Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:44 Di 12.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Es sei g eine auf [-1:1] beschränkte Funktion,und die Funktion f sei definiert durch [mm] f(x):=x^{2}*g(x).
[/mm]
Zeige,dass f in 0 differenzierbar ist und f'(0)=0.Was ist das erstaunliche an diesem Resultat? |
Hallo,
ich willl die obenstehende Aufgabe lösen,aber weiß ehrlich gesgat nicht,was ich da noch groß rechnen soll.Soweit ich es richtig verstanden hab,soll man ja zeigen,dass f'(0)=0 ist.Das ist ja ganz einfach man setzt einfach in 2x 0 ein und schon ist es bewiesen,da ist es egal wie die Funktion g(x) lautet.
Aber das allein kann doch nicht die ganze Aufgabe sein oder?
Da steckt doch bestimmt noch was dahinter,vor allem weil da steht,was das erstaunliche an diesem Resultat sein soll???
Könnt ihr mir helfen,die Aufgabe irgendwie besser zu verstehen und sagen,wie und was ich da eigentlich noch machen soll?
Vielen dank schon mal...
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Hallo Mandy,
> Es sei g eine auf [-1:1] beschränkte Funktion,und die
> Funktion f sei definiert durch [mm]f(x):=x^{2}*g(x).[/mm]
> Zeige,dass f in 0 differenzierbar ist und f'(0)=0.Was ist
> das erstaunliche an diesem Resultat?
> Soweit ich es richtig verstanden hab,soll man ja zeigen,dass f'(0)=0
> ist.Das ist ja ganz einfach man setzt einfach in 2x 0 ein
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Da für g nur Beschränktheit vorausgesetzt ist
(g könnte also eine ziemlich "wilde", nicht einmal
stetige Funktion sein !)
darfst du z.B. die Produktregel nicht anwenden.
> und schon ist es bewiesen,da ist es egal wie die Funktion
> g(x) lautet.
> Aber das allein kann doch nicht die ganze Aufgabe sein
> oder?
> Da steckt doch bestimmt noch was dahinter,vor allem weil
> da steht,was das erstaunliche an diesem Resultat sein
> soll???
Ja, das Erstaunliche ist, dass die Funktion f wenigstens
an der Stelle x=0 trotzdem differenzierbar ist, obwohl
für die Funktion g nicht einmal Stetigkeit vorausge-
setzt ist.
>
> Könnt ihr mir helfen,die Aufgabe irgendwie besser zu
> verstehen und sagen,wie und was ich da eigentlich noch
> machen soll?
Es geht nur um die Ableitung an der Stelle x=0. Die Definition
dafür ist:
[mm] f'(0)=\limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(0+h)-f(0)}{h}
[/mm]
Dieser Grenzwert ist zu bestimmen.
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Di 12.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
>
> Ja, das Erstaunliche ist, dass die Funktion f wenigstens
> an der Stelle x=0 trotzdem differenzierbar ist,
> obwohl
> für die Funktion g nicht einmal Stetigkeit
> vorausge-
> setzt ist.
> >
okay,aber warum ist das denn so erstaunlich?Das versteh ich noch nicht so ganz?^^
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> >
> > Ja, das Erstaunliche ist, dass die Funktion f wenigstens
> > an der Stelle x=0 trotzdem differenzierbar ist,
> > obwohl
> > für die Funktion g nicht einmal Stetigkeit
> > vorausge-
> > setzt ist.
> > >
> okay,aber warum ist das denn so erstaunlich?Das versteh ich
> noch nicht so ganz?^^
Hallo,
naja, ob man staunt oder nicht, hängt natürlich auch ein bißchen davon ab, wie abgeklärt man ist...
Diie Voraussetzung für die Differenzierbarkeit ist ja die Stetigkeit.
Und nun darf man hier mit der Funktion f(x)=x² eine nahezu beliebige (lediglich beschränkte), völlig wilde Funktion multiplizieren, und die entstehende Funktion ist an der Stelle 0 garantiert diffbar.
