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Hallo!
Ich habe noch einige Probleme mit der Definition des freien Produkts von Gruppen.
Hier mal der Wikipedia-Link.
http://de.wikipedia.org/wiki/Freies_Produkt
Mein Problem ist, dass ich mir eine solche "Produktgruppe" nicht vorstellen kann. Das scheitert für mich schon an der Definition des "Wort". Sind in dieser Gruppe denn nun wirklich nur Worte drin oder sind das nicht gleich doch die Produkte der Elemente?
Wenn ich es bspw versuche mir [mm] \IZ \* \IZ [/mm] vorzustellen:
Ist das freie Produkt dann einfach nur die Gruppe mit beliebigen Zahlenfolgen aus [mm] \IZ [/mm] (zB 6 (-3) 2 8 (die einzelnen Zahlen abwechselnd aus den beiden Kopien von [mm] \IZ [/mm] ))?
Oder nicht doch die Menge aller Produkte (bzw hier wohl Summen) aus Elementen aus [mm] \IZ [/mm] und deshalb schon wieder [mm] \IZ [/mm] selbst?
Oder als weiteres Beispiel mal [mm] \IZ [/mm] / [mm] 2\IZ \* \IZ 3\IZ? [/mm] Nach meiner Logik wäre das ja dann die Gruppe mit den Elementen {0,1,2,3}? Oder enthält sie doch nur unendlich viele Folgen/Wörter?
Eine direkt Folgefrage wäre dann, was es mit dem amalgamierten Produkt auf sich hat:
http://de.wikipedia.org/wiki/Amalgamiertes_Produkt
Das scheint mir doch dasselbe zu sein, wie das freie Produkt, außer dass da noch irgendwie eine Zusatzgruppe mit dazu kommt. Was die für Auswirkungen hat, verstehe ich allerdings nicht...
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Viele Grüße,
Laura
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 So 15.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Laura!
> Ich habe noch einige Probleme mit der Definition des freien
> Produkts von Gruppen.
>
> Hier mal der Wikipedia-Link.
> http://de.wikipedia.org/wiki/Freies_Produkt
>
> Mein Problem ist, dass ich mir eine solche "Produktgruppe"
> nicht vorstellen kann. Das scheitert für mich schon an der
> Definition des "Wort". Sind in dieser Gruppe denn nun
> wirklich nur Worte drin oder sind das nicht gleich doch die
> Produkte der Elemente?
Nun, es sind Worte modulo einer Aequivalenzrelation.
> Wenn ich es bspw versuche mir [mm]\IZ \* \IZ[/mm] vorzustellen:
>
> Ist das freie Produkt dann einfach nur die Gruppe mit
> beliebigen Zahlenfolgen aus [mm]\IZ[/mm] (zB 6 (-3) 2 8 (die
> einzelnen Zahlen abwechselnd aus den beiden Kopien von [mm]\IZ[/mm]
> ))?
> Oder nicht doch die Menge aller Produkte (bzw hier wohl
> Summen) aus Elementen aus [mm]\IZ[/mm] und deshalb schon wieder [mm]\IZ[/mm]
> selbst?
Weisst du was eine freie Gruppe ist (nicht eine freie abelsche Gruppe)? Hast du schonmal eine freie Gruppe mit zwei Erzeugern gesehen?
Einfacher ist es, das anders aufzuschreiben. Dazu sei das eine [mm] $(\IZ, [/mm] +)$ isomorph zu einer Gruppe [mm] $\{ a^n \mid n \in \IZ \}$, [/mm] und das andere isomorph zu [mm] $\{ b^n \mid n \in \IZ \}$. [/mm] Dann ist so ein Wort in [mm] $\IZ \ast \IZ$ [/mm] von der Form [mm] $a^{n_1} b^{m_1} a^{n_1} b^{m_2} \dots a^{n_k} b^{m_k}$. [/mm] (Jetzt kann man die Zahlen auseinanderhalten, also man weiss jeweils zu welcher Gruppe sie gehoeren.)
Es gibt zum Beispiel die Woerter [mm] $a^5 [/mm] b$ und $b [mm] a^5$ [/mm] -- das sind zwei verschiedene Woerter. Ebenso gibt es [mm] $a^5 [/mm] b a [mm] b^{-1}$.
[/mm]
(Dieses [mm] $\IZ \ast \IZ$ [/mm] ist uebrigens eine freie Gruppe mit zwei Erzeugern: in meiner Notation sind $a$ und $b$ die Erzeuger.)
