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Forum "Ganzrationale Funktionen" - Funktion 2. Grades
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Funktion 2. Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 Mi 17.05.2006
Autor: sushi83

Aufgabe
Bestimmen sie die Menge aller ganzrationalen Funtionen 2. Grades mit folgenden Eigenschaften:
a) Nullstellen : x1 = -3; x2 = 4
b) doppelte Nullstelle für x1 = x2 = 2
c) Symetrieachse x = 1 und keine Nullstellen
d) der Graph geht durch die Punkte A ( 0;3) und B (5;0)

Hallo, bitte um Hilfe bei der Aufgabe. Weiss nicht, wie ich eine Funktionsgleichung mit nur 2 angegebenen Punkten erstellen kann??
Danke schon mal!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Funktion 2. Grades: Kurvenscharen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 Mi 17.05.2006
Autor: Loddar

Hallo sushi83!


Bei diesen Aufgaben gibt es nicht nur eine eindeutige Lösung. Es wird in der Funktionsvorschrift immer eine Unbekannte verbleiben: der sogenannte Parameter.


Beispiel zur 1. Aufgabe:

Die allgemeine Form einer Funktion 2. Grades lautet in der Linearfaktor-Darstellung:

[mm] $f_a(x) [/mm] \ = \ [mm] a*\left(x-x_1\right)*\left(x-x_2\right) [/mm] \ = \ a*[x-(-3)]*(x-4) \ = \ a*(x+3)*(x-4) \ = \ [mm] a*\left(x^2-x-12\right) [/mm] \ = \ [mm] a*x^2-a*x-12a$ [/mm]

Damit hast Du nun alle möglichen Funktionen mit den vorgegebenen Nullstellen, egal welchen Wert Du nun für $a_$ einsetzt.

In Abhängigkeit von diesem Wert $a_$ wird die Parabel nun gestreckt oder gestaucht oder auch umgedreht (an der x-Achse gespiegelt). Aber Einfluss auf die Nullstellen hat das nicht mehr ...


Willst Du es nun mal mit den anderen versuchen?


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Funktion 2. Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:29 Mi 17.05.2006
Autor: sushi83

Hallo Loddar, danke Dir für die schnelle Antwort.
So hab nun die b) versucht
mein Ergebnis:
f(x) = ax² + 4ax +4
ist das so richtig?

Bezug
                
Bezug
Funktion 2. Grades: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Mi 17.05.2006
Autor: sushi83

oh sorry, vertippt
f(x) = ax² + 4ax + 4a


Bezug
                
Bezug
Funktion 2. Grades: Vorzeichenfehler!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 Mi 17.05.2006
Autor: Loddar

Hallo sushi!


Sieh Dir nochmal die einzelnen Vorzeichen an.

Ist denn bei Deiner angegebenen Lösung auch wirklich [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] x_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{+}2$ [/mm] die Nullstelle?


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Funktion 2. Grades: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:44 Mi 17.05.2006
Autor: sushi83

Lösung:
ax² - 4ax + 4a
jetzt aber oder?
Wie kann ich denn die c) lösen?


Bezug
                
Bezug
Funktion 2. Grades: Ansatz zu Aufgabe c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:00 Mi 17.05.2006
Autor: Loddar

Hallo sushi!


> Lösung:
>  ax² - 4ax + 4a

[ok] So stimmt's ...


> Wie kann ich denn die c) lösen?

Welcher spezieller Punkt einer Parabel liegt denn auf der Symmetrieachse. Den entsprechenden x-Wert habe wir also gegeben.

Verwende hier die Form (wie heißt diese?) :

$y \ = \ [mm] a*\left(x-x_S\right)^2+y_S$ [/mm]


Für die Info "keine Nullstellen" müssen wir nun eine Fallunterscheidung machen für eine nach oben geöffnete oder nach unten geöffnete Parabel; also: $a \ > \ 0$ oder $a \ < \ 0$ .

Was heißt das dann jeweils für [mm] $y_S$ [/mm] ?


Gruß
Loddar


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