Für [mm] f_2(x):= [/mm] x*g(x) klappt das nämlich nicht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Di 12.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Achso,ok danke jetzt hab ich s verstanden,aber warum klappt das denn bei f(x)=x*g(x) nicht??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Di 12.08.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Achso,ok danke jetzt hab ich s verstanden,aber warum klappt
> das denn bei f(x)=x*g(x) nicht??
ich möchte Angelas Aussage etwas umformulieren, damit klar ist: sie meint, dass das für [mm] $\black{f(x)=x*g(x)}$ [/mm] im Allgemeinen nicht klappt. Mit anderen Worten: Man findet (mindestens) eine Funktion $g$, die beschränkt auf $[-1,1]$ ist, so dass $f(x)=x [mm] \cdot [/mm] g(x)$ in [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht differenzierbar ist.
In der Analysis kennt man dafür ein Standardbeispiel, was ich Dir nicht vorenthalten will:
$$
[mm] g(x):=\begin{cases} 0, & \text{für } x=0 \\ \sin(1/x), & \text{für } x \not=0 \end{cases}
[/mm]
$$
Überlege Dir, dass $g$ auf $[-1,1]$ beschränkt ist und dass $f$ definiert durch [mm] $f(x):=x*g(x)=x*\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] nicht differenzierbar in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist.
Gruß,
Marcel
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Wenn wir von zwei Funktionen g und h einfach Folgendes
wissen:
1.) g ist auf dem Intervall [a..b] beschränkt
2.) h ist auf dem Intervall [a..b] differenzierbar
dann ist für die Funktion f mit f(x)=g(x)*h(x) die
Differenzierbarkeit an keiner einzigen Stelle des Intervalls
[a..b] garantiert.
Falls aber a<0<b und [mm] h(x)=x^2, [/mm] dann ist die Produkt-
funktion f wenigstens an der Stelle x=0 differenzierbar,
und es ist f'(0)=0 (obwohl f'(x) an allen anderen Stellen
x möglicherweise gar nicht existiert). Dies ist schon eine
äusserst erstaunliche Situation.
Beispiel für eine ziemlich "verrückte" Funktion g:
[m]\ g(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \mbox{ rational} \\ 1, & \mbox{für } x \mbox{ irrational} \end{cases}[/m]
Diese Funktion ist beschränkt, aber an keiner Stelle stetig,
geschweige denn differenzierbar.
LG al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Di 12.08.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich glaub das soll auf die Produktregel hinführen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Di 12.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo
was soll auf die Produktregel zurückführen?
Zum Grenzwert: Lautet der Grenzwert dann
[mm] \bruch{f(x_{0}^{2}*g(x_{0})+h)-f(x_{0}^{2}*g(x_{0})}{h}
[/mm]
Ich habs nochmal mit der Schreibweise gemacht:
[mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}
[/mm]
[mm] \bruch{f(x^{2}*g(x))-f(x_{0}^{2}-g(x_{0}))}{x-x_{0}} [/mm] ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Di 12.08.2008 | | Autor: | noobo2 |
die aufgabenstellung f(x) = [mm] x^2 [/mm] *gx und du sollt ja f(x) ableiten, so nähert man sich meist dem beweis der produktregel
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> was soll auf die Produktregel zurückführen?
Hallo,
am besten gar nichts. Die produktregel kann man hier nicht gebrauchen, denn es ist die Funktion g ja nicht als diffbar vorausgesetzt. Nochnichteinmal stetig muß sie sein, lediglich beschränkt.
>
> Zum Grenzwert: Lautet der Grenzwert dann
>
> [mm]\bruch{f(x_{0}^{2}*g(x_{0})+h)-f(x_{0}^{2}*g(x_{0})}{h}[/mm]
Schau mal in Deinen Unterlagen nach, welchen Grenzwert man ausrechnen muß, wenn man sich für die Ableitung der Funktion f an einer Stelle x interessiert:
man schaut, ob [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h} [/mm] existiert.
Was ist hier f(x)?
Was ist f(x+h)?