> Oder als weiteres Beispiel mal [mm]\IZ/2\IZ \* \IZ 3/IZ?[/mm] Nach
> meiner Logik wäre das ja dann die Gruppe mit den Elementen
> {0,1,2,3}?
Nein, das ganz sicher nicht. Die Gruppe hat eine Untergruppe der Ordnung 2 und eine der Ordnung 3 (naemlich etwas was isomorph zu [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] und isomorph zu [mm] $\IZ/3\IZ$ [/mm] ist), und muss folglich (wenn sie endlich ist) eine Ordnung haben, die ein Vielfaches von $kgV(2, 3) = 6$ ist.
> Oder enthält sie doch nur unendlich viele
> Folgen/Wörter?
Ja, die Gruppe ist unendlich. Sei [mm] $\IZ/2\IZ [/mm] = [mm] \{ 1, a \}$ [/mm] und [mm] $\IZ/3\IZ [/mm] = [mm] \{ 1, b, b^2 \}$ [/mm] (also [mm] $a^2 [/mm] = 1$, [mm] $a^{-1} [/mm] = a$, [mm] $b^3 [/mm] = 1$, [mm] $b^{-1} [/mm] = [mm] b^2$, [/mm] ...). Dann hat das Element $a b$ in [mm] $\IZ/2\IZ [/mm] * [mm] \IZ/3\IZ$ [/mm] unendliche Ordnung: die Elemente $a b$, $a b a b$, $a b a b a b$, ... sind alle paarweise verschieden.
> Eine direkt Folgefrage wäre dann, was es mit dem
> amalgamierten Produkt auf sich hat:
> http://de.wikipedia.org/wiki/Amalgamiertes_Produkt
> Das scheint mir doch dasselbe zu sein, wie das freie
> Produkt, außer dass da noch irgendwie eine Zusatzgruppe
> mit dazu kommt. Was die für Auswirkungen hat, verstehe ich
> allerdings nicht...
Das ist auch ziemlich aehnlich zum freien Produkt. Man moechte eine moeglichst freie Gruppe enthalten, die beide Gruppen umfasst, so dass die Untergruppen jeweils zusammenfallen.
Es ist schwer, hier mehr drueber zu schreiben, ohne zu wissen wofuer du das eigentlich brauchst und was du sonst noch so fuer komisches abstraktes Zeugs aus der Algebra kennst (hast du z.B. schonmal mit Tensorprodukten von Ringen/Moduln ueber Ringen gearbeitet?).
Eine Anwendung des amalgamiertes Produktes hat man z.B. in der Topologie, wenn man die Fundamentalgruppe eines Raumes angeben will, der aus zwei zusammenhaengenden Raeumen besteht, die entlang eines zusammenhaengenden Unterraums "zusammengeklebt" wurden. Die Fundamentalgruppe ist dann das amalgamierte Produkt der Fundamentalgruppen mit der amalgamierten Untergruppe, die der Fundamentalgruppe des Unterraums entlang dem zusammengeklebt wurde. (Siehe auch![[]](/images/popup.gif) hier und hier.)
LG Felix
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Vielen Dank schonmal!
Ich lese da gerade etwas in einem Buch über Graphentheorie darüber als Vorbereitung auf ein Seminar in ein Paar Monaten.
Ich hab dazu auch noch eine Folgefrage:
Wenn ich einen Homomorphismus von einem Amalgierten Produkt von G1 und G2 in einer Gruppe G vorliegen habe, und wenn ich weiß, dass G von der Vereinigung von G1 und G2 erzeugt wird - kann ich dann sagen, dass diese Abbildung surjektiv ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Sa 21.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Laura!
> Ich hab dazu auch noch eine Folgefrage:
>
> Wenn ich einen Homomorphismus von einem Amalgierten Produkt
> von G1 und G2 in einer Gruppe G vorliegen habe, und wenn
> ich weiß, dass G von der Vereinigung von G1 und G2 erzeugt
> wird - kann ich dann sagen, dass diese Abbildung surjektiv
> ist?
Ohne weitere Informationen nicht. Die Abbildung koennte ja die triviale Abbildung sein, die alles auf das neutrale Element abbildet. Die ist nur dann surjektiv, wenn $G = [mm] \{ e \}$ [/mm] ist.
Hast du mehr Informationen zu dem Homomorphismus?
LG Felix
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