r+R entfernt:
v(Aufprall) = $ [mm] \wurzel{2G\cdot{}R^2(1/(r+R)- 1/h)}. [/mm] $
Das gibt mit obigen Werten v = 9,86587 km/s = 35 517 km/h.
Davon entfallen relativ zum Schwerpunkt 1/82 auf die Erde und 81/82 auf den Mond.
Nun ist in jedem Moment v = - dx/dt, also dt = - dx/v und damit
dt = $ [mm] \bruch{-dx}{\wurzel{2G\cdot{}R^2(1/x - 1/h)}}. [/mm] $
Wenn du jetzt beide Seiten vom Anfangs- zum Endwert integriertst, erhältst du die gesamte Flugzeit.
Nach meinem Mathe-Programm gibt das
t = [mm] h\wurzel{\bruch{h}{2GR^2}}\cdot{}arctan(\wurzel{\bruch{h-R-r}{R+r}}) [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{h(R+r)(h-R-r)}{2GR^2}}. [/mm]
Das gibt mit obigen Werten [mm] 4,164*10^5 [/mm] s = 115,665 h = 4,8194 Tage.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:30 So 27.03.2022 | | Autor: | Spica |
Vielen Dank!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:52 So 27.03.2022 | | Autor: | Spica |
Musst du nicht den Endpunkt noch um die Strecke ca. 4640km erhöhen? Das ist der Abstand zu Beginn vom Erdmittel bis zum gemeinsamen Schwerpunkt. Die Erde ist doch mit ihrem eigenen Mittelpunkt fast schon dort, wenn sich die Oberflächen rein theoretisch berühren (ungeachtet mal der Tatsache, dass die Gezeitenkräfte zuvor schon ordentlich die Mondoberfläche zerpflückt hätten).
Damit wäre m.E. der Endpunkt x = r+R+4640.000
Wenn ich das einsetze in deine neue Formel, komme ich auf 115,3 h und damit 0,365 h [mm] \approx [/mm] 22 Min früher.
Jetzt auch noch rauszutüfteln, wie weit bei der Berührung der Radien nun die jeweiligen Mittelpunkt vom Schwerpunkt entfernt wären, um es exakt analytisch zu rechnen, das ersparen wir uns wohl lieber, oder? Angenähert könnte man einfach di Endgeschw. der Erde nehmen, sie mit diesen 22 Min multiplizieren und diese Strecke noch mal von den 4640km abziehen, also noch so ein Delta berechnen, dann wäre x = r+R+4.640.000-(9866/82*60*22)=r+R+4.481.181
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> Musst du nicht den Endpunkt noch um die Strecke ca. 4640km
> erhöhen? Das ist der Abstand zu Beginn vom Erdmittel bis
> zum gemeinsamen Schwerpunkt. Die Erde ist doch mit ihrem
> eigenen Mittelpunkt fast schon dort, wenn sich die
> Oberflächen rein theoretisch berühren (ungeachtet mal der
> Tatsache, dass die Gezeitenkräfte zuvor schon ordentlich
> die Mondoberfläche zerpflückt hätten).
> Damit wäre m.E. der Endpunkt x = r+R+4640.000
Es ist ja x der jeweilige Abstand zwischen Erdschwerpunkt/-mittelpunkt und Mondschwerpunkt/-mittelpunkt, wobei ich davon (fälschlich) ausgehe, das beide Körper sich bis zuletzt nicht gegenseitig deformieren. Dieser Abstand x ist für die Anziehungskraft verantwortlich. Diese setzt den Mond relativ zum feststehenden Schwerpunkt in Bewegung und sorgt - wie in der Rechnung mit feststehender Erde - für eine Verkürzung von z. Gleichzeitig bewegt sich aber auch die Erde zusätzlich mit 1/81 davon auf den Mond zu, so dass die Gesamtverkürzung 82/81 mal so groß ist, was man einfach mit einem künstlich erhöhten g-Faktor berechnen kann. Dabei spielt in der Rechnung mit x dann die Lage des Schwerpunktes keine Rolle mehr, sondern nur noch der Abstand der beiden Mittelpunkte, der am Ende r + R sein soll.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 So 27.03.2022 | | Autor: | Spica |
Du hast recht. x ist in jedem Moment der Abstand der jeweiligen Mittelpunkte. Das war mein Denkfehler bzw. deine Variablen-Def. nicht richtig beachtet. Danke für die Erklärung.
