Funktion ableiten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:22 Di 31.03.2015 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Leiten Sie die Funktion f(t), gegeben durch
f(t) = [mm] sin^{2} [/mm] (wt) + [mm] cos^{2} [/mm] (wt) + [mm] t^{2}
[/mm]
mit w = [0 ; 2 [mm] \pi], [/mm] zeitlich ab.
Hinweis: Gesucht ist [mm] \bruch{\partial f(t)}{\partial f} [/mm] = f´(t) |
Hallo,
ich habe ein paar kleine Verständnisfragen und hoffe, dass ihr mir da behilflich sein könnt.
Ich habe die Funktion zunächst mit Hilfe der Kettenregel versucht einmal abzuleiten:
f´(t) = 2 * cos (wt) * w - 2 * sin (wt) * w + 2 t
Mein Lehrer meinte daraufhin, dass dies so nicht richtig sei und es so lauten müsste:
f´(t) = 2 * sin (wt) * cos (wt) * w + 2 * cos(wt) * (-sin(wt)) * w + 2 t
Dies verwirrt mich nun und ich finde selber hierzu keine Erklärung!
Ich habe darauf hin für w = 0 eingesetzt und so dann f´(t) = 2t erhalten.
Ich bin mir nun unsicher, ob ich noch w = 2 [mm] \pi [/mm] einsetzten muss, da in der Lösung nur f´(t) = 2t steht
Ich hoffe, dass Ihr mir hier helfen könnt!?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Di 31.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Leiten Sie die Funktion f(t), gegeben durch
>
> f(t) = [mm]sin^{2}[/mm] (wt) + [mm]cos^{2}[/mm] (wt) + [mm]t^{2}[/mm]
>
> mit w = [0 ; 2 [mm]\pi],[/mm] zeitlich ab.
>
> Hinweis: Gesucht ist [mm]\bruch{\partial f(t)}{\partial f}[/mm] =
> f´(t)
Du meinst [mm] $df(t)/d\red{t}$, [/mm] meinetwegen hier auch [mm] $\partial f(t)/\partial [/mm] t$ - kennt Ihr
denn überhaupt schon partielle Ableitungen? Und [mm] $w=[0;2\pi]$ [/mm] ist Quatsch, Du meinst
sicher [mm] $w=2\pi\,,$ [/mm] oder sogar noch eher [mm] $\omega=2\pi\,.$ [/mm] Im Folgenden schreibe ich
dennoch eher [mm] $w\,,$ [/mm] also [mm] $w:=\omega\,.$
[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe ein paar kleine Verständnisfragen und hoffe, dass
> ihr mir da behilflich sein könnt.
>
> Ich habe die Funktion zunächst mit Hilfe der Kettenregel
> versucht einmal abzuleiten:
>
> f´(t) = 2 * sin (wt) * w + 2 * cos (wt) * w + 2 t
>
> Mein Lehrer meinte daraufhin, dass dies so nicht richtig
> sei und es so lauten müsste:
>
> f´(t) = 2 * sin (wt) * cos (wt) * w + 2 * cos(wt) *
> (-sin(wt)) * w + 2 t
>
> Dies verwirrt mich nun und ich finde selber hierzu keine
> Erklärung!
Betrachten wir (weil das eigentlich zum Verständnis reichen sollte) mal
[mm] $g(t):=\sin^2(wt)\,.$
[/mm]
Setze [mm] $u(v):=v^2\,$ $v(x)=\sin(x)$ [/mm] und [mm] $x(t):=wt\,.$ [/mm] Dann ist
$(u [mm] \circ [/mm] (v [mm] \circ [/mm] x))(t)=((v [mm] \circ x)(t))^2=(\sin(x(t)))^2=(\sin(wt))^2=\sin^2(wt)=g(t)\,.$
[/mm]
Also ist nach der Kettenregel (2 Mal anwenden!)
