Frobenius Automorphismus < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Mi 04.01.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo,
ich habe eine Frage zum Verständnis. In meiner Vorlesung habe ich folgendes notiert:
Der Frobenius Automorphismus [mm] f:\IF_{p^n}\to\IF_{p^n},x\mapsto x^p [/mm] überträgt Nullstellen auf Nullstellen, das Minimalpolynom zerfällt in [mm] (X-a)(X-a^p)\cdots(X-a^{p^n-1}). [/mm] Dabei ist a ein Primteiler von [mm] \IF_{p^n}^\ast.
[/mm]
Ich werde aus dieser Notiz nach langem Grübeln immer noch nicht schlau. Welche Nullstellen werden übertragen?
Und von welchem Minimalpolynom ist die Rede? Es könnte auch sein, dass da steht [mm] (X-a)(X-a^p)\cdots(X-a^{p(n-1)}), [/mm] kann meine eigene Schrift leider nicht lesen ...
Ich kann leider keine weiteren Infos geben, da es sich eben nur um diese (lückenhafte) Notiz handelt.
Danke für Hilfe.&Gruß
mili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:34 Mi 04.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe eine Frage zum Verständnis. In meiner Vorlesung
> habe ich folgendes notiert:
>
> Der Frobenius Automorphismus
> [mm]f:\IF_{p^n}\to\IF_{p^n},x\mapsto x^p[/mm] überträgt
> Nullstellen auf Nullstellen, das Minimalpolynom zerfällt
> in [mm](X-a)(X-a^p)\cdots(X-a^{p^n-1}).[/mm] Dabei ist a ein
Das stimmt nicht ganz: das Minimalpolynom (von $a$) ist $(X - a) (X - [mm] a^p) \cdots [/mm] (X - [mm] a^{p^{n-1}})$.
[/mm]
> Primteiler von [mm]\IF_{p^n}^\ast.[/mm]
Was soll ein "Primteiler" von [mm] $\IF_{p^n}^\ast$ [/mm] sein?
Ist gemeint, dass [mm] $\IF_{p^n} [/mm] = [mm] \IF_p(a)$ [/mm] ist? Oder ist ein primitives Element gemeint (was insb. das erfuellt)?
> Ich werde aus dieser Notiz nach langem Grübeln immer noch
> nicht schlau. Welche Nullstellen werden übertragen?
Sei $g$ das Minimalpolynom von $a$ ueber [mm] $\IF_p$. [/mm] Ist dann $x$ eine Nullstelle von $g$, so auch $f(x) = [mm] x^p$. [/mm] Ebenso ist dann $f(f(x)) = [mm] x^{p^2}$, [/mm] $f(f(f(x))) = [mm] x^{p^3}$, [/mm] ... eine Nullstelle von $g$.
> Und von welchem Minimalpolynom ist die Rede?
Das von $a$ ueber [mm] $\IF_p$. [/mm] Das scheint Grad $n$ zu haben (was aequvialent zu [mm] $\IF_{p^n} [/mm] = [mm] \IF_p(a)$ [/mm] ist.)
> Es könnte
> auch sein, dass da steht [mm](X-a)(X-a^p)\cdots(X-a^{p(n-1)}),[/mm]
> kann meine eigene Schrift leider nicht lesen ...
Es muss [mm] $a^{p^{n-1}}$ [/mm] heissen zum Schluss.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:56 Mi 04.01.2012 | | Autor: | mili03 |
Hallo felix,
dankesehr!!!
> Moin!
>
> > ich habe eine Frage zum Verständnis. In meiner Vorlesung
> > habe ich folgendes notiert:
> >
> > Der Frobenius Automorphismus
> > [mm]f:\IF_{p^n}\to\IF_{p^n},x\mapsto x^p[/mm] überträgt
> > Nullstellen auf Nullstellen, das Minimalpolynom zerfällt
> > in [mm](X-a)(X-a^p)\cdots(X-a^{p^n-1}).[/mm] Dabei ist a ein
>
> Das stimmt nicht ganz: das Minimalpolynom (von [mm]a[/mm]) ist [mm](X - a) (X - a^p) \cdots (X - a^{p^{n-1}})[/mm].
