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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Mo 18.07.2011 | | Autor: | kioto |
| Aufgabe | | [mm] f:\IR^3 [/mm] -> [mm] ,\IR, [/mm] f(x) = [mm] llxll_{max} [/mm] |
wir sollen maxima und minima der funktion angeben, aber ich weiß nicht wie ich mir eine abbildung dadrunter vorstellen soll
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Hallo kioto,
> [mm]f:\IR^3[/mm] -> [mm],\IR,[/mm] f(x) = [mm]llxll_{max}[/mm]
Ich vermute stark, dass damit die Abbildung [mm] f:\IR^3\to\IR, \pmat{x\\y\\z}\mapsto\max\{|x|,|y|,|z|\} [/mm] gemeint ist.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Mo 18.07.2011 | | Autor: | kioto |
hallo kamaleonti,
> Hallo kioto,
> > [mm]f:\IR^3[/mm] -> [mm],\IR,[/mm] f(x) = [mm]llxll_{max}[/mm]
>
> Ich vermute stark, dass damit die Abbildung [mm]f:\IR^3\to\IR, \pmat{x\\y\\z}\mapsto\max\{|x|,|y|,|z|\}[/mm]
> gemeint ist.
also ich hab nur die aufgabe abgeschrieben,
aber wie soll das aussiehen? allein das max iritiert mich schon total, und bei den variablen, kann ich einfach beliebig zahlen einsetzen? also aus dem wertebereich?
danke
>
> LG
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Hallo kioto,
> > Ich vermute stark, dass damit die Abbildung [mm]f:\IR^3\to\IR, \pmat{x\\y\\z}\mapsto\max\{|x|,|y|,|z|\}[/mm]
> > gemeint ist.
> also ich hab nur die aufgabe abgeschrieben,
> aber wie soll das aussiehen? allein das max iritiert mich
> schon total, und bei den variablen, kann ich einfach
> beliebig zahlen einsetzen? also aus dem wertebereich?
Mit dem max wählst du das maximale Element der Menge aus. [mm] \|x\|_{max} [/mm] ist die Maximumsnorm.
Der Definitionsbereich der Funktion ist gemäß Angabe [mm] \IR^3, [/mm] aus diesem kannst du beliebige Punkte einsetzen. Punkte aus dem Wertebereich kannst du hier nicht einsetzen.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mo 18.07.2011 | | Autor: | kioto |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mo 18.07.2011 | | Autor: | kioto |
also das maximale von aber was ist das? dann wär das ja nur eine zahl, also eine gerade? aber das kanns ja auch nicht sein......
bin schon total verzweifelt.......
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> also das maximale von aber was ist das? dann wär das ja
> nur eine zahl, also eine gerade? aber das kanns ja auch
> nicht sein......
>
> bin schon total verzweifelt.......
Nun ja, wenn die Aufgabe nicht wirklich klar gestellt
ist (und das ist sie meiner Ansicht nach tatsächlich
nicht), dann können wir wohl kaum weiterhelfen.
Sollte mit f wirklich die von kamaleonti angegebene
Funktion
$ [mm] f:\IR^3\to\IR, \pmat{x\\y\\z}\mapsto\max\{|x|,|y|,|z|\} [/mm] $
gemeint sein, dann ist unmittelbar klar, dass diese
Funktion im Nullpunkt ihr (absolutes) Minimum
annimmt und kein Maximum hat.
Weil dies doch fast zu einfach wäre, ist wohl zu
vermuten, dass doch eine andere Funktion gemeint
war. Hier beim Matheraum gibt es zwar ein paar
ziemlich taugliche Hellseher, aber ob sie da weiter
helfen können, bezweifle ich.
LG Al-Chw.
P.S.:
1.) das Verzweifeln würde ich unter diesen Umständen
noch hinausschieben ... 
2.) eine gängige Schreibweise für die Maximumsnorm
wäre [mm] ||x||_{\infty} [/mm] , nicht [mm] ||x||_{max}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:13 Di 19.07.2011 | | Autor: | kioto |
> > also das maximale von aber was ist das? dann wär das ja
> > nur eine zahl, also eine gerade? aber das kanns ja auch
> > nicht sein......
> >
> > bin schon total verzweifelt.......
>
>
> Nun ja, wenn die Aufgabe nicht wirklich klar gestellt
> ist (und das ist sie meiner Ansicht nach tatsächlich
> nicht), dann können wir wohl kaum weiterhelfen.
> Sollte mit f wirklich die von kamaleonti angegebene
> Funktion
>
> [mm]f:\IR^3\to\IR, \pmat{x\\y\\z}\mapsto\max\{|x|,|y|,|z|\}[/mm]
>
> gemeint sein, dann ist unmittelbar klar, dass diese
> Funktion im Nullpunkt ihr (absolutes) Minimum
> annimmt und kein Maximum hat.
> Weil dies doch fast zu einfach wäre, ist wohl zu
> vermuten, dass doch eine andere Funktion gemeint
> war. Hier beim Matheraum gibt es zwar ein paar
> ziemlich taugliche Hellseher, aber ob sie da weiter
> helfen können, bezweifle ich.