Und da Du Dich für die Stelle x=0 interessierst, mußt Du überall für x die 0 einsetzen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Di 12.08.2008 | | Autor: | Christopf |
Wenn du h->0 rechnest und x = 0 rechnest musst du die Regel von L Hospital beachten 0 über null
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 Di 12.08.2008 | | Autor: | Marcel |
> Wenn du h->0 rechnest und x = 0 rechnest musst du die Regel
> von L Hospital beachten 0 über null
Müssen ist so ein scheußliches Wort, wenn's nicht wirklich notwendig ist; noch schlimmer ist's, wenn man das, was man angeblich anwenden muss i.a. noch nicht mal anwenden darf. Schauen wir uns das hier mal an:
Für $h [mm] \not=0$ [/mm] ist
$$
[mm] \frac{(0+h)^2*g(0+h)-0^2*g(0)}{(0+h)-0}=h*g(h)
[/mm]
$$
Es ist offensichtlich, wogegen das bei $h [mm] \to [/mm] 0$ strebt, wenn $g$ für genügend kleine $|h|$ beschränkt ist; da braucht man kein Hospital, strenggenommen ist Hospital hier i.a. noch nicht mal anwendbar, denn schau' mal in die Voraussetzungen von Hospital, da steht etwas von Differenzierbarkeit...
@ Mandy:
Wenn Du Dir den obigen Diffquotienten anguckst, solltest Du auch die "augenscheinlich hervorstechende Problematik" erkennen, wenn man anstatt [mm] $f(x)=x^2 \cdot [/mm] g(x)$ dann $f(x)=x [mm] \cdot [/mm] g(x)$ betrachtet. Dann bräuchte man nämlich die Stetigkeit von $g$ in [mm] $x_0=0$, [/mm] um die Diff'barkeit von $f(x)=x [mm] \cdot [/mm] g(x)$ in [mm] $x_0=0$ [/mm] zu erschließen und dann wäre $(x [mm] \cdot [/mm] g(x))'=g(0)$... Aber wenn $g$ unstetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist, dann...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,Marcel hat ja den Grenzwert schon ausgerechnet.Ist der Grenzwert dann einfach nur h*g(h) und das heißt dann dass man die Funktion ableiten kann oder ???
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> Ok,Marcel hat ja den Grenzwert schon ausgerechnet.Ist der
> Grenzwert dann einfach nur h*g(h) und das heißt dann dass
> man die Funktion ableiten kann oder ???
Hallo,
nein, der Grenz wert ist der Grenzwert von h*g(h) für [mm] h\to [/mm] 0,
also [mm] \limes_{h\rightarrow 0}h*g(h).
[/mm]
Der ist zu berechnen.
Probleme könnte man bekommen, falls g(h) für [mm] h\to [/mm] 0 ins Unendliche abhauen würde. Dem ist aber ein Riegel vorgeschoben dadurch, daß vorausgesetzt wurde, daß die Funktion g beschränkt ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Aber wie soll ich den denn berechnen,ich hab doch gar keine Funktion für g(x)?
Kann ich auch für h ganz kleine Zahlen z.B. 0,25 einsetzen,das geht ja dann gegen 0,aber ich versteh wie ich da was berechnen soll ???
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> Aber wie soll ich den denn berechnen,ich hab doch gar keine
> Funktion für g(x)?
> Kann ich auch für h ganz kleine Zahlen z.B. 0,25
> einsetzen,das geht ja dann gegen 0,aber ich versteh wie ich
> da was berechnen soll ???
>
Hallo,
wir wissen ja, daß g auf [-1,1 ] definiert ist.
Lt. Voraussetzung ist g über diesem Intervall beschränkt. Es gibt also eine pos. Zahl S so, daß g(x) für alle [mm] x\in [/mm] [-1,1] zwischen S und -S liegt.
Also liegt g(h) zwischen S und -S.
Wenn ich nun h*g(h) betrachte, liegt das zwischen h*S und -h*S.
Also liegt auch der Grenzwert von h*g(h) zwischen den Grenzwerten von h*S und -h*S.
Was aber ist [mm] \limes_{h\rightarrow 0}h*S [/mm] ???
Was ist folglich [mm] \limes_{h\rightarrow 0}hg(h)?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Wie meins du das ?
