Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Durch radioaktives Cäsium 137 belastete Pilze haben die aktivität 500 Becquerel Bq), d.h. es finden pro sekunde 500 kernzerfälle statt. die halbwertszeit beträgt 30 jahre
a) wie lautet die Gleichung der funktion f, die die aktivität der pilze beschreibt?
b) um wie viel prozent nimmt die aktivität innerhalb des ersten jahres bzw. innerhalb der ersten 10 jahre ab? wann schreitet die Aktivität den wert 100 Bq?
c) wie viele kernzerfälle finden innerhalb der ersten stunde, wie viele am ersten tag? |
Hallo!
a)ist es ein exponentieller zerfall? f(t)=ce^kt? oder ein beschränkter?, weil beim beschränkten zerfall ist ja die schranke bei 0 und hier kann es ja auch nur bis null zerfallen auf lange sich betrachtet...
k=-0,0231 in jahren
was ist dann c?c=500?
oder ist die aktivität die erste ableitung??
die fragen zu den anderen teilaufgaben klären sich ja vielleicht, wenn ich die antwort auf a) kriege, deswegen frage ich jetzt noch nicht
Mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> a)ist es ein exponentieller zerfall? f(t)=ce^kt? oder ein beschränkter?, weil beim beschränkten zerfall ist ja die schranke bei 0 und hier kann es ja auch nur bis null zerfallen auf lange sich betrachtet...
Ist nicht beschränkter Zerfall auch nur exponentieller Zerfall + die Schranke? Wenn also die Schranke 0 ist, wie hier, dann ist es exponentieller.
[mm] $f(t)=ce^{kt}$ [/mm] hat auf jeden Fall die untere Schranke 0. =)
>k=-0,0231 in jahren
>was ist dann c?c=500?
Ja.
> oder ist die aktivität die erste ableitung?
Die Frage ist gut, aber denk dran, daß Du ja schon die Aktivität modellierst.
[mm] $f(0)=500e^{-0.0231*0}=500$
[/mm]
ist die Aktivität zum Zeitpunkt 0. Wieviel Cäsium jetzt da ist, berechnen wir nicht. Du hast die Konstanten gewählt, daß die Aktivität paßt.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
Hey :)
Danke dir, aber habe noch eine frage zu c)...
muss ich da das integral bilden? wenn ja da kriege ich 0 für die erste stunde raus..ist das richtig?das kann doch gar nicht sein.
da habe ich erstmal das k in jahren zu einer stunde umgewandelt k=-2,64*10^-6 und im intervall 0 bis 1 integriert..
oder musste ich jetzt einfach f(t)=1 setzen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> muss ich da das integral bilden?
Jein. Du hast 500 Zerfälle pro Sekunde, wieviel wirst Du dann in einer Stunde haben?
Bei einer Halbwertszeit von 30 Jahren kann ich Dir jetzt schon sagen, daß der Unterschied zwischen Integral und [mm] $\pi$*Daumen [/mm] minimal sein wird.
> wenn ja da kriege ich 0 für die erste stunde raus..ist das richtig?
Du hast 500 Zerfälle pro Sekunde. Wirst Du dann in der ersten Stunde 0 haben? =)
Schreib mal Deine Rechnung.
> da habe ich erstmal das k in jahren zu einer stunde umgewandelt k=-2,64*10^-6 und im intervall 0 bis 1 integriert
Da wirst Du um Faktor 3600 daneben liegen. Was sind denn die Einheiten von c und k? t hat in Deinem Fall jetzt die Einheit h (für Stunde), also muß k was haben? Und was kriegen wir am Ende als Einheit, damit hat c welche Einheit?
> f(t)=1
für welches t ist das wahr, und was sagt mir diese Gleichung in Worten? Was ist denn der Wert von f(t) für eine Größe?
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> Jein. Du hast 500 Zerfälle pro Sekunde, wieviel wirst Du
> dann in einer Stunde haben?