>
danke trotzdem! aber da versteh ich immer noch nicht, warum ist 0,0 das absolutes minimum? es heißt ja ich kann irgendwelche zahlen einsetzen, warum dann 0?
> LG Al-Chw.
>
>
> P.S.: das Verzweifeln würde ich unter diesen Umständen
> noch hinausschieben ...
das bin ich leider schon.......
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Hallo kioto,
> > > also das maximale von aber was ist das? dann wär das ja
> > > nur eine zahl, also eine gerade? aber das kanns ja auch
> > > nicht sein......
klingt wirr. Eine Zahl ist eine Gerade?
> > [mm]f:\IR^3\to\IR, \pmat{x\\
y\\
z}\mapsto\max\{|x|,|y|,|z|\}[/mm]
> > gemeint sein, dann ist unmittelbar klar, dass diese
> > Funktion im Nullpunkt ihr (absolutes) Minimum
> > annimmt und kein Maximum hat.
>
> danke trotzdem! aber da versteh ich immer noch nicht, warum
> ist 0,0 das absolutes minimum?
f wirft bei (0,0,0) doch den Wert 0 aus, das Maximum der drei Beträge. Da ein Betrag nicht kleiner Null sein kann, sind also alle drei Beträge Null, mithin x=y=z=0.
> es heißt ja ich kann
> irgendwelche zahlen einsetzen, warum dann 0?
Bahnhof?
> > P.S.: das Verzweifeln würde ich unter diesen Umständen
> > noch hinausschieben ...
> das bin ich leider schon.......
Zeit zu schlafen. Schau morgen noch mal drauf. Bis hierhin ist es Mittelstufenmathematik. Auch wenn das vielleicht länger her ist - schwierig ist es nicht.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Di 19.07.2011 | | Autor: | kioto |
> Hallo kioto,
>
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> > > > also das maximale von aber was ist das? dann wär das ja
> > > > nur eine zahl, also eine gerade? aber das kanns ja auch
> > > > nicht sein......
>
> klingt wirr. Eine Zahl ist eine Gerade?
>
> > > [mm]f:\IR^3\to\IR, \pmat{x\\
y\\
z}\mapsto\max\{|x|,|y|,|z|\}[/mm]
>
> > > gemeint sein, dann ist unmittelbar klar, dass diese
> > > Funktion im Nullpunkt ihr (absolutes) Minimum
> > > annimmt und kein Maximum hat.
> >
> > danke trotzdem! aber da versteh ich immer noch nicht, warum
> > ist 0,0 das absolutes minimum?
>
> f wirft bei (0,0,0) doch den Wert 0 aus, das Maximum der
> drei Beträge. Da ein Betrag nicht kleiner Null sein kann,
> sind also alle drei Beträge Null, mithin x=y=z=0.
>
das macht sinn......
was wär also ein globales minimum, ist es auch streng?
für strenges maximum habe ich die definition:
f:[a,b] -> [mm] \IR, x_0 \in [/mm] D
[mm] x_0 [/mm] heißt strenges maximum, wenn a und b f(x) [mm] \le f(x_0) [/mm] durch f(x) < [mm] f(x_0) [/mm] ersetzt werden kann. bei minimum ist es dann bestimmt statt [mm] \le [/mm] dann [mm] \ge.
[/mm]
aber wie wendet man sie hier an?
> > es heißt ja ich kann
> > irgendwelche zahlen einsetzen, warum dann 0?
>
> Bahnhof?
>
> > > P.S.: das Verzweifeln würde ich unter diesen Umständen
> > > noch hinausschieben ...
> > das bin ich leider schon.......
>
> Zeit zu schlafen. Schau morgen noch mal drauf. Bis hierhin
> ist es Mittelstufenmathematik. Auch wenn das vielleicht
> länger her ist - schwierig ist es nicht.
>
> Grüße
> reverend
>
danke
ki
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:22 Di 19.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist denn f(x) für irgendein x ungleich (0,0,0)
Damit kriegst du raus, ob es strikt ist.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Di 19.07.2011 | | Autor: | kioto |
Hallo
> was ist denn f(x) für irgendein x ungleich (0,0,0)
>dann ist f(x) auch ungleich (0,0,0)?
Damit kriegst du raus, ob es strikt ist.
dann ist es nicht streng? also ist es nur ein globales minimum?
> Gruss leduart
danke
ki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Di 19.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
versteh ich nicht. warum ist es nicht strikt? und global ist es sowieso.