Was ist [mm] \limes_{n\rightarrow\0}h*S [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\0}h*g(h).
[/mm]
Ich hätte jetzt gesagt,dass das der Grenzwert ist,den wir berechnen wollten,wir hatten ja auch die Formel für den Grenzwert genommen,aber das stimmt ja nicht.
Was das sonst ist,weiß ich ehrlich gesgat nicht ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:47 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
nun, stell dir vor, S sei iregendeine Zahl, beispielsweise 2.
Wenn du da jetzt stehen hast:
[mm] $\lim_{h\rightarrow 0} [/mm] h*S$, was ist das dann? Was kommt da raus?
Ja, das ist dann auch der Grenzwert, also deine "Ableitung" in dem Punkt x=0.
Wichtig hier ist einfach nur die Beschränktheit von g(x). Denn wenn g(x) jetzt z.B. nach unendlich abhauen könnte, und du dann hinterher da was stehen hsat wie [mm] $0\cdot\infty$, [/mm] kannst du ja auch nicht viel über den Grenzewrt aussagen...
Weist du jetzt, was Angela mit dem Grenzwert meinte?
LG
kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,ich denke ich habs jetzt^^
Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe,ist die Ableitung an der Stelle x=0 [mm] \limes_{n\rightarrow\0}h*g(h) [/mm] h*g(h) und es ist egal wie die Funktion g(x) lautet,die Ableitung an der Stelle x=0 ist immer 0.
Deswegen ist es auch so erstaunlich,weil man nicht sicher ist,dass g(x) stetig,aber die Ableitung an x=0 ist trotzdem da.
Hab ich das jetzt richtig verstanden ???
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Mi 13.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du jetzt noch als Eigenschaft von g hinzunimmst, dass g beschränkt ist, dann passt das. Denn die Beschränktheit von g ist ja das wichtigste beim Grenzwert berechnen. Ohne die Beschränktheit von g könnte man diesen Grenzwert so einfach nicht bilden.
Und ja, das einzige, was man dann von g weiß, ist dass es beschränkt ist, und deshalb ist es so erstaunlich, dass die Ableitung an der Stelle x=0 existiert =)
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:01 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> okay,ich denke ich habs jetzt^^
>
> Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe,ist die
> Ableitung an der Stelle x=0 [mm]\limes_{n\rightarrow\0}h*g(h)[/mm]
> h*g(h) und es ist egal wie die Funktion g(x) lautet,die
> Ableitung an der Stelle x=0 ist immer 0.
> Deswegen ist es auch so erstaunlich,weil man nicht sicher
> ist,dass g(x) stetig,aber die Ableitung an x=0 ist trotzdem
> da.
>
> Hab ich das jetzt richtig verstanden ???
>
> lg
das ist schwer zu sagen, denn Deine Ausdrucksweise ist (für mich) etwas schwer verständlich. Machen wir es mal ausführlich (also warum [mm] $\lim_{h \to 0}h \cdot [/mm] g(h)=0$ gilt):
Nach Voraussetzung ist $g$ auf $[-1,1]$ beschränkt. Demzufolge existiert ein $S > 0$ mit $|g(t)| [mm] \le [/mm] S$ für alle $t [mm] \in [/mm] [-1,1]$.
Für jedes $h [mm] \in [/mm] [-1,1] [mm] \setminus\{0\}$ [/mm] gilt also
$|h [mm] \cdot [/mm] g(h)| [mm] \le [/mm] |h|*S$
Was bedeutet das für [mm] $\lim_{h \to 0}|h \cdot [/mm] g(h)|$ und wieso kann ich [mm] $|\lim_{h \to 0}h \cdot g(h)|=\lim_{h \to 0}|h\cdot [/mm] g(h)|$ schreiben und das ausnutzen?
P.S.:
Mal ein Beispiel, damit Du siehst, dass die Beschränktheit von $g$ wesentlich ist:
Definiere ich $g$ auf $[-1,1]$ durch $g(x)=n$, falls [mm] $x=\frac{1}{n}$ [/mm] mit einem $n [mm] \in \IN$ [/mm] (wobei $0 [mm] \notin \IN$) [/mm] und ansonsten $g(x)=0$, so existiert [mm] $\lim_{h \to 0} [/mm] h*g(h)$ nicht. Kannst Du Dir überlegen, wieso nicht?
