Für welche x konvergiert Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:26 So 09.09.2007 | | Autor: | barsch |
| Aufgabe | Für welche [mm] x\in\IR [/mm] konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{e^{kx}}{k} [/mm] ? |
Hi,
hierbei habe ich Probleme.
Bis jetzt war es immer so, dass wir in der Uni solche Reihen mit dem Majoranten- und Minorantenkriterium gearbeitet haben.
Es wurde immer so geschickt abgeschätzt, dass man mit der geometrischen Reihe arbeiten konnte.
Ich will das einmal anhand eines anderen Beispiels kurz verdeutlichen; die Reihe lautete
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{2k}}{1+x^{4k}}
[/mm]
Eine Abschätzung z. B. lautet für
|x|<1:
[mm] \summe_{k=0}^{n} \bruch{x^{2k}}{1+x^{4k}}
[/mm]
[mm] \le\summe_{k=0}^{n}\bruch{x^{2k}}{1+1}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}*\summe_{k=0}^{n}(x^2)^{k}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{1-x^2}*\bruch{1}{2} [/mm]
Reihe konvergiert demnach für |x|<1.
Solche Abschätzungen macht dann noch für x=1 und |x|>1.
Meine Frage, kann man Reihen immer geschickt auf eine geometrische Reihe "zurückführen" durch diese Abschätzungen? Und wie geht das in diesem Fall?
MfG barsch ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
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Hallo barsch,
jo, das Zurückführen auf ne konvergente Majorante oder div. Minorante sollte immer klappen, aber wie das hier mit ner konvergenten Majorante ist, hab ich mir jetzt gerade nicht überlegt, weil deine Reihe doch ein klassischer Fall für das QK ist, oder?
[mm] \left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{e^{(k+1)x}\cdot{}k}{(k+1)\cdot{}e^{kx}}=\frac{e^{kx}\cdot{}e^x\cdot{}k}{(k+1)\cdot{}e^{kx}}=e^x\cdot{}\frac{k}{k+1}\to e^x [/mm] für [mm] k\to\infty
[/mm]
Also Konvergenz für [mm] e^x<1, [/mm] also x<0
Ich setze es mal auf halb beantwortet (wenn ich kann  ), weil es ja deine eigentliche Frage nach der Vergleichsreihe nicht beantwortet
LG
schachuzipus
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Oi,
vllt. doch ne Idee dazu:
Also für x=0 haben wir die Reihe [mm] \sum\frac{e^{k\cdot{}0}}{k}=\sum\frac{1}{k}
[/mm]
Das ist die divergente harmon. Reihe
Für x>0 ist ab irgendeinem k sicher [mm] e^{kx}>k
[/mm]
Dann ist die Folge der Reihenglieder aber keine Nullfolge, also Divergenz
Für x<0 hast du die Reihe [mm] \sum\frac{1}{k\cdot{}e^{k\cdot{}(-x)}}
[/mm]
Wie oben gilt wieder ab gewissem k die Abschätzung [mm] e^{k(-x)}>k
[/mm]
Also [mm] \sum\frac{e^{kx}}{k}=\sum\frac{1}{k\cdot{}e^{-kx}}<\sum\frac{1}{k\cdot{}k}=\sum\frac{1}{k^2}
[/mm]
Das ist so mein spontaner Einfall dazu, aber ohne Gewähr
LG
schachuzipus
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