Deine Def. von streng oder strikt im anderen post ist was durcheinander. schreib die Def. für Min hin und sage daraus, warum strickt oder warum nicht.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Di 19.07.2011 | | Autor: | kioto |
ich schreib das von unsrem skript ab
given x [mm] \in [/mm] M, f has a (strict) local min at x if there exists epsilon > 0 such that f(x) [mm] \le [/mm] f(y) (f(x) < f(y)) for each y [mm] \in [/mm] {y [mm] \in [/mm] M: d(x,y) < epsilon} \ {x}
also hier f(x)< f(y)
wenn ich irgendwas ungleich 0 für x einsetze, dann ist f(x) auch [mm] \ge [/mm] 0, wegen den betragsstriche, (was ist hier f(y)?) also existiert so ein exsilon?
ich kann mir einfach nicht vorstellen wie das aussieht, deshalb tu ich gerad im nebel herunstochern.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:04 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich schreib das von unsrem skript ab
> given x [mm]\in[/mm] M, f has a (strict) local min at x if there
> exists epsilon > 0 such that f(x) [mm]\le[/mm] f(y) (f(x) < f(y))
> for each y [mm]\in[/mm] [mm] $\{ y \in M: d(x,y) < \epsilon\} \setminus \{x\}$
[/mm]
> also hier f(x)< f(y)
> wenn ich irgendwas ungleich 0 für x einsetze, dann ist
> f(x) auch [mm]\ge[/mm] 0, wegen den betragsstriche, (was ist hier
> f(y)?) also existiert so ein exsilon?
>
> ich kann mir einfach nicht vorstellen wie das aussieht,
> deshalb tu ich gerad im nebel herunstochern.....
naja, die Funktion [mm] $f((x_1,x_2,x_3)):=f(x_1,x_2,x_3):=\|x\|_\text{max}:=\text{max}\{|x_1|,|x_2|,|x_3|\}$ [/mm] als Funktion [mm] $\IR^3 \to \IR$ [/mm] nimmt ein Element des [mm] $\IR^3$ [/mm] her, und schaut, welche Koordinate dieses [mm] $\IR^3$-Vektors [/mm] den größten Betrag hat. D.h. [mm] $f(1,2,3)=3\,,$ $f(-2,-\pi,-12)=12\,$ $f(-5,3*\pi,\sqrt{2})=3\pi\,.$ [/mm] Etc.pp.
Nun ist doch klar, dass $f(x) [mm] \ge [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] gilt [mm] ($f\,$ [/mm] wählt bei Anwendung auf ein $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] aus einer endlichen Menge [mm] ($x\,\in \IR^3$ [/mm] hat ja drei Koordinateneinträge) mit Zahlen [mm] $\ge [/mm] 0$ aus). Und weiter ist doch klar, dass $f(x)=0$ sofort $x=(0,0,0) [mm] \in \IR^3$ [/mm] impliziert:
Ist nämlich [mm] $x=(x_1,x_2,x_3)\not=(0,0,0)\,,$ [/mm] so gibt es (mindestens) einen Index aus [mm] $\{1,2,3\}$ [/mm] mit [mm] $x_i \not=0\,,$ [/mm] so dass [mm] $|x_i| [/mm] > 0$ folgt. Daher ist dann aber auch $f(x) [mm] \ge |x_i| [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
Dass bei Dir in $(0,0,0) [mm] \in \IR^3$ [/mm] ein striktes (sogar globales) Minimum von [mm] $f\,$ [/mm] vorliegt, ist auch klar:
Sei $d: [mm] \IR^3 \times \IR^3 \to \IR_{\ge 0}$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] Für jedes $x [mm] \in \IR^3 \setminus \{(0,0,0)\}$ [/mm] existiert ein $i [mm] \in \{1,2,3\}$ [/mm] mit [mm] $x_i \not=0\,,$ [/mm] so dass
$$f(x) [mm] \ge |x_i| [/mm] > 0=f(0,0,0):=f((0,0,0))$$
sogar für alle $x [mm] \in \IR^3 \setminus \{(0,0,0)\}$ [/mm] gilt.
Man kann also sogar für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ die [mm] $\epsilon$-Umgebung [/mm] um $(0,0,0)$ betrachten und aus dieser die $(0,0,0)$ herausnehmen, und für alle dort verbleibenden [mm] $x\,$ [/mm] gilt dann in der Tat auch $f(x) > [mm] 0\,,$ [/mm] weil halt jeder Nichtnullvektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] eine Nichtnullkomponente hat.
(Laut Definition hätte es gereicht, wenn man zumindest "eine genügend kleine" solche Umgebung hätte finden können. Im [mm] $\IR^3$ [/mm] mit euklidischem Abstand und modelliert durch kartesisches Koordinatensystem wäre die Anschauung so gewesen: Man muss eine offene Kreisscheibe um den Nullpunkt des [mm] $\IR^3$ [/mm] so finden, dass, abgesehen vom Nullpunkt selbst, jeder Funktionswert [mm] $f(x)\,$ [/mm] für [mm] $x\,$ [/mm] aus dieser offenen Kreisscheibe ohne den Nullpunkt des [mm] $\IR^3$ [/mm] dann echt größer als der Funktionswert des Nullpunkts ist. Dann liegt an $(0,0,0)$ ein strenges lokales Minimum vor.)
Und bei Dir ist es sogar ein strenges globales Minimum, weil $f(0,0,0) < f(x)$ für alle $x [mm] \in \IR^3\setminus \{(0,0,0)\}$ [/mm] gilt.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:54 Mi 20.07.2011 | | Autor: | kioto |
vielen dank für die so ausführliche erklärung! das muss ich jetzt nur noch par mal verdauen
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