(Ist Dir auch klar, dass diese so definierte Funktion $g$ unbeschränkt ist?)
(Ich schreibe die Funktion $g$ (auf $[-1,1]$) auch gerne nochmal schöner:
$$
[mm] g(x)=\begin{cases} 0, & \text{falls }x \in [-1,1] \setminus\left\{\frac{1}{n},\;n \in \IN\right\} \\ n, & \text{falls } x=1/n \text{ mit einem }n \in \IN \end{cases}
[/mm]
$$)
P.S.:
Nur zum Verständnis, falls es unklar sein sollte:
$g(x)=0$ gilt für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,0]$. Weiter gilt z.B.: [mm] $g(1/\sqrt{2})=0$, [/mm] $g(3/5)=0$ und [mm] $g(\sqrt{7}/3)=0$, [/mm] aber $g(1)=g(1/1)=1$, $g(1/5)=5$, $g(1/100)=100$ und $g(1/1256225)=1256225$...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:16 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Okaay,mir ist jetzt klar,warum die Beschränktheit von g so wichtig ist.> Hallo Mandy,
>
>
> das ist schwer zu sagen, denn Deine Ausdrucksweise ist (für
> mich) etwas schwer verständlich. Machen wir es mal
> ausführlich (also warum [mm]\lim_{h \to 0}h \cdot g(h)=0[/mm]
> gilt):
> Nach Voraussetzung ist [mm]g[/mm] auf [mm][-1,1][/mm] beschränkt. Demzufolge
> existiert ein [mm]S > 0[/mm] mit [mm]|g(t)| \le S[/mm] für alle [mm]t \in [-1,1][/mm].
>
> Für jedes [mm]h \in [-1,1] \setminus\{0\}[/mm] gilt also
>
> [mm]|h \cdot g(h)| \le h*S[/mm]
Aber was meisnt du hier mit dem S und dem g(t) ???
>
> Was bedeutet das für [mm]\lim_{h \to 0}|h \cdot g(h)|[/mm] und wieso
> kann ich [mm]|\lim_{h \to 0}h \cdot g(h)|=\lim_{h \to 0}|h\cdot g(h)|[/mm]
> schreiben und das ausnutzen?
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> Okaay,mir ist jetzt klar,warum die Beschränktheit von g so
> wichtig ist.> Hallo Mandy,
> >
>
> >
> > das ist schwer zu sagen, denn Deine Ausdrucksweise ist (für
> > mich) etwas schwer verständlich. Machen wir es mal
> > ausführlich (also warum [mm]\lim_{h \to 0}h \cdot g(h)=0[/mm]
> > gilt):
> > Nach Voraussetzung ist [mm]g[/mm] auf [mm][-1,1][/mm] beschränkt.
> Demzufolge
> > existiert ein [mm]S > 0[/mm] mit [mm]|g(t)| \le S[/mm] für alle [mm]t \in [-1,1][/mm].
>
> >
> > Für jedes [mm]h \in [-1,1] \setminus\{0\}[/mm] gilt also
> >
> > [mm]|h \cdot g(h)| \le h*S[/mm]
>
> Aber was meisnt du hier mit dem S und dem g(t) ???
die Funktion $g$ ist ja auf $[-1,1]$ beschränkt. Das $S$ ist irgendeine Schranke für $|g|$ auf $[-1,1]$ (das muss nicht! die beste sein). Z.B.:
Wenn [mm] $g(x)=\sin(x)$ [/mm] ist, kannst Du $S=1$ wählen (dort könntest Du aber auch $S=100$ wählen). Wäre [mm] $g(x)=3(x+1)^2$, [/mm] so könntest Du $S=12$ wählen (hier ginge aber genausogut $S=20025$).
Wichtig ist nur, dass so eine Zahl $0 < S < [mm] \infty$ [/mm] existiert!
