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| Aufgabe | Schreiben Sie das Anfangswertproblem in der Form y'=A(x)y+b(x) und $ [mm] y(x_{0})=y_{0}. [/mm] $ Zeigen Sie, dass U eine Fundamentalmatrix zum zugehörigen homogenen Differentialgleichungssystem ist, und lösen Sie das Anfangswertproblem:
$ [mm] y_{1}'(x)=x^{-1}y_{2}+1 [/mm] $ und $ [mm] y_{1}(\bruch{\pi}{2})=1 [/mm] $ und $ [mm] y_{2}'=-xy_{1}+x^{-1}y_{2}+x [/mm] $ und $ [mm] y_{2}(\bruch{\pi}{2})=\pi [/mm] $ und $ [mm] U(x)=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -x\cdot{}sin(x) & x\cdot{}cos(x) } [/mm] $ für x>0. |
Hallo,
ich habe bereits alles berechnet und würde gerne wissen ob diese Lösung stimmen kann. Ich habe als Probe für [mm] x_{0} \bruch{\pi}{2} [/mm] in [mm] y(x_{0}) [/mm] eingesetzt und erhalte die Lösungen, die in der Aufgabenstellung gegeben sind.
Wenn ich jedoch y(x) ableite, um doppelt so sicher zu sein, gelingt mir dies nicht und ich erhalte nicht das richtige Ergebnis. Ist es trotzdem richtig oder habe ich etwas übersehen ?
[mm] y=\vektor{1+cos(x)*(\bruch{\pi}{4}-\bruch{x^{2}}{\pi})+sin(x)*(x-\bruch{\pi}{2}) \\ \pi+x(sin(x)*(\bruch{x^{2}}{\pi}-\bruch{\pi}{4})+cos(x)(x-\bruch{\pi}{2})}
[/mm]
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Hallo alfonso2020,
> Schreiben Sie das Anfangswertproblem in der Form
> y'=A(x)y+b(x) und [mm]y(x_{0})=y_{0}.[/mm] Zeigen Sie, dass U eine
> Fundamentalmatrix zum zugehörigen homogenen
> Differentialgleichungssystem ist, und lösen Sie das
> Anfangswertproblem:
>
> [mm]y_{1}'(x)=x^{-1}y_{2}+1[/mm] und [mm]y_{1}(\bruch{\pi}{2})=1[/mm] und
> [mm]y_{2}'=-xy_{1}+x^{-1}y_{2}+x[/mm] und [mm]y_{2}(\bruch{\pi}{2})=\pi[/mm]
> und [mm]U(x)=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -x\cdot{}sin(x) & x\cdot{}cos(x) }[/mm]
> für x>0.
> Hallo,
>
> ich habe bereits alles berechnet und würde gerne wissen ob
> diese Lösung stimmen kann. Ich habe als Probe für [mm]x_{0} \bruch{\pi}{2}[/mm]
> in [mm]y(x_{0})[/mm] eingesetzt und erhalte die Lösungen, die in
> der Aufgabenstellung gegeben sind.
>
> Wenn ich jedoch y(x) ableite, um doppelt so sicher zu sein,
> gelingt mir dies nicht und ich erhalte nicht das richtige
> Ergebnis. Ist es trotzdem richtig oder habe ich etwas
> übersehen ?
>
>
> [mm]y=\vektor{1+cos(x)*(\bruch{\pi}{4}-\bruch{x^{2}}{\pi})+sin(x)*(x-\bruch{\pi}{2}) \\ \pi+x(sin(x)*(\bruch{x^{2}}{\pi}-\bruch{\pi}{4})+cos(x)(x-\bruch{\pi}{2})}[/mm]
>
Da hast Du etwas übersehen.
Gruss
MathePower
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Gut. Dann hat sich meine Annahme doch bestätigt. Könntest du etwas konkreter sein und mir sagen was ich übersehen haben könnte?
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Hallo alfonso2020,
> Gut. Dann hat sich meine Annahme doch bestätigt. Könntest
> du etwas konkreter sein und mir sagen was ich übersehen
> haben könnte?
Nun, die Lösung des Anfangswertproblems stimmt nicht,
insbesondere die partikuläre Lösung des DGL-Systems.
Gruss
MathePower
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Ehrlich gesagt bringt mich das nicht weiter :/ Habe echt ein Brett vor dem Kopf.
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Hallo alfonso2020,
> Ehrlich gesagt bringt mich das nicht weiter :/ Habe echt
> ein Brett vor dem Kopf.
Dann poste Deine bisherigen Rechenschritte.