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 17:58 Di 29.03.2022 | | Autor: | Spica |
Ein nun hoffentlich letzter Nachtarock zu der Sache:
Da x der jeweilige Abstand der Mittelpunkte der Körper ist, heißt das: h-r-R ergibt die bis t(Aufprall Oberflächen) von beiden Körper zurückgelegte Strecke, die sich wiederum im Verhältnis ihrer Massen aufteilt. Damit wäre der Mond noch ca. 7500km und die Erde noch ca. 93km beim Aufprall vom gemeinsamen Schwerpunkt entfernt.
Wenn ich auf die Arbeit schaue, dann trage ich die Kraft aus [mm] G*M*m/r^2 [/mm] (G und r natürlich jetzt anders gebraucht als bei dir) einfach über r auf und integriere. Das ist dann aber die Gesamtarbeit, die das System bei der Annäherung leistet. Davon entfallen dann wieder 81/82 auf den Mond und nur 1/82 auf die Erde. Das ist für das Bauchgefühl erst mal - zumindest für mich - erstaunlich. Aber es entspricht auch der Summe der kinetischen Energien, die beide am Schluß mitbringen, und da geht halt v im Quadrat ein. So weit, so klar für mich.
Nun habe ich mich noch gefragt, wie zu rechnen wäre, wenn ich bei vorgegebener Falldauer vom Startpunkt h aus (eben wieder die 384000km) wissen möchte, wie groß dann der Abstand der beiden Körpermittelpunkte noch wäre. Eigentlich müsste das doch dann die Umkehrfunktion deiner t-Formel sein, oder? Die bekomme ich aber nicht hin. Auch online-Rechner steigen aus. Und meine Versuche zur analogen Ableitung, wie du das angegangen bist, scheitern auch kläglich. Hast du eine Idee (falls noch Lust vorhanden ist)?
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> Ein nun hoffentlich letzter Nachtarock zu der Sache:
> Da x der jeweilige Abstand der Mittelpunkte der Körper
> ist, heißt das: h-r-R ergibt die bis t(Aufprall
> Oberflächen) von beiden Körper zurückgelegte Strecke,
> die sich wiederum im Verhältnis ihrer Massen aufteilt.
> Damit wäre der Mond noch ca. 7500km und die Erde noch ca.
> 93km beim Aufprall vom gemeinsamen Schwerpunkt entfernt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bei meinen angegebenen Werten R=6371 km und r=1737 habe ich für Erde 99 km und für Mond 8 009 km vom Schwerpunkt.
> Wenn ich auf die Arbeit schaue, dann trage ich die Kraft
> aus [mm]G*M*m/r^2[/mm] (G und r natürlich jetzt anders gebraucht
> als bei dir) einfach über r auf und integriere. Das ist
> dann aber die Gesamtarbeit, die das System bei der
> Annäherung leistet. Davon entfallen dann wieder 81/82 auf
> den Mond und nur 1/82 auf die Erde. Das ist für das
> Bauchgefühl erst mal - zumindest für mich - erstaunlich.
> Aber es entspricht auch der Summe der kinetischen Energien,
> die beide am Schluß mitbringen, und da geht halt v im
> Quadrat ein. So weit, so klar für mich.
Das mag erstaunlich sein, aber es ist so. Wenn z.B. ein kleiner Flummi vollkommen elastisch gegen eine feste Wand prallt, bleibt der Gesamtimpuls erhalten, das heißt: Wenn der Flummi nach rechts den Imnpuls P1 hat und die Wand keinen Impuls, fliegt der Flummi danach mit derselben negativen Geschwindigkeit zurück und hat dann den Impuls -P1. Da der Gesamtimpuls vor dem Stoß P1 war, muss die Wand jetzt den Impuls 2P1 haben, damit zusammen wieder P1 wie zu Anfang herauskommt. Obwohl die Wand nun den doppelten Flummiimpuls hat, bewegt sie sich nicht (nur infinitesimal, weil die ganze Erde dranhängt) und hat auch keine (nur infinitesimale) kin. Energie. Das ist so.
> Nun habe ich mich noch gefragt, wie zu rechnen wäre, wenn
> ich bei vorgegebener Falldauer vom Startpunkt h aus (eben
> wieder die 384000km) wissen möchte, wie groß dann der
> Abstand der beiden Körpermittelpunkte noch wäre.