Und ob Du nun sagst, es gilt $|g(t)| [mm] \le [/mm] S$ für alle $t [mm] \in [/mm] [-1,1]$ oder meinetwegen, wenn Dir das lieber ist: $|g(x)| [mm] \le [/mm] S$ für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$, sollte Dir doch eigentlich klar sein, dass das egal ist.
Ich habe oben nur extra mal $g(t)$ geschrieben, weil man ja auch bei [mm] $\limes_{h \rightarrow 0} \, [/mm] h [mm] \cdot [/mm] g(h)$ bei [mm] $\black{g}$ [/mm] nicht als Variablenbezeichnung $x$, sondern eben $h$ hat. Es ist aber klar, dass Du dort auch meinetwegen [mm] $\limes_{h \rightarrow 0}\,h\cdot g(h)=\lim_{x \rightarrow 0}x \cdot g(x)\;\;(=\lim_{t \rightarrow 0}\,t\cdot g(t)=\lim_{y \rightarrow 0}\,y\cdot [/mm] g(y)=...)$ schreiben kannst.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
okay,vielen Dank für die ausführliche Erklärung,habs jetzt verstanden.
Aber nochmal um auf die Frage zurückzukommen> Hallo Mandy,
> Was bedeutet das für [mm]\lim_{h \to 0}|h \cdot g(h)|[/mm] und wieso
> kann ich [mm]|\lim_{h \to 0}h \cdot g(h)|=\lim_{h \to 0}|h\cdot g(h)|[/mm]
> schreiben und das ausnutzen?
Ich denke,man kann das ausnutzen,weil bei [mm]|\lim_{h \to 0}h \cdot g(h)|=\lim_{h \to 0}|h\cdot g(h)|[/mm] bei beiden dasselbe rauskommt,wenn man h gegen 0 gehen lässt ???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
exakt.
Man kann den Ausdruck ja abschätzen durch
[mm] $-S*h\le [/mm] x [mm] \le [/mm] S*h$
Denn das gilt ja für alle Werte x deiner Funktion, also insbesondere auch der des Grenzwertes.
Wenn du jetzt h gegen Null gehen lässt, also den Grenzwert berechnest, steht da
[mm] $0\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 0$, wobei x dann dein Grenzwert ist. Welcher Grenzwert kommt also raus?
Das ist die Anwendung des sog. "Sandwichsatzes". Du hast deinen Grenzwert von oben und von unten abgeschätzt, also "eingequetscht", und jetzt lässt du beide Seiten gegen ein und den selben Grenzwert gehen. Der Wert ,der dazwischen steht, kann ja dann nur noch ebenfalls die 0 annehmen.
LG
Kroni
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Fr 15.08.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mandy,
> okay,vielen Dank für die ausführliche Erklärung,habs jetzt
> verstanden.
> Aber nochmal um auf die Frage zurückzukommen> Hallo
> Mandy,
>
> > Was bedeutet das für [mm]\lim_{h \to 0}|h \cdot g(h)|[/mm] und wieso
> > kann ich [mm]|\lim_{h \to 0}h \cdot g(h)|=\lim_{h \to 0}|h\cdot g(h)|[/mm]
> > schreiben und das ausnutzen?
>
>
> Ich denke,man kann das ausnutzen,weil bei [mm]|\lim_{h \to 0}h \cdot g(h)|=\lim_{h \to 0}|h\cdot g(h)|[/mm]
> bei beiden dasselbe rauskommt,wenn man h gegen 0 gehen
> lässt ???