Gruss
MathePower
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Ich hatte die Formel falsch angewendet. Ich hatte [mm] U(x_{0})^{-1} [/mm] und [mm] U(x)^{-1} [/mm] vertauscht. Jedoch komme ich trotzdem nicht auf nichts richtiges ..
[mm] y(x)=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -xsin(x) & xcos(x) }*(\pmat{ 0 & -\bruch{2}{\pi} \\ 1 & 0 }*\vektor{1 \\ \pi}+\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{x}{ \pmat{ cos(t) & -\bruch{sin(t)}{t} \\ sin(t) & \bruch{cos(t)}{t} } dt})
[/mm]
= [mm] \pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -xsin(x) & xcos(x) }*(\vektor{-2 \\ 1}+\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{x}{\vektor{cos(t)-sin(t) \\ sin(t)+cos(t)} dt})
[/mm]
[mm] =\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -xsin(x) & xcos(x) }*(\vektor{-2 \\ 1}+
[/mm]
[mm] \vektor{sin(x)+cos(x)-1 \\ -cos(x)+sin(x)+1}
[/mm]
= [mm] \pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -xsin(x) & xcos(x) }*\vektor{sin(x)+cos(x)-3 \\ -cos(x)+sin(x)+2}
[/mm]
[mm] =\vektor{1-3cos(x)+2sin(x) \\ -x(1-3sin(x)-2cos(x)}
[/mm]
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Anscheinend ist nur das obere Ergebnis falsch. Also [mm] y_{1}[/mm]
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Hallo alfonso2020,
> Anscheinend ist nur das obere Ergebnis falsch. Also [mm]y_{1}[/mm]
Siehe dazu diese Antwort.
Gruss
MathePower
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Hallo alfonso2020,
> Ich hatte die Formel falsch angewendet. Ich hatte
> [mm]U(x_{0})^{-1}[/mm] und [mm]U(x)^{-1}[/mm] vertauscht. Jedoch komme ich
> trotzdem nicht auf nichts richtiges ..
>
> [mm]y(x)=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -xsin(x) & xcos(x) }*(\pmat{ 0 & -\bruch{2}{\pi} \\ 1 & 0 }*\vektor{1 \\ \pi}+\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{x}{ \pmat{ cos(t) & -\bruch{sin(t)}{t} \\ sin(t) & \bruch{cos(t)}{t} } dt})[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -xsin(x) & xcos(x) }*(\vektor{-2 \\ 1}+\integral_{\bruch{\pi}{2}}^{x}{\vektor{cos(t)-sin(t) \\ sin(t)+cos(t)} dt})[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -xsin(x) & xcos(x) }*(\vektor{-2 \\ 1}+[/mm]
>
> [mm]\vektor{sin(x)+cos(x)-1 \\ -cos(x)+sin(x)+1}[/mm]
>
> = [mm]\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -xsin(x) & xcos(x) }*\vektor{sin(x)+cos(x)-3 \\ -cos(x)+sin(x)+2}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{1-3cos(x)+2sin(x) \\ -x(1-3sin(x)-2cos(x)}[/mm]
Das ist in der Tat nicht richtig.
Wird der letzte Summand weggelassen,
dann stimmt das Ergebnis, abgesehen
von der fehlenden schließenden Klammer.
Gruss
MathePower
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Hmm..
aber woher kommt denn dieses 2sin(x)?
Bin meine Rechenwege durchgegangen aber erkenne keinen Grund es wegzulassen :/
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Hallo alfonso2020,
> Hmm..
>
> aber woher kommt denn dieses 2sin(x)?
> Bin meine Rechenwege durchgegangen aber erkenne keinen
> Grund es wegzulassen :/
Da ist Dir beim Ausrechnen des Matrixproduktes ein Fehler unterlaufen.
Der Fehler ist allerdings schon beim Integrieren passiert.
Das Ergebnis der Integration muss so lauten:
[mm]\[\begin{pmatrix}\mathrm{sin}\left( x\right) +\mathrm{cos}\left( x\right) -1\cr \mathrm{sin}\left( x\right) -\mathrm{cos}\left( x\right) -1\end{pmatrix}\][/mm]
Gruss
MathePower
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Dann müsste es so lauten :
[mm] y(x)=\vektor{1-3cos(x) \\ -x(1-3sin(x))}
[/mm]
stimmts?
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Hallo alfsonso2020,
> Dann müsste es so lauten :
>
> [mm]y(x)=\vektor{1-3cos(x) \\ -x(1-3sin(x))}[/mm]
>
> stimmts?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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