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| Aufgabe | Die Funktion [mm] f(x):\IR\to\IR [/mm] sei gegeben durch [mm] f(x)=\bruch{1}{n} [/mm] für [mm] x\in \left] \bruch{1}{n+1} , \bruch{1}{n} \right] (n\in\IN)
[/mm]
(a) Bestimmen Sie D(f) und W(f).
(b) Bestimmen sie infD(f) , supD(f) , infW(f) und supW(f) .
(c) Bestimmen Sie (wenn existierend) das absolute Maximum und absolute Minimum sowie relative Maxima und Minima.
(d) Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie, Beschränktheit und Stetigkeit.
(e) Bestimmen Sie die Lage der Sprungstellen und die Sprunghöhen in Abhängigkeit von der Lage der Sprungstellen.
(f) Untersuchen Sie, ob die Summe der Sprungstellen endlich ist. |
Erst einmal vielen Dank im voraus. Eines meiner Problem ist wie gehe ich mit dem für [mm] x\in \left] \bruch{1}{n+1} , \bruch{1}{n} \right] (n\in\IN) [/mm] um.
Meine Funktion heißt ja [mm] f(x)=\bruch{1}{n} [/mm] wie setze ich denn das x in [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ein?
Unser Prof hat uns eine Abbildung zur Funktion vorn angezeichnet, die auf mich etwas ungewohnt wirkt, falsch herum um genauer zu sein. Die abbildung zeigt eine Treppenfunktion, welche sich von der x-Achse weg nach oben bewegt. Er hat bei x=1 angefangen ist dann Richtung y-Achse gegangen. Ich hab das solang noch nie gesehen.
Meine Überlegungen sind folgende:
zu a) D(f): [mm] \IR^{+} [/mm] \ {0}
W(f): [mm] \IR^{+} [/mm] ]0,1]
Wobei ich mir aufgrund meiner Unklarheit was den Zusammenhang von x, n betrifft nicht so ganz sicher bin ob das stimmt.
zu b) infD(f) [mm] =\bruch{1}{n+1}>0
[/mm]
supD(f) =1
infW(f) [mm] =\bruch{1}{n+1}>0
[/mm]
supW(f) =1
Dabei habe ich mich mit zwei meiner Mitstudenten beraten und wir sind darauf gekommen. Ich hoffe das stimmt. Falls nicht wäre eine Erklärung wie anders sehr hilfreich.
zu c) absolutes Maximum : 1 (kleinste obere schranke)
absolutes Minimum : gibt es glaub ich nicht; das ganze läuft gegen 0, falls x=n
zu d) Sie ist beschränkt nach unten durch 0, nach oben durch 1
Weiter bin ich noch nicht - ich wollte mich erst mal vergewissern odb ich das ganze soweit richtig verstanden hatte. Außerdem sind die Sprunghöhen absolutes Neuland für mich und ich habs während der Vorlesung nicht verstanden.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:04 Fr 16.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Funktion [mm]f(x):\IR\to\IR[/mm] sei gegeben durch
> [mm]f(x)=\bruch{1}{n}[/mm] für [mm]x\in \left] \bruch{1}{n+1} , \bruch{1}{n} \right] (n\in\IN)[/mm]
die Funktion kann so gar nicht stimmen. Das ist keine Funktion mit Definitionsbereich [mm] $\IR$. [/mm] Dort muss stehen:
$f: ]0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] definiert durch [mm] $f(x):=\frac{1}{n}$, [/mm] falls für $x [mm] \in [/mm] ]0,1]$ ein $n [mm] \in \IN$ [/mm] so existiert, dass $x [mm] \in \left]\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right]\,.$
[/mm]
Zunächst mal zur Definition von $f$:
Mache Dir klar, dass $]0,1]$ sich schreiben läßt als disjunkte Vereinigung: [mm] $]0,1]=\overset{d}{\bigcup_{n \in \IN}}\left]\frac{1}{n+1},\,\frac{1}{n}\right]\,.$
[/mm]
Daraus erkennst Du nämlich, dass für jedes $0 < x [mm] \le [/mm] 1$ genau ein $n=n(x) [mm] \in \IN$ [/mm] so existiert, dass [mm] $\frac{1}{n+1} [/mm] < x [mm] \le \frac{1}{n}$ [/mm] gilt. Das ist wichtig, damit man sich klarmacht, dass das, was da oben steht, auch wirklich eine Funktion $]0,1] [mm] \to \IR$ [/mm] ist!
