Fundamentalsystem einer DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem des homogenen Systems y'=A(x)y mit A: [mm] \IR\to M(2,2,\IR), [/mm] A(x)= [mm] \pmat{ 2 & x \\ 0 & 1 }. [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
wollt mich nur erkundigen ob meine Lösung soweit korrekt ist, da ich mich mit dem Thema noch nicht so richtig beschäftigt habe.
Mein Lösungsansatz:
Eigenwerte: [mm] \vmat{ \lambda-2 & x \\ 0 & \lambda-1}=(\lambda-2)*(\lambda-1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Eigenwerte [mm] \lambda_{1}=2 [/mm] , [mm] \lambda_{2}=1
[/mm]
Eigenvektoren:
[mm] \lambda=2: \pmat{ 0 & x \\ 0 & 1 } \pmat{ v1 \\ v2 }=0 EV=\pmat{ x \\ 0 }
[/mm]
[mm] \lambda=1: \pmat{ -1 & x \\ 0 & 0 }\pmat{ v1 \\ v2 }=0 EV=\pmat{ x \\ 1 }
[/mm]
Fundamentalsystem: [mm] y_{1}'= e^{2x} \pmat{ x \\ 0 }, y_{2}'= e^{x} \pmat{ x \\ 1 }
[/mm]
Freue mich über eure Tipps
Gruß
Dario
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Hallo Achilles2084,
> Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem des homogenen Systems
> y'=A(x)y mit A: [mm]\IR\to M(2,2,\IR),[/mm] A(x)= [mm]\pmat{ 2 & x \\ 0 & 1 }.[/mm]
>
> Hallo ihr Lieben,
>
> wollt mich nur erkundigen ob meine Lösung soweit korrekt
> ist, da ich mich mit dem Thema noch nicht so richtig
> beschäftigt habe.
>
> Mein Lösungsansatz:
>
> Eigenwerte: [mm]\vmat{ \lambda-2 & x \\ 0 & \lambda-1}=(\lambda-2)*(\lambda-1)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] Eigenwerte [mm]\lambda_{1}=2[/mm] , [mm]\lambda_{2}=1[/mm]
>
Das kannst Du hier nicht über Eigenwerte machen,
da die Matrix A nicht konstant ist.
Ausgeschrieben lautet das doch:
[mm]\left(1\right) \ y_{1}'=2*y_{1}+x*y_{2}[/mm]
[mm]\left(2\right) \ y_{2}'=y_{2}[/mm]
Löse zunächst (2), setze das Ergebnis in (1) ein,
und löse auch dieses.
>
> Eigenvektoren:
>
> [mm]\lambda=2: \pmat{ 0 & x \\ 0 & 1 } \pmat{ v1 \\ v2 }=0 EV=\pmat{ x \\ 0 }[/mm]
>
> [mm]\lambda=1: \pmat{ -1 & x \\ 0 & 0 }\pmat{ v1 \\ v2 }=0 EV=\pmat{ x \\ 1 }[/mm]
>
>
> Fundamentalsystem: [mm]y_{1}'= e^{2x} \pmat{ x \\ 0 }, y_{2}'= e^{x} \pmat{ x \\ 1 }[/mm]
>
> Freue mich über eure Tipps
>
> Gruß
>
> Dario
>
Gruss
MathePower
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Hallo Mathepower,
sorry das ich jetzt erste schreibe.
Erhalte also für [mm] y_{2}'=e^{x}
[/mm]
Dadurch bekomme ich die Differentialgleichung [mm] y_{1}'=2y_{1}+x*e^{x}.
[/mm]
Diese Gleichung kann ich doch mit der Formel für inhomogene Differentialgleichungen lösen.
Damit erhalte ich:
[mm] y_{1}=e^{2(x-x_{0})}*(c+\integral_{x_{0}}^{x}{\bruch{1}{e^{2(t-x_{0})}}*e^{t} dt})
[/mm]
Hier komme ich nun total ins strauchen da ich nicht weiß, mit welchem Integrationsverfahren ich das Integral lösen kann. Wenn ich es als Produkt auffasse erhalte ich immer ein weiteres Integral.
