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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Fundamentallösung
Fundamentallösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Do 08.03.2012
Autor: Sabrinchen101

hallo zusammen,

ich komm bei folgender aufgabe nicht weiter.... ich hoffe, dass mir jemand helfen kann smile

Betr. die DGL u'(t)=A(t)u(t) mit [mm] A(t)=\begin{pmatrix} cos(t) & 1 \\ 0 & cos(t) \end{pmatrix} [/mm]
A(t) ist periodisch mit [mm] 2\pi [/mm] .
- zeige, dass [mm] F(t)=\begin{pmatrix} exp(sin(t)) & texp(sin(t)) \\ 0 & exp(sin(t)) \end{pmatrix} [/mm] die fundamentallösung von u'(t)=A(t)u(t) ist mit u(0)= [mm] \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} [/mm] ist.

mein ansatz:
ich hab den eigenwert von A berechnet --> [mm] \lambda [/mm] =cos(t)
und für den eigenvektor bekomm ich [mm] \begin{pmatrix} cos(t)-cos(t) & 1 \\ 0 & cos(t)-cos(t) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} [/mm]

und jetzt komm ich nicht mehr weiter....

        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:57 Do 08.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> hallo zusammen,
>  
> ich komm bei folgender aufgabe nicht weiter.... ich hoffe,
> dass mir jemand helfen kann smile
>  
> Betr. die DGL u'(t)=A(t)u(t) mit [mm]A(t)=\begin{pmatrix} cos(t) & 1 \\ 0 & cos(t) \end{pmatrix}[/mm]
> A(t) ist periodisch mit [mm]2\pi[/mm] .
>  - zeige, dass [mm]F(t)=\begin{pmatrix} exp(sin(t)) & texp(sin(t)) \\ 0 & exp(sin(t)) \end{pmatrix}[/mm]
> die fundamentallösung von u'(t)=A(t)u(t) ist mit u(0)=
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}[/mm] ist.
>  
> mein ansatz:
>  ich hab den eigenwert von A berechnet --> [mm]\lambda[/mm] =cos(t)

>  und für den eigenvektor bekomm ich [mm]\begin{pmatrix} cos(t)-cos(t) & 1 \\ 0 & cos(t)-cos(t) \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/mm]
>


Dann müßte [mm]\pmat{1 \\ 0}e^{\cos\left(t\right)}[/mm] eine Lösung der DGL sein.
[mm]\pmat{1 \\ 0}e^{\cos\left(t\right)}[/mm] ist aber keine Lösung der DGL.


Betrachte [mm]u\left(t\right)=\pmat{u_{1}\left(t\right) \\ u_{2}\left(t\right)}[/mm]

Dann ist

[mm]\pmat{u_{1}'\left(t\right) \\ u_{2}'\left(t\right)}=\pmat{\cos\left(t\right) & 1 \\ 0 & \cos\left(t\right)}*\pmat{u_{1}\left(t\right) \\ u_{2}\left(t\right)}[/mm]

Die letzte Zeile lautet dann:

[mm]u_{2}'=\cos\left(t\right)*u_{2}[/mm]

Diese DGL kannst Du lösen und dann die Lösung der DGL

[mm]u_{1}'=\cos\left(t\right)*u_{1}+u_{2}[/mm]

ermitteln.


> und jetzt komm ich nicht mehr weiter....  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Do 08.03.2012
Autor: Sabrinchen101

stimmt u2(t)=sin(t) +c ???

wie mach ich dann weiter??

Bezug
                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:25 Do 08.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> stimmt u2(t)=sin(t) +c ???
>  


Das muss doch zunächst lauten:

[mm]\red{ln}\ u_{2}(t)=sin(t) +c[/mm]


> wie mach ich dann weiter??


Setze diese Lösung in die erste Zeile ein
und bestimme dann die Lösung [mm]u_{1}\left(t\right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:33 Do 08.03.2012
Autor: Sabrinchen101

also ist u2(t)=exp(sin(t)+c)

u'1(t) = cos(t) *u1+ exp(sin(t)+c)

=> ln(u1(t)) = sin(t) + c +(1/cos(t))*exp(sin(t)+c)

so?

Bezug
                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Do 08.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> also ist u2(t)=exp(sin(t)+c)
>  


Die Lösung lautet doch: [mm]u_{2}\left(t\right)=c_{2}*e^{\sin\left(t\right)}[/mm]


> u'1(t) = cos(t) *u1+ exp(sin(t)+c)
>  
> => ln(u1(t)) = sin(t) + c +(1/cos(t))*exp(sin(t)+c)
>  


Löse zuerst die homogene DGL:

[mm]u_{1}'\left(t\right)=\cos\left(t\right)*u_{1}\left(t\right)[/mm]

Bevor Du dann mit Hilfe  der Variation der Konstanten
an die inhomogene DGL gehst.


> so?