> Eigentlich müsste das doch dann die Umkehrfunktion deiner
> t-Formel sein, oder? Die bekomme ich aber nicht hin. Auch
> online-Rechner steigen aus. Und meine Versuche zur analogen
> Ableitung, wie du das angegangen bist, scheitern auch
> kläglich. Hast du eine Idee (falls noch Lust vorhanden
> ist)?
Lust immer, Zeit nie.
Beim Fall von der Höhe h mit v=0 auf die Höhe x gilt:
t = $ [mm] h\wurzel{\bruch{h}{2GR^2}}\cdot{}arctan(\wurzel{\bruch{h-x}{x}}) [/mm] $ + $ [mm] \wurzel{\bruch{hx(h-x)}{2GR^2}}. [/mm] $
Diese Gleichung lässt sich grundsätzlich nicht nach x umstellen, da dieses gleichzeitig im arctan und einer Wurzel vorkommt.
Eine (gute) Näherungslösung erreicht man durch das Newtonsche Näherungsverfahren oder die Regula falsi, wobei hier letztere zu bevorzugen ist, da dabei nicht auf Ableitungen zurückgegriffen werden muss.
Beispiel:
Du möchtest wissen, wie x nach einem Tag aussieht. Dann wäre die Fallzeit t = 24*3600 s, also t = 86 400.
Dann suchst du das y, für das
y = t - 86 400 = [mm] h\wurzel{\bruch{h}{2GR^2}}\cdot{}arctan(\wurzel{\bruch{h-x}{x}}) +\wurzel{\bruch{hx(h-x)}{2GR^2}} [/mm] - 86 400 = 0 wird.
Zunächst nimmst du zwei "realistische" Schätzwerte, z.B.
[mm] x_1 [/mm] = 300 000 000 (m) und
[mm] x_2 [/mm] = 250 000 000 (m).
Dazu berechnest du nach obiger Formel [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2:
[/mm]
[mm] y_1 \approx [/mm] 152921
[mm] y_2 \approx [/mm] 208104
Damit bildest du einen neuen x-Wert (regula falsi):
[mm] x_{neu} [/mm] = [mm] \bruch{x_1y_2 - x_2y_1}{y_2 - y_1} [/mm] = 438559425 > h
Das bedeutet nur, dass beide Ausgangswerte niedriger als der gesuchte sind.
Deshalb ändere ich in 380 000 000 und 350 000 000:
[mm] x_1 [/mm] = 380 000 000 (m) und
[mm] x_2 [/mm] = 350 000 000 (m).
[mm] y_1 \approx [/mm] - 29712
[mm] y_2 \approx [/mm] 70006
Der Wert mit y = 0 liegt also dazwischen. nach einem Tag ist der Mond also noch nicht einmal auf 350 000 km herangekommen.
Der nächste x-Wert liegt dann bei ca.
x = 371061095 mit y [mm] \approx [/mm] 11915
Wir ersetzen [mm] x_2 [/mm] durch den letzten x-Wert:
[mm] x_1 [/mm] = 380 000 000 (m) und
[mm] x_2 [/mm] = 371 000 000 (m).
[mm] y_1 \approx [/mm] - 29712
[mm] y_2 \approx [/mm] 12137
führt zu x [mm] \approx [/mm] 373610171 mit y [mm] \approx [/mm] 2123
nächste Werte:
[mm] x_1 [/mm] = 373 600 000 (m) und
[mm] x_2 [/mm] = 373 700 000 (m).
[mm] y_1 \approx [/mm] 2164
[mm] y_2 \approx [/mm] 1757
neues x: 374 131 536 usw.
Fazit: nach einem Tag hat sich der Mond der Erde erst um ca. 10 270 km genähert.
Nach 2 Tagen sind es noch 342 110 km,
nach 3 Tagen sind es noch 283 813 km,
nach 4 Tagen sind es noch 185 700 km, also noch fast die Hälfte !!!
nach 4,5 Tagen sind es noch 106 030 km,
nach 4,8 Tagen sind es noch 20 528 km.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Mi 30.03.2022 | | Autor: | Spica |
Vielen Dank und schön, dass sich zu deiner stets gegenwärtigen Lust auch noch die nötige Zeit gesellte.
