Fundamentalmatrix < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 Do 10.05.2012 | | Autor: | Unk |
| Aufgabe | | Sei $y'(x)=A(x)y(x)$ ein System von Differentialgleichung, $A:I [mm] \to \mathbb{R}^{n \times n}$ [/mm] und $G(x)$ eine Fundamentalmatrix zu diesem System. Behauptung: Gilt [mm] $G(x_0)=B$ [/mm] für ein [mm] $x_0$ [/mm] und eine konstante Matrix $B$, so ist $G$ eindeutig bestimmt. |
Hallo,
für eine Fundamentalmatrix zu obigem System gilt die Gleichheit von Matrizen $G'(x)=A(x)G(x)$. Seien Also $G$ und $H$ zwei Fundamentalmatrizen, die den Anfangswert erfüllen. Da Fundamentalmatrizen spaltenweise aus einer Basis des Lösungsraums bestehen, bezeichne die Spalten von $G$ mit [mm] $g_j$ [/mm] und die von $H$ mit [mm] $h_j$ [/mm] für [mm] $1\leq j\leq [/mm] n$.
Nun gilt [mm] $g_j(x_0)=h_j(x_0)=b_j$, [/mm] wobei [mm] $b_j$ [/mm] die j-te Spalte von $B$ ist.
Jetzt müsste man ja eigentlich darauf kommen, dass die Ableitungen auch gleich sind von [mm] $h_j$ [/mm] und [mm] $g_j$ [/mm] aber so formal bin ich darauf noch nicht gekommen.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:17 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme doch an, dass die Matrix stetig auf I ist.
Wenn das so ist, so sagt der Satz von Picard-Lindelöf, dass das Anfangswertproblem
G'(x)=A(x)G(x), [mm] G(x_0)=B
[/mm]
auf I genau eine Lösung hat.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 10.05.2012 | | Autor: | Unk |
> Ich nehme doch an, dass die Matrix stetig auf I ist.
>
> Wenn das so ist, so sagt der Satz von Picard-Lindelöf,
> dass das Anfangswertproblem
>
> G'(x)=A(x)G(x), [mm]G(x_0)=B[/mm]
>
> auf I genau eine Lösung hat.
>
> FRED
Ja A soll stetig sein für jedes x. Ich hatte mir sowas in der Art ja schon gedacht, nur sehe ich nicht ganz in welcher Version ich den Satz von Picard Lindelöf auf $G'=AG, [mm] G(x_0)=B$ [/mm] anwenden sollte?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Do 10.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> > Ich nehme doch an, dass die Matrix stetig auf I ist.
> >
> > Wenn das so ist, so sagt der Satz von Picard-Lindelöf,
> > dass das Anfangswertproblem
> >
> > G'(x)=A(x)G(x), [mm]G(x_0)=B[/mm]
> >
> > auf I genau eine Lösung hat.
> >
> > FRED
>
> Ja A soll stetig sein für jedes x. Ich hatte mir sowas in
> der Art ja schon gedacht, nur sehe ich nicht ganz in
> welcher Version ich den Satz von Picard Lindelöf auf
> [mm]G'=AG, G(x_0)=B[/mm] anwenden sollte?
Welche hattet Ihr denn ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:41 Do 10.05.2012 | | Autor: | Unk |
> > > Ich nehme doch an, dass die Matrix stetig auf I ist.
> > >
> > > Wenn das so ist, so sagt der Satz von Picard-Lindelöf,
> > > dass das Anfangswertproblem
> > >
> > > G'(x)=A(x)G(x), [mm]G(x_0)=B[/mm]
> > >
> > > auf I genau eine Lösung hat.
> > >
> > > FRED
> >
> > Ja A soll stetig sein für jedes x. Ich hatte mir sowas in
> > der Art ja schon gedacht, nur sehe ich nicht ganz in
> > welcher Version ich den Satz von Picard Lindelöf auf
> > [mm]G'=AG, G(x_0)=B[/mm] anwenden sollte?
>
>
> Welche hattet Ihr denn ?
>
> FRED
Ich kenne nur die für Systeme der Form $y'=f(x,y)$ wobei f bzgl. y lokal Lipschitz ist. Bei vorgegebenem Anfangswert erhält man dann eine eindeutige Lösung.
Oder kann man den Satz auf das Problem anwenden?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 12.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 19:19 Mo 14.05.2012 | | Autor: | Unk |
> > > Ich nehme doch an, dass die Matrix stetig auf I ist.
> > >
> > > Wenn das so ist, so sagt der Satz von Picard-Lindelöf,
> > > dass das Anfangswertproblem
> > >
> > > G'(x)=A(x)G(x), [mm]G(x_0)=B[/mm]
> > >
> > > auf I genau eine Lösung hat.
> > >
> > > FRED
> >
> > Ja A soll stetig sein für jedes x. Ich hatte mir sowas in
> > der Art ja schon gedacht, nur sehe ich nicht ganz in
> > welcher Version ich den Satz von Picard Lindelöf auf
> > [mm]G'=AG, G(x_0)=B[/mm] anwenden sollte?
>
>
> Welche hattet Ihr denn ?
>
> FRED
Auf http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Picard-Lindel%C3%B6f wird ja nur gesagt, dass die Lösungsfunktion $f$ des Systems $y'=f(x,y)$ für jedes x aus dem Definitionsintervall in einem Banachraum $E$ leben muss.
Jetzt weiß ich, dass auf dem Vektorraum der linearen Abbildungen eine Norm definiert werden kann. Da in meinem konkreten Fall die Matrix G eine lineare Abbildung vom [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] in denselbigen Raum ist, ist nur die Frage, ob ich einen Banachraum vorliegen hab, also ob der vollständig ist?
Oder denke ich jetzt in eine total falsche Richtung und der Satz ist doch nicht so einfach anwendbar?
Ich wüsste nur gerne, ob das so richtig sein könnte?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mi 16.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
