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| Aufgabe | Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für das Differentialgleichungssystem und die allgemeine Lösung:
a) x'=2x+y
y'=x+3y-z
z'=-x+2y+3z
b) x'=2x-y-z
y'=3x-2y-3z
z'=2z-x+y |
Hallo,
erstmal wünsche ich Jedem hier ein gesundes, neues Jahr.
Nun zu meinen Aufgaben. Ich berechne doch bei beiden Aufgaben zuerst die Eigenwerte und dann die entsprechenden Eigenvektoren oder? Und mit denen kann ich ja schon mein System
[mm] v_1e^{\lambda_1t},v_2e^{\lambda_2t},v_3e^{\lambda_3t}
[/mm]
aufstellen und die Linearkombination daraus ist das meine allg. Lösung. Oder?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem für das
> Differentialgleichungssystem und die allgemeine Lösung:
>
> a) x'=2x+y
> y'=x+3y-z
> z'=-x+2y+3z
>
> b) x'=2x-y-z
> y'=3x-2y-3z
> z'=2z-x+y
> Hallo,
>
> erstmal wünsche ich Jedem hier ein gesundes, neues Jahr.
>
> Nun zu meinen Aufgaben. Ich berechne doch bei beiden
> Aufgaben zuerst die Eigenwerte und dann die entsprechenden
> Eigenvektoren oder? Und mit denen kann ich ja schon mein
> System
>
> [mm]v_1e^{\lambda_1t},v_2e^{\lambda_2t},v_3e^{\lambda_3t}[/mm]
>
> aufstellen und die Linearkombination daraus ist das meine
> allg. Lösung. Oder?
Im Falle verschiedener Eigenwerte stimmt das.
Kommen Eigenwerte mehrfach vor, so kommt es auf
die Dimension der zugehörigen Eigenräume an,
wie die Lösungen aussehen.
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Hallo, danke für deine Antwort.
Bei a) habe ich das Sytem in eine Matrix umgeformt
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 3 }*\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Damit bekomm ich dann meine EW [mm] \lambda_1=2, \lambda_2= [/mm] 3+i, [mm] \lambda_3=3-i [/mm] und damit erhalte ich meine EV [mm] v_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, v_2=\vektor{\bruch{2}{5}+\bruch{1}{5}*i \\ \bruch{1}{5}+\bruch{3}{5}*i \\ 1}, v_3=\vektor{\bruch{2}{5}-\bruch{1}{5}*i \\ \bruch{1}{5}-\bruch{3}{5}*i \\ 1}
[/mm]
und bei b) sind die EW [mm] \lambda_1=0, \lambda_{2,3}=1. [/mm] Die daraus folgenden EV [mm] v_1=\vektor{-1 \\ -3 \\ 1}, v_2=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, v_3=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Ist das soweit korrekt?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Hallo, danke für deine Antwort.
>
> Bei a) habe ich das Sytem in eine Matrix umgeformt
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & 3 }*\vektor{x \\ y \\ z}[/mm]
>
> Damit bekomm ich dann meine EW [mm]\lambda_1=2, \lambda_2=[/mm] 3+i,
> [mm]\lambda_3=3-i[/mm] und damit erhalte ich meine EV [mm]v_1=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, v_2=\vektor{\bruch{2}{5}+\bruch{1}{5}*i \\ \bruch{1}{5}+\bruch{3}{5}*i \\ 1}, v_3=\vektor{\bruch{2}{5}-\bruch{1}{5}*i \\ \bruch{1}{5}-\bruch{3}{5}*i \\ 1}[/mm]
>
> und bei b) sind die EW [mm]\lambda_1=0, \lambda_{2,3}=1.[/mm] Die
> daraus folgenden EV [mm]v_1=\vektor{-1 \\ -3 \\ 1}, v_2=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}, v_3=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> Ist das soweit korrekt?