<Bei meinen angegebenen Werten R=6371 km und r=1737 habe ich für Erde 99 km und für Mond 8 009 km vom Schwerpunkt.>
Das erhalte ich für 384.000km auch. Weiß nicht mehr, warum ich da tiefer lag als du und wohl irgendwo schlampte, aber vom Prinzip her hatte ich es schon richtig gerechnet.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 Di 22.03.2022 | | Autor: | Spica |
Jetzt habe ich mich mit den Formeln für v und t gespielt und nun ist mir auch klar, welche Werte man jeweils für x, r und R einsetzen muss.
Was mir unklar ist:
Bei der v-Formel kann ich wunderbar mit x den Endwert und mit r die Starthöhe eingeben und kann mein R (Erdradius) mit zugehöriger Schwerebeschleunigung g (9,81) in allen Fällen belassen, auch wenn der Endpunkt über dem Erdradius liegt.
Bei der t Formel muss ich aber immer R (Abstand vom Erdmittelpunkt) an x (Endpunkt) anpassen, sodass gilt x=R, und dann für dieses R das entsprechende g (oder eben a) berechnen und in die Formel einsetzen. Damit wird natürlich der erste Term x/R immer 1 und kann im Grunde weggelassen werden. Erst dann bekomme ich die richtigen Zeiten für den freien Fall im inhomogenen Schwerefeld.
Mir ist nicht klar, wieso bei der t-Formel diese Anpassung nötig ist. Klar ist nur, dass x = r nicht möglich ist, weil sonst vor dem Integrieren der Wurzelterm im Nenner 0 werden würde und Division durch 0 verboten ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Di 22.03.2022 | | Autor: | leduart |
Was du über und r sagst ist mir nicht klar, statt so vieler Worte, kannst du das nicht an deinen Formeln erläutern?
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Mi 23.03.2022 | | Autor: | Spica |
Es sind nicht meine Formeln. Die Herleitung stammt von HJKweseleit.
Wie soll ich mein Verständnisproblem anders schildern? Ich verstehe die Herleitung. Die Formeln passen, wenn man sie überprüft, z.B. durch Einsetzen geringer Fallhöhen, dann ist das Ergebnis identisch mit den einfachen Formeln für homogenes Schwerefeld in Erdnähe.
Ich hätte nur auch gerne verstanden, warum man in der Formel für t immer groß R als Endpunkt mit zugehörigem g ( g = [mm] M_{E}\*F/R^2 [/mm] ) einsetzen muss. Dann kann man die Starthöhe klein r beliebig wählen und bekommt das richtige Ergebnis für den Fall durch das inhomogene Feld, eben bei großer Fallhöhe.
Bei der Formel für v musst du nicht ständig R neu anpassen, nur der zugehörige g Wert muss halt stimmen. Dann kannst du mit x jeden beliebigen Endpunkt und mit r jeden Starpunkt einsetzen und das Ergebnis stimmt.
Aber vielleicht gibt es da nichts zu verstehen, sondern einfach auch nur "Shut up and calculate".
Tut mir leid, jetzt sind es wieder viele Wörter geworden.
Wenn es dich interessiert, dann setze mal Werte ein. Geringe Fallhöhen und dann überprüfen, ob mit v = [mm] \wurzel{2*a*h} [/mm] bzw. t [mm] =\wurzel{2*h/t} [/mm] das Ergebnis identisch ist. a aber immer an R anpassen, z.B. für Höhe von 10.000 km ist a [mm] \approx [/mm] 4 [mm] m/s^{2}
[/mm]
Viele Grüße, Spica
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Sorry, die Formel enthält einen Schreibfehler: Das x muss hier auch ein r sein:
t = $ [mm] \bruch{r}{R}\wurzel{\bruch{r}{2g}}\cdot{}arctan(\wurzel{\bruch{r-R}{R}}) [/mm] $ + $ [mm] \wurzel{\bruch{r(r-R)}{2gR}}. [/mm] $
r ist jetzt immer die Starthöhe mit v=0 und R der Erdradius.
ACHTUNG: r und x sind nicht Höhen über der Erdoberfläche, sondern immer Abstände vom Erdmittelpunkt!!!
Vorsicht: Wenn man bei r mit v=0 startet und in einer anderen Höhe h>R landet, darf man nicht überall R durch h ersetzen. Wegen a = [mm] gR^2/x^2 [/mm] muss bei dieser Formel z.B. das R erhalten bleiben, an anderen Stellen aber nicht. Am einfachsten tut man dann so, als hätte die Erde einen neuen "Aufschlag-Radius" h>R, ersetzt überall R durch h, muss dann aber das g für den neuen Radius neu berechnen und das dann einsetzen, also [mm] g_{neu} [/mm] = [mm] g*R^2/h^2.