Und jetzt folgendes:
Deine Funktion $f$ ist so definiert:
[mm] $\bullet$ [/mm] Es gilt [mm] $f(x)=1=\frac{1}{1}$ [/mm] für alle $x$ mit [mm] $\frac{1}{2} [/mm] < x [mm] \le 1\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Es gilt [mm] $f(x)=\frac{1}{2}$ [/mm] für alle $x$ mit [mm] $\frac{1}{3} [/mm] < x [mm] \le \frac{1}{2}\,.$
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] Es gilt [mm] $f(x)=\frac{1}{3}$ [/mm] für alle $x$ mit [mm] $\frac{1}{4} [/mm] < x [mm] \le \frac{1}{3}\,.$
[/mm]
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[mm] $\bullet$ [/mm] Es gilt [mm] $f(x)=\frac{1}{k}$ [/mm] für alle $x$ mit [mm] $\frac{1}{k+1} [/mm] < x [mm] \le \frac{1}{k}\,.$
[/mm]
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P.S.:
(Ungefähr) So wie unten würde Deine Funktion $f$ auf $]1/6,1]$ aussehen (quasi "5 Stufen"), und die Symbole $]$ bzw. $($ sollen dort andeuten, wie das genau mit dem Funktionswert an der Stelle aussieht. So ist z.B. $f(1/3)=1/3$ (und nicht! $f(1/3)=1/2$), aber, wenn man sich mit $x > 1/3$ genügend nahe bei $1/3$ dann beliebig nahe an $x=1/3$ nähert, so ist dort $f(x)=1/2$ für alle diese $x$. Der Graph der Funktion besteht im Prinzip aus (abzählbar) unendlich vielen "Stufen", die, je näher man sich mit $x$ von rechts an die $0$ nähert, von der Länge her gegen $0$ streben (so eine "Stufe" hat ja die Länge [mm] $1/n-1/(n+1)=\frac{1}{n(n+1)}$, [/mm] was bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] (sogar monoton fallend) gegen $0$ strebt), und die Entfernung einer solchen Stufe zur $x$-Achse strebt auch gegen 0, wenn $x$ von rechts gegen $0$ läuft.
(Und Du erkennst, dass meine Skizze etwas "unschön" ist. Eigentlich sollte man erkennen, dass, wenn man von rechts nach links läuft, die Länge der Stufen abnimmt. Dass das nicht so gut erkennbar ist, liegt daran, dass ich da etwas "grob" gezeichnet habe  )
[Dateianhang nicht öffentlich]
So, und ich hoffe, dass Du damit weiterkommst. (Denn damit erkennt man schon sehr viel: Stetigkeit von $f$ auf jedem Intervallstück $]1/(n+1),1/n]$ ($n [mm] \in \IN$); [/mm] die Menge der Sprungstellen ist einfach [mm] $\{1/(n+1): n \in \IN \}$...)
[/mm]
P.S.:
Nur so als Hinweis:
$D(f)=]0,1]$ liefert sofort [mm] $\text{inf}D(f)=0$, $\text{min}D(f)$ [/mm] existiert nicht und [mm] $\text{sup}D(f)=\text{max}D(f)=1\,.$
[/mm]
Ferner gilt [mm] $W(f)=\left\{\frac{1}{n}: n \in \IN\right\}$ [/mm] und damit [mm] $\text{inf}W(f)=0$ [/mm] und [mm] $\text{sup}W(f)=\text{max}W(f)=1\,.$ [/mm] Auch hier existiert [mm] $\text{min}W(f)$ [/mm] nicht. Deine Behauptung [mm] $\text{inf}W(f)=\frac{1}{n+1}$ [/mm] ist Unsinn und mir ist auch total unklar, wie Du zu dieser Behauptung kommst. Es würde allerdings z.B. [mm] $\text{inf} W(f(]1/(n+2),\;1]))=\frac{1}{n+1}$ [/mm] ($n [mm] \in \IN$) [/mm] gelten, und auch damit käme man zu [mm] $\text{inf}W(f)=\text{inf}\{f(x): x \in D(f)\}=\text{inf}\{1/n: n \in \IN\}=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:13 So 18.01.2009 | | Autor: | anjali251 |
Vielen Dank für die Hilfe, ich konnte es sogar nachvollziehen
Gruß Katharina
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