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:45 Do 08.03.2012
Autor: Sabrinchen101

also das wäre dann u1(t) = c1 +exp(sin(t)) ?

Bezug
                                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:53 Do 08.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> also das wäre dann u1(t) = c1 +exp(sin(t)) ?


Die homogene Lösung für [mm]u_{1}\left(t\right)[/mm] lautet ebenfalls: [mm]u_{1}\left(t\right)=c_{1}*e^{\sin\left(t\right)}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 Do 08.03.2012
Autor: Sabrinchen101

wie muss ich jetzt weiter machen? bzw wie bekomm ich mit der variation der konstanten nun die inhomogene lösung?

Bezug
                                                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:10 Do 08.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> wie muss ich jetzt weiter machen? bzw wie bekomm ich mit
> der variation der konstanten nun die inhomogene lösung?

Jetzt machst Du die Konstante [mm]c_{1}[/mm] zusätlich von t abhängig.

Damit lautet der Ansatz für die inhomogene Lösung: [mm]u_{1p}\left(t\right)=c_{1}\left(t\right)*e^{\sin\left(t}\right)}[/mm]

Diesen setzt Du in die inhomogene DGL ein:

[mm]u_{1p}'\left(t\right)=\cos\left(t\right)*u_{1p}\left(t\right)+u_{2}\left(t\right)[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
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Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:21 Do 08.03.2012
Autor: Sabrinchen101

also dann hab ich
u'_{1p} (t)= [mm] cos(t)*c_{1}(t)*e^{sin(t)}+u_{2}(t) [/mm]

wenn ich u2(t) auch einsetzen muss, dann bekomm ich
u'_{1p}(t) = [mm] cos(t)*c_{1}(t)*e^{sin(t)}+ e^{sin(t)} +c_{2} [/mm]

und nun?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:19 Fr 09.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> also dann hab ich
>  u'_{1p} (t)= [mm]cos(t)*c_{1}(t)*e^{sin(t)}+u_{2}(t)[/mm]
>
> wenn ich u2(t) auch einsetzen muss, dann bekomm ich
>  u'_{1p}(t) = [mm]cos(t)*c_{1}(t)*e^{sin(t)}+ e^{sin(t)} +c_{2}[/mm]

>


Du hast doch zunächst:

[mm]u'_{1p}(t) = cos(t)*c_{1}(t)*e^{sin(t)}+ e^{sin(t)} *c_{2}[/mm]


> und nun?


Berechne [mm]u'_{1p}(t)[/mm].


Gruss
MathePower

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Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

mh, aber  [mm]u'_{1p}(t)[/mm] steht ja schon da?



Bezug
                                                                                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:34 Fr 09.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> mh, aber  [mm]u'_{1p}(t)[/mm] steht ja schon da?
>  


Nein, den [mm]u_{1p}\left(t\right)=c_{1}\left(t\right)*e^{\sin\left(t\right)}[/mm]

Dann

[mm]u'_{1p}(t)=\left( \ c_{1}\left(t\right)*e^{\sin\left(t\right)} \ \right)'[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

[mm]u'_{1p}(t)=\left( \ c_{1}\left(t\right)*e^{\sin\left(t\right)} \ \right)'[/mm]
[mm] =c_{1}(t)*\frac{1}{cos(t)}*e^{\sin(t)} [/mm]  
so?


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:46 Fr 09.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> [mm]u'_{1p}(t)=\left( \ c_{1}\left(t\right)*e^{\sin\left(t\right)} \ \right)'[/mm]
>  
> [mm]=c_{1}(t)*\frac{1}{cos(t)}*e^{\sin(t)}[/mm]  
> so?
>  


Nein, nicht so.

Zum Ableiten verwende die Produktregel in Verbindung mit der Kettenregel.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:52 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

oh.
> > [mm]=c_{1}(t)*cos(t)*e^{\sin(t)}[/mm]  

stimmts jetzt?

Bezug
                                                                                                                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Fr 09.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> oh.
>  > > [mm]=c_{1}(t)*cos(t)*e^{\sin(t)}[/mm]  

> stimmts jetzt?


Das ist nur ein Teil der Ableitung.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

der vordere teil der produktregel fällt doch weg, weil c eine konstante ist, oder?

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:47 Fr 09.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,


> der vordere teil der produktregel fällt doch weg, weil c
> eine konstante ist, oder?


Nein, c ist von t abhängig.


Gruss
MathePower

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Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

u'_{1p}= [mm] c'_{1}(t)*e^{sin(t)}+c_{1}(t)*cos(t)*e^{sin(t)} [/mm]  
so müsste es jetzt aber stimmen?

Bezug
                                                                                                                                                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:23 Fr 09.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> u'_{1p}= [mm]c'_{1}(t)*e^{sin(t)}+c_{1}(t)*cos(t)*e^{sin(t)}[/mm]  
> so müsste es jetzt aber stimmen?


