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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:42 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Ayhan |
| Aufgabe | | Untersuche die Funktion f mit:f(x)= ((8ln(x)+4)/x |
hallo zusamen ,muss ne fkt .diskutieren,und bekomme zumal nicht die nullstelle hin ,weiß nicht ob sie überhaup existiet.Fange einfach mal an,wäre nett wenn ihr mir helfen könntet.
[mm] f(x)=\bruch{8ln(x)+4}{x}
[/mm]
Für die Nullstellen berechnung nehme ich den Zähler und setze geich null.
f(x)=8ln(x)+4 = 0 /-4
8ln(x) =-4 (/)8
ln(x) = - [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
hier komme ich schon nicht mehr weiter,(der logarithmus von einer neg.zahl gibts doch nicht !
Gruß
Ayhan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:26 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Walty |
wenn Du bis [mm] ln(x)=-\bruch{1}{2} [/mm] gekommen bist, kannst Du weitermachen indem du die Umkehrfunktion von ln() -> [mm] e^x [/mm] bemühst.
Die Ausgangsfunktion f(x) kann wegen des ln() eh nur auf [mm] \IR^+ [/mm] definiert sein, so dass die Umkehrbarkeit gegeben ist.
mit
[mm] ln(x)=-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw x=e^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw x=\bruch{1}{\wurzel{e}} \sim [/mm] 0,6 (0,606530...)
hth
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hallo zusammen ,wohl habe ich mich vertan.die fkt.heißt eigentlich:
4+8ln(x)=0
und nicht 8ln(x)+4
aber denke das ist doch egal oder spielt das bei ln schon ne große rolle?
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Ableitungen:
[mm] f(x)=\bruch{4+8ln(x)}{x} [/mm] verwende hier die Quotientenregel:
[mm] \bruch{u'*v - v'*u}{v^2} [/mm] mit
u=4+8ln(x) u ' = 8* [mm] \bruch{1}{x} \Rightarrow [/mm] u ' = [mm] \bruch{8}{x}
[/mm]
v = x v ' = 1
f ' (x) [mm] =\bruch{\bruch{8}{x}*(x)-(1)*(4+8ln(x)}{x^2} \gdw\bruch{(8)-4-8ln(x)}{x^2}\gdw\bruch{4-8ln(x)}{x^2}
[/mm]
Also meine erste ableitung wäre dann :
f ' (x) = [mm] \bruch{4-8ln(x)}{x^2}
[/mm]
ist das richtig ???
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[mm] \bruch{u'*v - v'*u}{v^2} [/mm] mit
u = 4-8ln(x) ==> u ' = - [mm] \bruch{8}{x}
[/mm]
v = [mm] x^2 [/mm] ==> v ' = 2x
f '' (x)= [mm] \bruch{(-8x)-(8x-16x*ln(x))}{(x^2)^2}
[/mm]
f '' (x)= [mm] \bruch{(-8x)-(8x-16x*ln(x))}{x^4} [/mm] ,wenn ich nun die klammer auflöse ,dann folgt:
f '' (x)= [mm] \bruch{-16x*(+16x)*(-ln(x))}{x^4} [/mm]
Bitte um Eure hilfe ,bin mir total unsicher ob das so alles stimmen kann und vor allem auch mit der klammerauflösung so richtig ist ,wäre nett ,wenn ihr mir noch die dritte ableitung geben könntet.
Noch was muss ich das ergebnis von der nullstellen Berechnug (x=0,6...) für den y-wert in f(x) also f(0,6...) einstzen, aber nicht in das x- im Nenner???
Wenn ja ,dann habe ich die Nullstelle bei : NS (0,6.../-0,1...) raus, Stimmt das denn!???
Liebe Grüße
Ayhan
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Hallo,
Ja, du hast die 1. Ableitung in der Tat korrekt berechnet.
Nun zu deiner Nullstelle: Was ist denn die Eigenschaft einer Nullstelle?
Richtig, dass sie die x-Achse schneidet, also den y-Wert ..., ja, welchen y-Wert wohl, :).
[mm] NS_{1}(\bruch{1}{\wurzel{e}}|0), [/mm] und das gilt für jede Nullstelle!!!
[mm] f':f'(x)=\bruch{256x^2*ln(x)}{x^4}
[/mm]
Quotientenregel: [mm] f'(\bruch{u}{v})=$ \bruch{u'\cdot{}v - v'\cdot{}u}{v^2} [/mm] $
[mm] u=256x^2*ln(x) \Rightarrow u'=256x^2*\bruch{1}{x}+512x*ln(x)
[/mm]
[mm] v=x^4 \Rightarrow v'=4x^3
[/mm]
[mm] \Rightarrow f'':f''(x)=\bruch{[256x^2*\bruch{1}{x}+512x*ln(x)]*x^4-4x^3*256x^2*ln(x)}{(x^4)^2}=\bruch{256x^5+512x^5*ln(x)-1024x^5*ln(x)}{x^8}
[/mm]
[mm] =\bruch{256x^5[1+2*ln(x)-4*ln(x)]}{x^8}=\bruch{256x^5[1+ln(x)(2-4)]}{x^8}=\bruch{256x^5[1+(-2)*ln(x)]}{x^8}
[/mm]
[mm] =\bruch{256[1+(-2)*ln(x)]}{x^3}=\bruch{256[1+(-2)*ln(x)]}{x^3}=\bruch{256-512*ln(x)}{x^3}
[/mm]
Grüße,
Stefan.
PS: Noch zu deiner Aussage des negativen Logarithmus: Du kannst in der Tat nicht den Logarithmus einer negativen Zahl berechnen, sehr wohl aber kann der Logarithmus einer (positiven) Zahl negativ sein!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Fr 15.09.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hallo Stefan,danke für deine hilfe.
Du hast die ableitungen(die du gemacht hast ) mit f ' (x) und f ''(x) gekennzeichnet.Die 1.ableitung habe ich doch gemacht.Dann müssen wohl deine ableitungen heißen: f ''(x) und f '''(x) oder nicht. wahrscheinlich wahr es nur ein tipp fehler???
LG
Ayhan
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Ja, entschuldige, das muss natürlich
[mm] $f''':f'''(x)=\ldots$
[/mm]
heißen!
Danke fürs Aufmerksammachen!
Tschüss,
Stefan.
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