eigentlich wollte ich darauf hinaus:
Die Abschätzung $|h [mm] \cdot [/mm] g(h)| [mm] \le [/mm] |h|*S$ (für alle $0 < |h| < 1$) (Hinweis: Im meiner ursprünglichen Antwort hatte ich rechterhand fälschlicherweise [mm] $h\cdot [/mm] S$ stehen, beachte bitte, dass diese Korrektur hier (die ich nun auch schon in meiner ursprünglichen Antwort vorgenommen habe) wichtig ist für $-1 [mm] \le [/mm] h < 0$) liefert
[mm] $\lim_{h \to 0}\,|h\cdot [/mm] g(h)|=0$. Da die Funktion $abs(x):=|x|$ stetig (auf [mm] $\IR$, [/mm] und damit insbesondere in [mm] $x_0=0$) [/mm] ist, gilt daher
[mm] $0=\lim_{h \to 0}\,|h \cdot g(h)|=\lim_{h \to 0}\,abs(h \cdot g(h))=abs(\lim_{h \to 0}\,h \cdot g(h))=|\lim_{h \to 0}\, h\cdot [/mm] g(h)|$, und wegen $|y|=0 [mm] \gdw [/mm] y=0$, also insbesondere $|y|=0 [mm] \Rightarrow [/mm] y=0$, folgt damit [mm] $\lim_{h \to 0}\,h \cdot [/mm] g(h)=0$.
Das ist jedenfalls - mit Stetigkeitsargumenten - eine einwandfreie Argumentation, wenngleich es natürlich auch, wie schon oben gezeigt, mit dem Sandwichkriterium folgt.
Eigentlich sieht es mit dem Sandwichkriterium einfacher aus, aber strenggenommen müßte man dabei auch zwei Fälle betrachten (die natürlich aber beide "gleich trivial" sind):
1.) $h*(-S) [mm] \le h\cdot [/mm] g(h) [mm] \le [/mm] h [mm] \cdot [/mm] S$ für $0 < h [mm] \le [/mm] 1$ und
2.) $(-h)*(-S) [mm] \le [/mm] (-h) [mm] \cdot [/mm] g(h) [mm] \le [/mm] (-h)*S$ (bzw. $h*S [mm] \le [/mm] h*g(h) [mm] \le [/mm] (-h) [mm] \cdot [/mm] S$) für $-1 [mm] \le [/mm] h < 0$
(Natürlich ist hier auch der Einwand berechtigt, dass es mit dem Sandwichkriterium doch einfacher geht wegen der Definition des Begriffes Grenzwert, aber wir wollen hier nun nicht zu penibel werden  .)
Das war der Grund, weswegen ich lieber sofort mit (der Stetigkeit) der Betragsfunktion argumentieren wollte. Also im Prinzip ist es eigentlich egal, ob man das Sandwichkriterium benutzt oder mit der Betragsfunktion arbeitet...
Wenn Dir das alles zu kompliziert erscheint, nochmal die "Kurzfassung", die für die Schule reichen sollte:
Es ist $0 [mm] \le [/mm] |h*g(h)| [mm] \le [/mm] |h| [mm] \cdot [/mm] S=|h [mm] \cdot [/mm] S|$ für alle $0 < |h| [mm] \le [/mm] 1$ und wegen [mm] $\lim_{h \to 0}\,|h \cdot S|=S*\lim_{h \to 0}\,|h|=S\cdot [/mm] 0=0$ folgt [mm] $\lim_{h \to 0}\,|h*g(h)|=0$ [/mm] und damit auch [mm] $\lim_{h \to 0}\,h\cdot [/mm] g(h)=0.$
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Sa 16.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ok,jetzt hab ich alles verstanden.Vielen Dank nochmal,dass du mir alles so geduldig erklärst hast =)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Do 14.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
hab nochmal ne Frage zum Differenzquotienten.
Man hat ja [mm] \limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
Dann setzt man in die Funktion [mm] f(x)=x^{2}+g(x) [/mm] ein.
Also lautet der Grenzwert doch dann [mm] \bruch{f(x^{2}*g(x)+h)-f(x^{2}*g(x)}{h} [/mm] ?
Dann setzt man ja für alle x 0 ein,also hat man stehen [mm] \bruch{f(0*g(0)+h)-f(0^{2}*g(0)}{h}.
[/mm]
Aber Marcel hat den Grenzwert so auserechnet
[mm] \bruch{(0+h)^{2}*g(0+h)-0^{2}*g(0)}{(0+h)-0}
[/mm]
Ich versteh nicht so ganz warum der bei mir anders ist,hab ich da was falsch gemacht ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 14.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Um den Steigungsgrenzwert zu ermitteln, gibt es zwei Möglichkeiten, den Differenzenquotient und den Differentialquotient. Das ist aber im Prinzip dasselbe.
