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hallo zusammen,
ich komm bei folgender aufgabe nicht weiter.... ich hoffe, dass mir jemand helfen kann smile
Betr. die DGL u'(t)=A(t)u(t) mit [mm] A(t)=\begin{pmatrix} cos(t) & 1 \\ 0 & cos(t) \end{pmatrix} [/mm]
A(t) ist periodisch mit [mm] 2\pi [/mm] .
- zeige, dass [mm] F(t)=\begin{pmatrix} exp(sin(t)) & texp(sin(t)) \\ 0 & exp(sin(t)) \end{pmatrix} [/mm] die fundamentallösung von u'(t)=A(t)u(t) ist mit u(0)= [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] ist.
mein ansatz:
ich hab den eigenwert von A berechnet --> [mm] \lambda [/mm] =cos(t)
und für den eigenvektor bekomm ich [mm] \begin{pmatrix} cos(t)-cos(t) & 1 \\ 0 & cos(t)-cos(t) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm]
und jetzt komm ich nicht mehr weiter....
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Hallo Sabrinchen101,
> hallo zusammen,
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> ich komm bei folgender aufgabe nicht weiter.... ich hoffe,
> dass mir jemand helfen kann smile
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> Betr. die DGL u'(t)=A(t)u(t) mit [mm]A(t)=\begin{pmatrix} cos(t) & 1 \\ 0 & cos(t) \end{pmatrix}[/mm]
> A(t) ist periodisch mit [mm]2\pi[/mm] .
> - zeige, dass [mm]F(t)=\begin{pmatrix} exp(sin(t)) & texp(sin(t)) \\ 0 & exp(sin(t)) \end{pmatrix}[/mm]
> die fundamentallösung von u'(t)=A(t)u(t) ist mit u(0)=
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm] ist.
>
> mein ansatz:
> ich hab den eigenwert von A berechnet --> [mm]\lambda[/mm] =cos(t)
> und für den eigenvektor bekomm ich [mm]\begin{pmatrix} cos(t)-cos(t) & 1 \\ 0 & cos(t)-cos(t) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
Dann müßte [mm]\pmat{1 \\ 0}e^{\cos\left(t\right)}[/mm] eine Lösung der DGL sein.
[mm]\pmat{1 \\ 0}e^{\cos\left(t\right)}[/mm] ist aber keine Lösung der DGL.
Betrachte [mm]u\left(t\right)=\pmat{u_{1}\left(t\right) \\ u_{2}\left(t\right)}[/mm]
Dann ist
[mm]\pmat{u_{1}'\left(t\right) \\ u_{2}'\left(t\right)}=\pmat{\cos\left(t\right) & 1 \\ 0 & \cos\left(t\right)}*\pmat{u_{1}\left(t\right) \\ u_{2}\left(t\right)}[/mm]
Die letzte Zeile lautet dann:
[mm]u_{2}'=\cos\left(t\right)*u_{2}[/mm]
Diese DGL kannst Du lösen und dann die Lösung der DGL
[mm]u_{1}'=\cos\left(t\right)*u_{1}+u_{2}[/mm]
ermitteln.
> und jetzt komm ich nicht mehr weiter....
Gruss
MathePower
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stimmt u2(t)=sin(t) +c ???
wie mach ich dann weiter??
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Hallo Sabrinchen101,
> stimmt u2(t)=sin(t) +c ???
>
Das muss doch zunächst lauten:
[mm]\red{ln}\ u_{2}(t)=sin(t) +c[/mm]
> wie mach ich dann weiter??
Setze diese Lösung in die erste Zeile ein
und bestimme dann die Lösung [mm]u_{1}\left(t\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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also ist u2(t)=exp(sin(t)+c)
u'1(t) = cos(t) *u1+ exp(sin(t)+c)
=> ln(u1(t)) = sin(t) + c +(1/cos(t))*exp(sin(t)+c)
so?
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Hallo Sabrinchen101,
> also ist u2(t)=exp(sin(t)+c)
>
Die Lösung lautet doch: [mm]u_{2}\left(t\right)=c_{2}*e^{\sin\left(t\right)}[/mm]
> u'1(t) = cos(t) *u1+ exp(sin(t)+c)
>
> => ln(u1(t)) = sin(t) + c +(1/cos(t))*exp(sin(t)+c)
>
Löse zuerst die homogene DGL:
[mm]u_{1}'\left(t\right)=\cos\left(t\right)*u_{1}\left(t\right)[/mm]
Bevor Du dann mit Hilfe der Variation der Konstanten
an die inhomogene DGL gehst.