Hilfe!
Freue mich über Antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:20 Di 25.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu: $ [mm] y_{1}'=2y_{1}+x\cdot{}e^{x}. [/mm] $
Bestimme zuerst die allgemeine Lösung der homogenen Gl. $ [mm] y_{1}'=2y_{1}$ [/mm] und dann mit Variation der Konstanten eine spezielle Lösung der inhomogenen Gl.
FRED
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Hey,
das find ich komisch. Die Variation der Konstanten ist doch für inhomogene Gleichungen.
Ich hab doch als Gleichung da stehen
[mm] \vektor{y_{1}' \\ y{2}'}=\pmat{ 2 & x \\ 0 & 1 }\vektor{y_{1} \\ e^{x}} [/mm]
Das [mm] e^{x} [/mm] ist gehört doch noch zum homogenen System oder nicht.
Desweiteren wird beim zweiten Aufgabenteil ein b(x) eingeführt, wo ich dann die allgemeine Lösung bestimmen soll.
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Hallo Achilles2084,
> Hey,
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> das find ich komisch. Die Variation der Konstanten ist doch
> für inhomogene Gleichungen.
Eine solche hast Du hier vorliegen:
[mm]y_{1}'=2*y_{1}+y_{2}[/mm]
>
> Ich hab doch als Gleichung da stehen
>
> [mm]\vektor{y_{1}' \\ y{2}'}=\pmat{ 2 & x \\ 0 & 1 }\vektor{y_{1} \\ e^{x}}[/mm]
>
> Das [mm]e^{x}[/mm] ist gehört doch noch zum homogenen System oder
> nicht.
Ja., [mm]e^{x}[/mm] ist Lösung der DGL
[mm]y_{2}'=y_{2}[/mm]
>
> Desweiteren wird beim zweiten Aufgabenteil ein b(x)
> eingeführt, wo ich dann die allgemeine Lösung bestimmen
> soll.
Gruss
MathePower
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Okay,
als Anfang den homogenen Teil.
[mm] y_{1}'=2y_{1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_{1}=c*e^{-2(x-x_{0})}
[/mm]
Also einfach eingesetzt in die Formel und oben integriert. Stimmt das soweit?
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Hallo Achilles2084,
> Okay,
>
> als Anfang den homogenen Teil.
>
> [mm]y_{1}'=2y_{1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y_{1}=c*e^{-2(x-x_{0})}[/mm]
>
> Also einfach eingesetzt in die Formel und oben integriert.
> Stimmt das soweit?
Die Lösung von
[mm]y_{1}'=2*y_{1}[/mm]
lautet doch [mm]y_{1}=C_{1}*e^{\red{+}2x}[/mm]
Gruss
MathePower
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Hey,
ich weiß ehrlich gesagt nicht wie du darauf gekommen bist.
Kannst du mir die Berechnung der inhomogenen Gleichung mal grob zeigen, damit ich weiß was zu tun ist.
Danke
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Hallo Achilles2084,
> Hey,
>
> ich weiß ehrlich gesagt nicht wie du darauf gekommen
> bist.
Auf was?
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> Kannst du mir die Berechnung der inhomogenen Gleichung mal
> grob zeigen, damit ich weiß was zu tun ist.
Die Lösung der homogenen DGL
[mm]y_{1}'=2*y_{1}[/mm]
lautet
[mm]y_{1}=C_{1}*e^{2x}[/mm]
Für eine partikuläre Lösung [mm]y_{p}[/mm] der inhomogenen DGL
[mm]y_{1}'=2*y_{1}+y_{2}[/mm]
machst Du den Ansatz:[mm]y_{p}=C_{1}\left(x\right)*e^{2x}[/mm]
Diesen setzt Du nun in die inhomogene DGL ein.
>
> Danke
Gruss
MathePower
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