Ja. [ok]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                                                
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Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:27 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

okay :)

und somit hab ich gezeigt, dass F(t) die fundamentallösung ist?

Bezug
                                                                                                                                                                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Fr 09.03.2012
Autor: MathePower

Hallo Sabrinchen101,

> okay :)
>  
> und somit hab ich gezeigt, dass F(t) die fundamentallösung
> ist?


Daraus folgt zunächst die partikuläre Lösung für [mm]u_{1p}\left(t\right)[/mm]
Damit ergibt sich die Lösung [mm]u_{1}\left(t\right)=c_{1}*u_{1h}\left(t\right)+u_{1p}\left(t\right)[/mm]

MIt der Lösung [mm]u_{2}\left(t\right)[/mm] ergibt sich dann
das angegebene Fundamentalsystem.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                                                                                                
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Fundamentallösung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:51 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

okay danke :)

ich muss jetzt noch die monodromie M von F(t)  und eine matrix B mit exp(B)=M bestimmen.

also die monodromie ist ja so definiert
[mm] M=F(t_{0}+w) [/mm] , F(t+w)=F(t)M
ich weiß nicht wie cih vorgehen soll. ich könnte ja F(t) auf die andere seite bringen und invertieren, damit ich M bekomm??


Bezug
                                                                                                                                                                                                        
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Fundamentallösung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 So 11.03.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:51 Fr 09.03.2012
Autor: fred97

Vielleicht hab ich Tomaten auf den Augen, aber bei dieser Aufgabe muß man doch keine Lösungen berechnen !

Zu zeigen ist: setzt man

           [mm] u_1(t):=\vektor{exp(sin(t)) \\ 0} [/mm]  und  [mm] u_2(t):=\vektor{texp(sin(t)) \\ exp(sin(t))} [/mm] ,

so gilt:

1. [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind Lösungen des DGL-Systems  u'(t)=Au(t)

2. [mm] u_1(0)=\vektor{1 \\ 0} [/mm]  ,  [mm] u_2(0)=\vektor{0 \\ 1} [/mm]

3. [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind linear unabhängig.


FRED


P.S.:  das Kochrezept  zur bestimmung aller Lösungen eines homogenen linearen Systems mit den Zutaten

                "Eigenwerte", "Eigenvektoren", .....

ist nur bei Systemen mit konstanten Koeffizienten anwendbar.
        

Bezug
                
Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

mh kann schon sein. ich muss ja nur zeigen, dass F(t) die Fundamentallösung von u'(t)=A(t)u(t) ist.
wars das dann schon? muss ich nichts mit der matrix A(t) machen?

Bezug
                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:07 Fr 09.03.2012
Autor: fred97


> mh kann schon sein. ich muss ja nur zeigen, dass F(t) die
> Fundamentallösung von u'(t)=A(t)u(t) ist.
> wars das dann schon?

Ja

>  muss ich nichts mit der matrix A(t) machen?

Was willst Du mit ihr machen ? Grün anmalen ?

FRED


Bezug
                                
Bezug
Fundamentallösung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:24 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

haha :) naja auch gut, wenns da schon war :)

die nächte teilaufgabe versteh ich auch nicht wirklich. kannst du mir hier auch weiterhelfen?

bestimme die monodromie M von F(t) und eine Matrix B mit exp(B)=M.

ich hab mir mal überlegt:
also die monodromie ist so definiert: [mm] F(t_{0}+w)= [/mm] M und w ist ja gegeben mit [mm] w=2\pi [/mm]
muss ich das jetzt in F einsetzen? aber was dann??

Bezug
                                        
Bezug
Fundamentallösung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:35 Fr 09.03.2012
Autor: fred97


> haha :) naja auch gut, wenns da schon war :)
>  
> die nächte teilaufgabe versteh ich auch nicht wirklich.
> kannst du mir hier auch weiterhelfen?
>  
> bestimme die monodromie M von F(t) und eine Matrix B mit
> exp(B)=M.
>  
> ich hab mir mal überlegt:
>  also die monodromie ist so definiert: [mm]F(t_{0}+w)=[/mm] M



Nein. Schau nochmal nach, wie Ihr das def. habt.

FRED

> und w
> ist ja gegeben mit [mm]w=2\pi[/mm]
> muss ich das jetzt in F einsetzen? aber was dann??


Bezug
                                                
Bezug
Fundamentallösung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:57 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

das hab ich noch gefunden
F(t+w)=F(t)M => [mm] F(t)=F(t+w)M^{-1} [/mm]

Bezug
                                                        
Bezug
Fundamentallösung: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:59 Fr 09.03.2012
Autor: Sabrinchen101

bzw. ich könnte das auch so umformen
[mm] F(t+w)*F(t)^{-1}=M [/mm]
und dann F(t) invertieren?

Bezug
                                                                
Bezug
Fundamentallösung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 11.03.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                        
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Fundamentallösung: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 So 11.03.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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