1800000?
> Bei einer Halbwertszeit von 30 Jahren kann ich Dir jetzt
> schon sagen, daß der Unterschied zwischen Integral und
> [mm]\pi[/mm]*Daumen minimal sein wird.
>
> Du hast 500 Zerfälle pro Sekunde. Wirst Du dann in der
> ersten Stunde 0 haben? =)
nein, natürlich nicht!
>
> Schreib mal Deine Rechnung.
[mm] \integral_{0}^{1}{500e^(-2,64*10^-6*t) dt} [/mm] =0 ...?
>
> Da wirst Du um Faktor 3600 daneben liegen.
wieso um 3600?
> Was sind denn die Einheiten von c und k? t hat in Deinem Fall jetzt die
ja k habe ich ja in stunden umgewandelt (-ln(2)/30)/(365*24) und die einheit von c ist Bq
> Einheit h (für Stunde), also muß k was haben? Und was
k muss dann auch stunde haben
> kriegen wir am Ende als Einheit, damit hat c welche
> Einheit?
Bq pro stunde? dann müsste c Bq haben
>
> > f(t)=1
>
> für welches t ist das wahr,
keine ahnung..:(
> und was sagt mir diese Gleichung in Worten? Was ist denn der Wert von f(t) für eine Größe?
die gleichung sagt mir, wann die aktivität nur noch 1 Bq beträgt
> >
> ciao
> Stefan
aber was muss ich denn nun rechnen, wenn kein integral?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Sa 27.11.2010 | | Autor: | Blech |
> 1800000?
jo
> $ [mm] \integral_{0}^{1}{500e^{-2,64\cdot{}10^{-6}\cdot{}t} dt} [/mm] $
Das ist keine Rechnung, das ist ein Ansatz.
Aber rechne das Integral lieber mal mit den Konstanten c und k
$ [mm] \integral_{0}^{1} ce^{kt}\ [/mm] dt$
Das sieht nicht nur schöner aus, es hilft auch unten weiter. =)
> k muss dann auch stunde haben
k * x Stunden soll eine Zahl ohne Einheit (dimensionslos) sein. (sonst würde die Exponentialfunktion zu strangen Effekten führen - [mm] $e^{0\text{h}} [/mm] = [mm] 0^\text{h}$, [/mm] wtf soll das sein)
wenn t die Einheit Stunden hat, dann muß also k die Einheit 1/h haben, weil dann k*t keine Einheit hat.
> c ist Bq
Und Bq ist Zerfälle/Sekunde
> Bq pro stunde? dann müsste c Bq haben
Bq/Stunde wäre Zerfälle/Sekunde/Stunde. Das zweite stimmt aber, das Ergebnis von f(t) (z.B. f(1h)) soll ja Zerfälle/Sekunde sein. Die Exponentialfunktion ist dimensionslos, also kommt die Einheit von c. Und damit hat c die Einheit Bq.
> wieso um 3600?
Mal angenommen die Anzahl der Zerfälle wäre konstant bei 500/s. Dann ist die Anzahl der Zerfälle in einer Stunde, wie Du richtig gesagt hast, 3600s*500/s. Das Integral ist bei einer konstanten Funktion einfach Grundlinie mal Höhe.
Du hast bei Deinem Integral jetzt das Äquivalent von 1*500=500 gerechnet, weil k und c mit verschiedenen Zeiteinheiten arbeiten.
Beim [mm] $\pi$*Daumen [/mm] hast Du ganz intuitiv richtig erkannt, daß es in Wahrheit 1h*500/s=3600s*500/s=1.8 Millionen sein muß. Beim Integral kommt auch automatisch das richtige Ergebnis raus, solange Du nur die Einheiten nicht vergißt. =)
> die gleichung sagt mir, wann die aktivität nur noch 1 Bq beträgt
Exakt. Hat also mit der Frage hier nix zu tun. ^^
ciao
Stefan
|
|
|
|
