Friedmann-Gleichung < Astronomie < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:56 Di 01.05.2012 | | Autor: | timgkeller |
| Aufgabe | Da unser Universum, in einer guten Näherung, räumlich flach ist, kann seine Friedmann-Gleichung wie folgt geschrieben werden:
(1) [mm]\bruch{\dot a}{a}=H_{0}(\bruch{\Omega_{m0}}{a^3}+(1-\Omega_{m0}))^{\bruch{1}{2}[/mm]
Zeigen Sie, dass die folgende Gleichung eine Lösung von Gleichung (1) ist:
(2) [mm]a(t)=(\wurzel{\bruch{\Omega_{m0}}{1-\Omega_{m0}}}sinh(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2}))^{\bruch{2}{3}[/mm]
Hinweis: [mm]sinh'(x)=cosh(x)=\wurzel{1+sinh^2(x)}[/mm] |
Hallo,
hier bräuchte ich etwas Hilfe. Da als Hinweis bereits eine Ableitung angegeben ist, ist mein Ansatz die Gleichung (2) abzuleiten. Danach teile ich die Ableitung wieder durch die Gleichung (2) und das sollte dann eigentlich schon der Beweis sein, oder?
Also versuche ich das einfach mal so:
[mm]a'(t)=\wurzel{\bruch{\Omega_{m0}}{1-\Omega_{m0}}}\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}\wurzel{1+sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}*(\wurzel{\bruch{\Omega_{m0}}{1-\Omega_{m0}}}sinh(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2}))^{-\bruch{1}{3}[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]\bruch{a'(t)}{a(t)}=\bruch{\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}\wurzel{1+sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}}{sinh(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}[/mm]
Jetzt komme ich leider nicht mehr weiter. Zu zeigen ist:
[mm]H_{0}\bruch{\wurzel{1-\Omega_{m0}}\wurzel{1+sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}}{sinh(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}=H_{0}(\bruch{\Omega_{m0}}{a^3}+(1-\Omega_{m0}))^{\bruch{1}{2}[/mm]
Allerdings komme ich nicht darauf, wie ich sinh wegbekomme. Ich hoffe hier kann mir jemand helfen...
Vielen Dank,
Tim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Mi 02.05.2012 | | Autor: | timgkeller |
Leider kann man als Autor keine Lösung posten, aber ich wollte wenigstens mitteilen, dass ich die Lösung gefunden habe. Evtl. schaut sich das ja nochmal jemand an...
Zu zeigen war:
[mm]H_{0}\bruch{\wurzel{1-\Omega_{m0}}\wurzel{1+sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}}{sinh(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}=H_{0}(\bruch{\Omega_{m0}}{a(t)^3}+(1-\Omega_{m0}))^{\bruch{1}{2}[/mm]
mit
[mm]a(t)=(\wurzel{\bruch{\Omega_{m0}}{1-\Omega_{m0}}}sinh(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2}))^{\bruch{2}{3}[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]H_{0}\bruch{\wurzel{1-\Omega_{m0}}\wurzel{1+sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}}{sinh(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})} =[/mm]
[mm]H_{0}\bruch{\wurzel{1-\Omega_{m0}}\wurzel{1+sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}}{\wurzel{sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}} =[/mm]
[mm]H_{0}\wurzel{1-\Omega_{m0}}\wurzel{1+\bruch{1}{sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}}=[/mm]
[mm]H_{0}((1-\Omega_{m0})(1+\bruch{1}{sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}))^{\bruch{1}{2}}=[/mm]
[mm]H_{0}(\bruch{1-\Omega_{m0}}{sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}}+(1-\Omega_{m0}))^{\bruch{1}{2}}=[/mm]
[mm]H_{0}(\bruch{\Omega_{m0}}{\bruch{\Omega_{m0}}{1-\Omega_{m0}}sinh^2(\bruch{3\wurzel{1-\Omega_{m0}}H_{0}t}{2})}+(1-\Omega_{m0}))^{\bruch{1}{2}}=[/mm]
[mm]H_{0}(\bruch{\Omega_{m0}}{a(t)^3}+(1-\Omega_{m0}))^{\bruch{1}{2}[/mm]
q.e.d.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:27 Do 03.05.2012 | | Autor: | Infinit |
Hallo Tim,
vielen Dank für die Herleitung, die ja Deine eigene Frage beantwortet. Ich setze den Staus mal entsprechend um.
Viele Grüße,
Infinit
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