Also:
[mm] f'(a)=\limes_{b\to{a}}\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}
[/mm]
Oder:
[mm] f'(x_{0})=\limes_{x_{0}+h\to{x_{0}}}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{(x_{0}+h)-x_{0}}
[/mm]
[mm] =\limes_{h\to0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Do 14.08.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ja,das weiß ich,aber ich weiß nicht wo mein Fehler liegt oder hab ich keinen gemacht???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Do 14.08.2008 | | Autor: | fred97 |
Bei Dir ist doch f(x) = [mm] x^2 [/mm] g(x).
Der Differentialquotient in [mm] x_0 [/mm] = 0 lautet
[mm] $\limes_{h\to0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] $
$ [mm] =\limes_{h\to0}\bruch{f(h)-f(0)}{h} [/mm] $
$ [mm] =\limes_{h\to0}\bruch{h^2 g(h)- 0}{h} [/mm] $
$ [mm] =\limes_{h\to0} [/mm] hg(h) $ = 0
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Do 14.08.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
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> Um den Steigungsgrenzwert zu ermitteln, gibt es zwei
> Möglichkeiten, den Differenzenquotient und den
> Differentialquotient. Das ist aber im Prinzip dasselbe.
Nein. Zur Begriffsbildung:
Das
$ [mm] \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] $
ist der Differenzenquotient.
Und das
$ [mm] \limes_{h\to0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] $
ist der Differentialquotient.
FRED
>
> Also:
> [mm]f'(a)=\limes_{b\to{a}}\bruch{f(b)-f(a)}{b-a}[/mm]
> Oder:
> [mm]f'(x_{0})=\limes_{x_{0}+h\to{x_{0}}}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{(x_{0}+h)-x_{0}}[/mm]
> [mm]=\limes_{h\to0}\bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/mm]
>
>
> Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Do 14.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> Hallo,
>
> hab nochmal ne Frage zum Differenzquotienten.
>
> Man hat ja [mm]\limes_{h\rightarrow\0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> Dann setzt man in die Funktion [mm]f(x)=x^{2}+g(x)[/mm] ein.
> Also lautet der Grenzwert doch dann
> [mm]\bruch{f(x^{2}*g(x)+h)-f(x^{2}*g(x)}{h}[/mm] ?
Nein.
ersetzte erstmal f(x) durch deinen Term [mm] $x^2+g(x)$, [/mm] und gleichzeitig x durch x+h, wo es in f(x) steht, dann steht da doch:
[mm] $\frac{(x+h)^2+g(x+h)-(x^2+g(x))}{h}$
[/mm]
Da du ja den Grenzwert bei x=0 berechnen willst, kannst du dann ja auch direkt für x die 0 einsetzten, und erhalten:
[mm] $\frac{h^2+g(h)-g(0)}{h}$, [/mm] und dann h gegen Null gehen lassen.
EDIT:
Just btw: Ich habe oben gelesen, dass deine Funktion doch [mm] $x^2*g(x)$ [/mm] heißt, und nicht [mm] $x^2+g(x)$, [/mm] wie du es hier angegeben hast...
Die Lösung zu deiner Funktion f findest du dann weiter unten von fred.
LG
Kroni
>
> Dann setzt man ja für alle x 0 ein,also hat man stehen
> [mm]\bruch{f(0*g(0)+h)-f(0^{2}*g(0)}{h}.[/mm]
>
> Aber Marcel hat den Grenzwert so auserechnet
>
> [mm]\bruch{(0+h)^{2}*g(0+h)-0^{2}*g(0)}{(0+h)-0}[/mm]
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> Ich versteh nicht so ganz warum der bei mir anders ist,hab
> ich da was falsch gemacht ???
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> hallo,
> ich glaub das soll auf die Produktregel hinführen
Hallo,
nein, dies ist ein Beispiel, wo man die Produktregel nicht verwenden kann.
Die Produktregel ist ja für ein Produkt zweier differenzierbarer Funktionen, und die Funktion g ist nicht als diffbar vorausgesetzt, noch nicht einmal stetig!
Gruß v. Angela
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