$g'(t)=u'((v [mm] \circ [/mm] x)(t))*(v [mm] \circ x)'(t)=u'(v(x(t)))*v'(x(t))*x'(t)\,.$
[/mm]
Nun ist [mm] $u'(v)=2v\,,$ [/mm] also
[mm] $u'(v(x(t)))=2v(x(t))=2\sin(x(t))=2\sin(wt)$,
[/mm]
weiter [mm] $v'(x)=\cos(x)\,,$ [/mm] also
[mm] $v'(x(t))=\cos(x(t))=\cos(w*t)\,,$
[/mm]
und [mm] $x'(t)=w\,.$ [/mm] Einsetzen, und Du siehst
[mm] $g'(t)=2\sin(w*t)*\cos(w*t)*w\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
>
> Ich habe darauf hin für w = 0 eingesetzt und so dann
> f´(t) = 2t erhalten.
>
> Ich bin mir nun unsicher, ob ich noch w = 2 [mm]\pi[/mm] einsetzten
> muss, da in der Lösung nur f´(t) = 2t steht
>
> Ich hoffe, dass Ihr mir hier helfen könnt!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Di 31.03.2015 | | Autor: | Dom_89 |
Danke für die schnelle Antwort!
Leider kann ich dieses aus irgendeinem Grund nicht lesen ( Zahlen/Buchstaben) werden als solche nicht dargestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:49 Di 31.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Leider kann ich dieses aus irgendeinem Grund nicht lesen (
> Zahlen/Buchstaben) werden als solche nicht dargestellt
ja, ich mach's mal gerade in Kurzfassung ohne Formeleditor:
Betrachte erstmal
g(t)=u(v(x(t)))
mit u(v)=v², v(x)=sin(x) und x(t)=wt. Dann gilt
g(t)=u(v(x(t)))=sin²(w*t)
und zweifache Anwendung der Kettenregel liefert
g'(t)=u'(v(x(t)))*v(x(t))*x'(t).
Schreib' das mal ausführlicher auf, ich gucke mal gerade, wie ich das Formel-
Darstellungsproblem anders lösen kann.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:46 Di 31.03.2015 | | Autor: | Marcel |
P.S. Sind bei Euch auch die Formeln momentan quasi unlesbar? Falls ja, sollte
ggf. jemand mal den Webmaster informieren (bzw. falls noch nicht geschehen,
werde ich das gerne nachholen).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:03 Di 31.03.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen!
Auch bei mir sind die Formel-Bilder leider nicht da. Bei einem anderen Thread hatte ich eben das gleiche Problem; dort waren die Bilder aber nach einigen Minuten sichtbar.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Di 31.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
hier nochmal die Antwort als Bild - leichtgrau sind Deine Fragen. Im Anhang
das pdf-Dokument.
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Antwort.pdf
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Do 02.04.2015 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank für die Antwort,
mir ist nun aber nicht klar, wieso die Lösung 2t ist , wenn ich für w = 2pi einsetzte :(
Ich sehe auch keine Möglichkeit zu kürzen. Kannst du mir das noch erläutern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Do 02.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die Antwort,
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> mir ist nun aber nicht klar, wieso die Lösung 2t ist ,
> wenn ich für w = 2pi einsetzte :(
>
> Ich sehe auch keine Möglichkeit zu kürzen. Kannst du mir
> das noch erläutern?
na, Du hattest doch
[mm] $f\,'(t) [/mm] = 2 * [mm] \sin [/mm] (wt) * [mm] \cos [/mm] (wt) * w + 2 * [mm] \cos(wt) [/mm] * [mm] (-\sin(wt)) [/mm] * w + 2 t$
Und dort ist nun
[mm] $2\sin(wt)*\cos(wt)*w+2*\cos(wt)*(-\sin(wt))*w=\{\sin(wt)\cos(wt)-\sin(wt)\cos(wt)\}*2w=0*2w=0\,.$
[/mm]
Daher ist
[mm] $f\,'(t)=2t\,,$
[/mm]
sogar unabhängig davon, wie auch immer [mm] $w\,$ [/mm] gewählt wird.
P.S. Wenn Du mal bei [mm] $f(t)=\sin^2(wt)+\cos^2(wt)+t^2$ [/mm] an den ![[]](/images/popup.gif) trigonometrischen
Pythagoras denkst, wird das Ganze wegen [mm] $\tfrac{d}{dt}1=0$ [/mm] auch wenig(er) verwunderlich...
Gruß,
Marcel
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