Ja, das ist soweit korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Somit bekomme ich bei
a) [mm] y_1(t)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}^{2te}, y_2(t)=\vektor{\bruch{2}{5}+\bruch{1}{5}\cdot{}i \\ \bruch{1}{5}+\bruch{3}{5}\cdot{}i \\ 1}^{(3+i)te}, y_3(t)=\vektor{\bruch{2}{5}-\bruch{1}{5}\cdot{}i \\ \bruch{1}{5}-\bruch{3}{5}\cdot{}i \\ 1}^{(3-i)te}
[/mm]
also [mm] y(t)=C_1*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}^{2te}+C_2*\vektor{\bruch{2}{5}+\bruch{1}{5}\cdot{}i \\ \bruch{1}{5}+\bruch{3}{5}\cdot{}i \\ 1}^{(3+i)te}+C_3*\vektor{\bruch{2}{5}-\bruch{1}{5}\cdot{}i \\ \bruch{1}{5}-\bruch{3}{5}\cdot{}i \\ 1}^{(3-i)te}
[/mm]
b) [mm] y_1(t)=\vektor{-1 \\ -3 \\ 1}^0=1, y_2(t)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}^{et}, y_3(t)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}^{et}, [/mm] dann natürlich noch die Linearkombination daraus für y(t).
Fertig?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Somit bekomme ich bei
>
> a) [mm]y_1(t)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}^{2te}, y_2(t)=\vektor{\bruch{2}{5}+\bruch{1}{5}\cdot{}i \\ \bruch{1}{5}+\bruch{3}{5}\cdot{}i \\ 1}^{(3+i)te}, y_3(t)=\vektor{\bruch{2}{5}-\bruch{1}{5}\cdot{}i \\ \bruch{1}{5}-\bruch{3}{5}\cdot{}i \\ 1}^{(3-i)te}[/mm]
Die Exponentialfunktion schreibst Du im Formeleditor so: e^{\lambda*t}.
Demnach lautet hier das so:
[mm]y_1(t)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}*e^{2t}, y_2(t)=\vektor{\bruch{2}{5}+\bruch{1}{5}\cdot{}i \\ \bruch{1}{5}+\bruch{3}{5}\cdot{}i \\ 1}*e^{(3+i)t}, y_3(t)=\vektor{\bruch{2}{5}-\bruch{1}{5}\cdot{}i \\ \bruch{1}{5}-\bruch{3}{5}\cdot{}i \\ 1}*e^{(3-i)t}[/mm]
Ich denke, daß Du reelle Lösungen des DGL-Systems haben willst.
Spalte dazu entweder [mm]y_{2}[/mm] oder [mm]y_{3}[/mm] in
Real- und Imaginärteil auf. Diese sind für sich betrachtet
auch wieder Lösungen des DGL-Systems.
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> also [mm]y(t)=C_1*\vektor{1 \\ 0 \\ 1}^{2te}+C_2*\vektor{\bruch{2}{5}+\bruch{1}{5}\cdot{}i \\ \bruch{1}{5}+\bruch{3}{5}\cdot{}i \\ 1}^{(3+i)te}+C_3*\vektor{\bruch{2}{5}-\bruch{1}{5}\cdot{}i \\ \bruch{1}{5}-\bruch{3}{5}\cdot{}i \\ 1}^{(3-i)te}[/mm]
>
> b) [mm]y_1(t)=\vektor{-1 \\ -3 \\ 1}^0=1, y_2(t)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}^{et}, y_3(t)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}^{et},[/mm]
Auch hier:
[mm]y_1(t)=\vektor{-1 \\ -3 \\ 1}*e^{0*t}, y_2(t)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}*e^{t}, y_3(t)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}*e^{t}[/mm]
> dann natürlich noch die Linearkombination daraus für
> y(t).
>
> Fertig?
Sieht so aus.
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Sa 02.01.2010 | | Autor: | Leipziger |
Danke, und schönes Wochenende noch.
Gruß Leipziger
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