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| Aufgabe | Wie erstelle Ich eine ganzrationale Funktion 3. Grades wenn ich 4 Punkte gegeben habe? Bzw. ist das überhaupt möglich?
Hier die 4 Punkte:
P1: (0/54,50)
P2: (6/54,25)
P3: (9/56,70)
P4: (11/56,5) |
Wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet! :)
Gruß Yannick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie erstelle Ich eine ganzrationale Funktion 3. Grades wenn
> ich 4 Punkte gegeben habe?
das ist immer schlecht formuliert. Die gegebenen Punkte gehören zum Graphen von [mm] $f\,,$ [/mm] also sind Elemente von [mm] $\text{graph}(f):=\{(x,f(x)): x \in D_f\}\,,$ [/mm] wobei [mm] $D_f$ [/mm] der Definitionsbereich von [mm] $f\,$ [/mm] sei - bei Dir also [mm] $D_f=\IR\,.$
[/mm]
(Ich gehe davon aus, dass ihr denn Begriff "Funktion [mm] $f\,$" [/mm] nicht als zweistellige Relation definiert habt. Deswegen finde ich die Aufgabenformulierung oben ein wenig "unschön".)
> Bzw. ist das überhaupt
> möglich?
Es gibt auch Fälle, wo das nicht geht. (Ich könnte ja etwa fordern, dass diese Funktion dritten Grades punktsymmetrisch zum Urspung ist, und dann dummerweise forden, dass [mm] $f(1)=20\,$ [/mm] und [mm] $f(-1)=-21\,$ [/mm] sein soll...)
Aber:
Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat die Form
[mm] $$f(x):=ax^3+bx^2+cx+d$$
[/mm]
mit den vier zu bestimmenden Unbekannten [mm] $a,b,c,d\,,$ [/mm] und ist auf [mm] $\IR$ [/mm] definiert!
Wenn Du vier Punkte des Graphen kennst, gelangst Du zu einem (linearen) Gleichungssystem: Vier Gleichungen mit vier Unbekannten. Das kann man auf (eindeutige) Lösbarkeit untersuchen - notfalls mit dem Gauß-Algorithmus. (Oder Einsetzverfahren: Löse eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und setze dieses Ergebnis in ALLE ANDEREN Gleichungen ein. Danach machst Du das mit dem um diese eine Gleichung reduzierte Gleichungssystem so weiter - so grob erklärt. Genauer kann man es an einem Beispiel verdeutlichen.)
(Mit universitärem Wissen findet man übrigens leicht ein Argument, wann ein Polynom vom Grad [mm] $n\,$ [/mm] durch Angabe von [mm] $m\,$ [/mm] Punkten des Graphen (eindeutig) bestimmt bzw. ob es überhaupt bestimmtbar ist. Aber das brauchst Du für diese kleine Aufgabe nicht wirklich...)
> Hier die 4 Punkte:
>
> P1: (0/54,50)
Daraus folgt
[mm] $$f(0)=54,50=a*0^3+b*0^2+c*0+d\,,$$
[/mm]
woraus Du direkt [mm] $d=54,50\,$ [/mm] ablesen kannst. (Ist Dir das klar bzw. siehst Du das?). Ab hier weist Du also schon, dass [mm] $f\,$ [/mm] die Form [mm] $f(x)=ax^3+bx^2+cx+54,50\,$ [/mm] hat.
> P2: (6/54,25)
Daraus folgt [mm] $f(6)=54,25\,.$ [/mm] Also erhältst Du durch's Einsetzen nun welche Gleichung?
> P3: (9/56,70)
Das bedeutet [mm] $f(9)=56,70\,.$ [/mm] Wie sieht nun die zweite Gleichung aus?
> P4: (11/56,5)
Das bedeutet [mm] $f(11)=56,5\,.$ [/mm] Wie sieht die dritte Gleichung aus?
> Wäre euch sehr dankbar wenn ihr mir helfen könntet! :)
Wenn Du das oben verstanden hast, wirst Du, nachdem Du [mm] $d=54,5\,$ [/mm] erkannt hast, dann sehen, dass Du nun nur noch ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen in den drei Variablen [mm] $a,b,c\,$ [/mm] zu lösen hast.
Gruß,
Marcel
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Okay ich hab jetzt die 3 Gleichungen aufgestellt:
1. 54,25=216a+30b+6c+54,5
2. 56,70=729a+81b+9c+54,5
3. 56,50=1331a+121b+11c+54,5
Stimmen die soweit?
Und was muss ich jetzt machen?
LG Yannick
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Hallo, in Gleichung (1) ist dir ein kleiner Fehler unterlaufen, es lautet 36b,
jetzt kannst du Gleichung (1) nach [mm] c=-36a-6b-\bruch{1}{24} [/mm] umstellen, dann c =...... in (2) und (3) einsetzen
(2) [mm] 56,7=729a+81b+9*(-36a-6b-\bruch{1}{24})+54,5
[/mm]
(3) [mm] 56,5=1331a+121b+11*(-36a-6b-\bruch{1}{24})+54,5
[/mm]
jetzt hast du nur noch ein Gleichungssystem mit zwei Unbekannten, a und b,
Steffi
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Ah okay danke schonmal aber wenn ich jetzt bei 2) und 3) die Variable b
ausrechne kommen 2 unterschiedliche Ergebnisse raus.
bei 2) kommt bei mir dann raus:
b = [mm] -15a+\bruch{2,58}{27}
[/mm]
und bei 3) kommt raus:
b = [mm] -17a+\bruch{59}{1320}
[/mm]
das kann dann ja nicht stimmen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 10.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ah okay danke schonmal aber wenn ich jetzt bei 2) und 3)
> die Variable b
> ausrechne kommen 2 unterschiedliche Ergebnisse raus.
> bei 2) kommt bei mir dann raus:
> b = [mm]-15a+\bruch{2,58}{27}[/mm]
>
> und bei 3) kommt raus:
> b = [mm]-17a+\bruch{59}{1320}[/mm]
ohne, dass ich diese Gleichungen nochmal kontrolliert habe (das kann gerne jemand anderes machen):
Damit kannst Du doch weiterarbeiten!
> das kann dann ja nicht stimmen oder?
Warum denn nicht? Gleichsetzen könnte weiterhelfen, um [mm] $a\,$ [/mm] zu berechnen!
(Bsp.: Wenn ich [mm] $y=10x\,$ [/mm] und [mm] $y=2x+16\,$ [/mm] weiß, dann weiß ich, dass [mm] $10x=2x+16\,$ [/mm] gelten muss, woraus [mm] $x=2\,$ [/mm] folgt. Aus etwa [mm] $y=10x\,$ [/mm] erkenne ich dann auch, dass dann [mm] $y=20\,$ [/mm] gelten muss.)
Gruß,
Marcel
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Hallo, fast, bestimmt hast du gerundet, die nach -b umgestellten Gleichungen ergeben
[mm] -15a+\bruch{2,575}{27}=-17a+\bruch{59}{1320}
[/mm]
es kommen aber für a, b, c "ungewöhnliche" Brüche raus, kontrolliere mal bitte deine gegebenen Punkte
Steffi
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