>
> > Primteiler von [mm]\IF_{p^n}^\ast.[/mm]
>
> Was soll ein "Primteiler" von [mm]\IF_{p^n}^\ast[/mm] sein?
>
> Ist gemeint, dass [mm]\IF_{p^n} = \IF_p(a)[/mm] ist? Oder ist ein
> primitives Element gemeint (was insb. das erfuellt)?
Hm, gute Frage. Zusammen mit der Erklärung unten, würde ich aber meinen, dass die erste Variante besser passt (vielleicht hatte ich das falsch notiert, ging sehr schnell).
>
> > Ich werde aus dieser Notiz nach langem Grübeln immer noch
> > nicht schlau. Welche Nullstellen werden übertragen?
>
> Sei [mm]g[/mm] das Minimalpolynom von [mm]a[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm]. Ist dann [mm]x[/mm] eine
> Nullstelle von [mm]g[/mm], so auch [mm]f(x) = x^p[/mm]. Ebenso ist dann
> [mm]f(f(x)) = x^{p^2}[/mm], [mm]f(f(f(x))) = x^{p^3}[/mm], ... eine
> Nullstelle von [mm]g[/mm].
Wie folgt denn, dass [mm] f(x)=x^p [/mm] auch Nullstelle ist?
Den Rest habe ich alles verstanden 
Gruß
>
> > Und von welchem Minimalpolynom ist die Rede?
>
> Das von [mm]a[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm]. Das scheint Grad [mm]n[/mm] zu haben (was
> aequvialent zu [mm]\IF_{p^n} = \IF_p(a)[/mm] ist.)
>
> > Es könnte
> > auch sein, dass da steht [mm](X-a)(X-a^p)\cdots(X-a^{p(n-1)}),[/mm]
> > kann meine eigene Schrift leider nicht lesen ...
>
> Es muss [mm]a^{p^{n-1}}[/mm] heissen zum Schluss.
>
> LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mi 04.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > > Primteiler von [mm]\IF_{p^n}^\ast.[/mm]
> >
> > Was soll ein "Primteiler" von [mm]\IF_{p^n}^\ast[/mm] sein?
> >
> > Ist gemeint, dass [mm]\IF_{p^n} = \IF_p(a)[/mm] ist? Oder ist ein
> > primitives Element gemeint (was insb. das erfuellt)?
(Ok, primitives Element kann auch einfach nur das erste bedeuten. Je nachdem in welchem Kontext es vorkommt...)
> > > Ich werde aus dieser Notiz nach langem Grübeln immer noch
> > > nicht schlau. Welche Nullstellen werden übertragen?
> >
> > Sei [mm]g[/mm] das Minimalpolynom von [mm]a[/mm] ueber [mm]\IF_p[/mm]. Ist dann [mm]x[/mm] eine
> > Nullstelle von [mm]g[/mm], so auch [mm]f(x) = x^p[/mm]. Ebenso ist dann
> > [mm]f(f(x)) = x^{p^2}[/mm], [mm]f(f(f(x))) = x^{p^3}[/mm], ... eine
> > Nullstelle von [mm]g[/mm].
>
> Wie folgt denn, dass [mm]f(x)=x^p[/mm] auch Nullstelle ist?
Das liegt daran, dass
a) $f(y) = y$ ist fuer alle $y [mm] \in \IF_p$ [/mm] (und somit fuer alle Koeffizienten von $g$);
b) dass $f$ ein Koerperautomorphismus ist und somit Vertraeglich mit der Addition und Multiplikation.
Ist $g = [mm] \sum_{i=0}^m a_i X^i$, [/mm] so gilt damit $g(f(x)) = [mm] \sum_{i=0}^m a_i f(x)^i [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^m f(a_i) f(x^i) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^m f(a_i x^i) [/mm] = [mm] f(\sum_{i=0}^m a_i x^i)$.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Do 05.01.2012 | | Autor: | mili03 |
> LG Felix
Vielen Dank!
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