[/mm]
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In meiner Berechnung muss noch irgendwo ein Fehler stecken. Ich habe erst heute Abend Zeit, mich darum zu kümmern. Vielleicht findet ihn bis dahin schon jemand anders heraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:51 Do 24.03.2022 | | Autor: | Spica |
Ich wüsste nicht, wo dein Fehler sein soll. Wenn ich deine nach dt umgestellte Formel für Geschw (v) vor der Integration in einen online-Integralrechner eingebe und das bestimmte Integral zwischen R und r rechnen lasse, dann kommt er auf das gleiche Ergebnis wie du. Als Beispiel habe ich zwischen r = 380.000.000 m und R = 6.371.000 m gerechnet und komme auf [mm] 4.11\*10^{5} [/mm] Sek. Das spuckt auch deine t-Formel aus.
Dass bei der t-Formel g immer an das jeweilige R (gedachter Aufschlagradius) angepasst werden muss, ist mir auch aufgefallen. Hängt wohl damit zusammen, dass die Formel die Folge des bestimmten Integrals zwischen R und r ist und somit g immer angepasst werden muss. Die v-Formel sehe ich noch als die allgemeine Stammfunktion mit den einsetzbaren oberen und unteren Grenzen, die unabhängig von R und zugehörigem richtigen g wählbar sind. Kann man das so sagen?
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Ja, deine Überlegungen sind richtig. Es ist auch kein Fehler in der Rechnung. Aber bei einer zweiten Integralauswertung spuckte mein Programm eine andere Formel mit arcsin statt mit arctan aus. Gibt dann aber doch das selbe Zahlenergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:12 Sa 26.03.2022 | | Autor: | Spica |
Angenommen ein Körper würde genau auf der Verbindungslinie zwischen Erde und Mond aus der Ruhe fallen, dann müsste der bremsende Effekt des Mondes nach meiner Überlegung wie folgt in die v-Formel der Endgeschw. einfließen:
[mm] v=\wurzel{2*g*R^2*(1/x_{E}-1/r_{S})+2*z*K^2(1/(384000000-x_{E})-1/(384000000-r_{S}))}
[/mm]
Dabei wäre g die Erdbeschleunigung bei Erdradius R und z die Mondbeschleunigung bei Mondradius K. [mm] r_{S} [/mm] ist wieder die Starthöhe und [mm] x_{E} [/mm] die Endhöhe. Die 384.000.000 m der Abstand von Erdmittelpunkt zu Mondmittelpunkt. Der Bremseffekt hält sich in Grenzen, aber irgendwo nicht verwunderlich, da die Mondmasse nur 1/81 Teil der Erde ausmacht und der Einfluß mit dem Quadrat der Entfernung abnimmt. Die Formel macht freilich nur Sinn, solange der Körper noch in einer Entfernung von der Erde ist, wo die Schwerkraft des Mond noch nicht dominiert und der Körper noch Richtung Erde fällt.
Für die Falldauer ergibt sich dann daraus wieder durch Substitution von v durch -dx/dt:
- dx
dt -----------------------------------------------------
[mm] \wurzel{2*g*R^2*(1/x-1/r_{S})+2*z*K^2(1/(384000000-x)-1/(384000000-r_{S})}
[/mm]
Dieses Integral zu lösen, ist mir nicht möglich. Kann auch gut sein, dass es keine Stammfunktion gibt, zumindest melden das Onlinerechner wie auch Wolfram Alpha. Aber das stört nicht weiter, weil die Rechner numerische Integration machen. Und da man noch kein bestimmtes Integral hat, muss man immer nur [mm] r_{S} [/mm] in der Formel an die untere Integrationsgrenze anpassen und bis zu einem Endpunkt integrieren lassen. R und K mit ihren jeweiligen g und z Werten können für die unterschiedlichen Fallszenarien belassen werden.
Mag meine Herleitung bzw. händische Integration mit Substitution von oben jemand bitte nachprüfen? Sicher bin ich mir nicht, ob das so passt.
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Ja, deine Formeln sind richtig. Auch mein Programm liefert keine Stammfunktion.
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