> so?
Gruss
MathePower
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also das wäre dann u1(t) = c1 +exp(sin(t)) ?
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Hallo Sabrinchen101,
> also das wäre dann u1(t) = c1 +exp(sin(t)) ?
Die homogene Lösung für [mm]u_{1}\left(t\right)[/mm] lautet ebenfalls: [mm]u_{1}\left(t\right)=c_{1}*e^{\sin\left(t\right)}[/mm]
Gruss
MathePower
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wie muss ich jetzt weiter machen? bzw wie bekomm ich mit der variation der konstanten nun die inhomogene lösung?
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Hallo Sabrinchen101,
> wie muss ich jetzt weiter machen? bzw wie bekomm ich mit
> der variation der konstanten nun die inhomogene lösung?
Jetzt machst Du die Konstante [mm]c_{1}[/mm] zusätlich von t abhängig.
Damit lautet der Ansatz für die inhomogene Lösung: [mm]u_{1p}\left(t\right)=c_{1}\left(t\right)*e^{\sin\left(t}\right)}[/mm]
Diesen setzt Du in die inhomogene DGL ein:
[mm]u_{1p}'\left(t\right)=\cos\left(t\right)*u_{1p}\left(t\right)+u_{2}\left(t\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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also dann hab ich
u'_{1p} (t)= [mm] cos(t)*c_{1}(t)*e^{sin(t)}+u_{2}(t) [/mm]
wenn ich u2(t) auch einsetzen muss, dann bekomm ich
u'_{1p}(t) = [mm] cos(t)*c_{1}(t)*e^{sin(t)}+ e^{sin(t)} +c_{2} [/mm]
und nun?
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Hallo Sabrinchen101,
> also dann hab ich
> u'_{1p} (t)= [mm]cos(t)*c_{1}(t)*e^{sin(t)}+u_{2}(t)[/mm]
>
> wenn ich u2(t) auch einsetzen muss, dann bekomm ich
> u'_{1p}(t) = [mm]cos(t)*c_{1}(t)*e^{sin(t)}+ e^{sin(t)} +c_{2}[/mm]
>
Du hast doch zunächst:
[mm]u'_{1p}(t) = cos(t)*c_{1}(t)*e^{sin(t)}+ e^{sin(t)} *c_{2}[/mm]
> und nun?
Berechne [mm]u'_{1p}(t)[/mm].
Gruss
MathePower
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mh, aber [mm]u'_{1p}(t)[/mm] steht ja schon da?
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Hallo Sabrinchen101,
> mh, aber [mm]u'_{1p}(t)[/mm] steht ja schon da?
>
Nein, den [mm]u_{1p}\left(t\right)=c_{1}\left(t\right)*e^{\sin\left(t\right)}[/mm]
Dann
[mm]u'_{1p}(t)=\left( \ c_{1}\left(t\right)*e^{\sin\left(t\right)} \ \right)'[/mm]
Gruss
MathePower
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[mm]u'_{1p}(t)=\left( \ c_{1}\left(t\right)*e^{\sin\left(t\right)} \ \right)'[/mm]
[mm] =c_{1}(t)*\frac{1}{cos(t)}*e^{\sin(t)} [/mm]
so?
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Hallo Sabrinchen101,
> [mm]u'_{1p}(t)=\left( \ c_{1}\left(t\right)*e^{\sin\left(t\right)} \ \right)'[/mm]
>
> [mm]=c_{1}(t)*\frac{1}{cos(t)}*e^{\sin(t)}[/mm]
> so?
>
Nein, nicht so.
Zum Ableiten verwende die Produktregel in Verbindung mit der Kettenregel.
Gruss
MathePower
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oh.
> > [mm]=c_{1}(t)*cos(t)*e^{\sin(t)}[/mm]
stimmts jetzt?
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Hallo Sabrinchen101,
> oh.
> > > [mm]=c_{1}(t)*cos(t)*e^{\sin(t)}[/mm]
> stimmts jetzt?
Das ist nur ein Teil der Ableitung.
Gruss
MathePower
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der vordere teil der produktregel fällt doch weg, weil c eine konstante ist, oder?
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Hallo Sabrinchen101,
> der vordere teil der produktregel fällt doch weg, weil c
> eine konstante ist, oder?
Nein, c ist von t abhängig.
