Fubini und Tonelli < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Verstehe die Aussage der beiden Sätze. |
Diese Aufgabe habe ich mir natürlich selbst gestellt.
Bei uns sieht Tonelli wie folgt aus:
Seien [mm] (X_i,\mathcal A_i, \mu_i) [/mm] zwei [mm] \sigma [/mm] -endliche Maßräume. [mm] \mu=\mu_1\times \mu_2,[/mm] [mm]\mathcal A =\mathcal A_1\times \mathcal A_2,
f:X_1\times\X_2\to [0,\infty][/mm] sei [mm]\mathcal A[/mm] -messbar.
Dann gilt [mm] \int f\mu [/mm] = [mm] \int\int f(x,y)\mu_2(dy)\mu_1(dx) [/mm] = [mm] \int\int f(x,y)\mu_1(dx)\mu_2(dy)
[/mm]
Jetzt hab ich nochmal woanders gespickt: Siehe dieses Lemma ![[]](/images/popup.gif) http://yfrog.com/3w57rqp.
Damit glaube ich, sind unsere Voraussetzungen oben nicht vollständig. Dass f messbar ist, reicht ja noch nicht. Vor allem muss die Funktion [mm] f(\cdot,y) [/mm] doch [mm] \mu_1 [/mm] Integrierbar und [mm] f(x,\cdot) [/mm] muss [mm] \mu_2 [/mm] -integrierbar sein, oder?
Viele Grüße,
chris
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:03 Do 21.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Verstehe die Aussage der beiden Sätze.
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> Diese Aufgabe habe ich mir natürlich selbst gestellt.
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> Bei uns sieht Tonelli wie folgt aus:
> Seien [mm](X_i,\mathcal A_i, \mu_i)[/mm] zwei [mm]\sigma[/mm] -endliche
> Maßräume. [mm]\mu=\mu_1\times \mu_2,[/mm] [mm]\mathcal A =\mathcal A_1\times \mathcal A_2,
f:X_1\times\X_2\to [0,\infty][/mm]
> sei [mm]\mathcal A[/mm] -messbar.
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> Dann gilt [mm]\int f\mu[/mm] = [mm]\int\int f(x,y)\mu_2(dy)\mu_1(dx)[/mm] =
> [mm]\int\int f(x,y)\mu_1(dx)\mu_2(dy)[/mm]
bei Tonelli müssen die Funktion f nur messbar sein. Dafür muss f [mm] \ge [/mm] 0 sein. Das Integral darf auch [mm] \infty [/mm] sein.
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> Jetzt hab ich nochmal woanders gespickt: Siehe dieses Lemma
> http://yfrog.com/3w57rqp.
Das ist der Satz von Fubini, also nicht Tonelli !
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> Damit glaube ich, sind unsere Voraussetzungen oben nicht
> vollständig. Dass f messbar ist, reicht ja noch nicht. Vor
> allem muss die Funktion [mm]f(\cdot,y)[/mm] doch [mm]\mu_1[/mm] Integrierbar
> und [mm]f(x,\cdot)[/mm] muss [mm]\mu_2[/mm] -integrierbar sein, oder?
Bei Fubini, ja
FRED
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> Viele Grüße,
>
> chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 Mo 25.06.2012 | | Autor: | tkgraceful |
Danke!
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