Gruss
MathePower
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u'_{1p}= [mm] c'_{1}(t)*e^{sin(t)}+c_{1}(t)*cos(t)*e^{sin(t)} [/mm]
so müsste es jetzt aber stimmen?
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Hallo Sabrinchen101,
> u'_{1p}= [mm]c'_{1}(t)*e^{sin(t)}+c_{1}(t)*cos(t)*e^{sin(t)}[/mm]
> so müsste es jetzt aber stimmen?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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okay :)
und somit hab ich gezeigt, dass F(t) die fundamentallösung ist?
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Hallo Sabrinchen101,
> okay :)
>
> und somit hab ich gezeigt, dass F(t) die fundamentallösung
> ist?
Daraus folgt zunächst die partikuläre Lösung für [mm]u_{1p}\left(t\right)[/mm]
Damit ergibt sich die Lösung [mm]u_{1}\left(t\right)=c_{1}*u_{1h}\left(t\right)+u_{1p}\left(t\right)[/mm]
MIt der Lösung [mm]u_{2}\left(t\right)[/mm] ergibt sich dann
das angegebene Fundamentalsystem.
Gruss
MathePower
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okay danke :)
ich muss jetzt noch die monodromie M von F(t) und eine matrix B mit exp(B)=M bestimmen.
also die monodromie ist ja so definiert
[mm] M=F(t_{0}+w) [/mm] , F(t+w)=F(t)M
ich weiß nicht wie cih vorgehen soll. ich könnte ja F(t) auf die andere seite bringen und invertieren, damit ich M bekomm??
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 11.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:51 Fr 09.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Vielleicht hab ich Tomaten auf den Augen, aber bei dieser Aufgabe muß man doch keine Lösungen berechnen !
Zu zeigen ist: setzt man
[mm] u_1(t):=\vektor{exp(sin(t)) \\ 0} [/mm] und [mm] u_2(t):=\vektor{texp(sin(t)) \\ exp(sin(t))} [/mm] ,
so gilt:
1. [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind Lösungen des DGL-Systems u'(t)=Au(t)
2. [mm] u_1(0)=\vektor{1 \\ 0} [/mm] , [mm] u_2(0)=\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
3. [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind linear unabhängig.
FRED
P.S.: das Kochrezept zur bestimmung aller Lösungen eines homogenen linearen Systems mit den Zutaten
"Eigenwerte", "Eigenvektoren", .....
ist nur bei Systemen mit konstanten Koeffizienten anwendbar.
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mh kann schon sein. ich muss ja nur zeigen, dass F(t) die Fundamentallösung von u'(t)=A(t)u(t) ist.
wars das dann schon? muss ich nichts mit der matrix A(t) machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Fr 09.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> mh kann schon sein. ich muss ja nur zeigen, dass F(t) die
> Fundamentallösung von u'(t)=A(t)u(t) ist.
> wars das dann schon?
Ja
> muss ich nichts mit der matrix A(t) machen?
Was willst Du mit ihr machen ? Grün anmalen ?
FRED
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haha :) naja auch gut, wenns da schon war :)
die nächte teilaufgabe versteh ich auch nicht wirklich. kannst du mir hier auch weiterhelfen?
bestimme die monodromie M von F(t) und eine Matrix B mit exp(B)=M.
ich hab mir mal überlegt:
also die monodromie ist so definiert: [mm] F(t_{0}+w)= [/mm] M und w ist ja gegeben mit [mm] w=2\pi [/mm]
muss ich das jetzt in F einsetzen? aber was dann??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:35 Fr 09.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> haha :) naja auch gut, wenns da schon war :)
>
> die nächte teilaufgabe versteh ich auch nicht wirklich.
> kannst du mir hier auch weiterhelfen?
>
> bestimme die monodromie M von F(t) und eine Matrix B mit
> exp(B)=M.
>
> ich hab mir mal überlegt:
> also die monodromie ist so definiert: [mm]F(t_{0}+w)=[/mm] M
Nein. Schau nochmal nach, wie Ihr das def. habt.
FRED
> und w
> ist ja gegeben mit [mm]w=2\pi[/mm]
> muss ich das jetzt in F einsetzen? aber was dann??
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das hab ich noch gefunden
F(t+w)=F(t)M => [mm] F(t)=F(t+w)M^{-1}
[/mm]
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bzw. ich könnte das auch so umformen
[mm] F(t+w)*F(t)^{-1}=M [/mm]
und dann F(t) invertieren?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 11.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 11.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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