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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | | Schreiben Sie f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] mit Hilfe der geometrischen Reihe als Potenzreihe. |
Hi,
Also ich weiss bei der Aufgabe gerade nicht genau was ich machen soll:
Geometrische Reihe ist ja ne klare Sache: [mm] s_n=\sum_{k=0}^{n}a_0 q^k [/mm]
Soll ich die geometrische Reihe nun so "bauen", dass gilt: f(x) = [mm] s_n=\sum_{k=0}^{n}a_0 q^k [/mm]
Wäre dann das erste Element [mm] a_0 [/mm] = [mm] \bruch{1}{1+0^2} [/mm] = 1 oder wie muss ich das dann machen?
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Hallo,
es gilt doch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} q^n [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q} [/mm] für |q|<1. Das sieht doch schon fast so aus wie [mm] f(x)=\frac{1}{1+x^2}.
[/mm]
Überlege dir jetzt wie du dein q bauen musst und welche Voraussetzungen du evtl. an das x stellen musst.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hi!
> es gilt doch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^n[/mm] = [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] für
> |q|<1. Das sieht doch schon fast so aus wie
> [mm]f(x)=\frac{1}{1+x^2}.[/mm]
Woher nimmst du diese Erkenntnis?
Bei Wikipedia finde ich zwar diese "Rechnung": [mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] = [mm] \frac{a_0}{1-q} [/mm]
aber was das gerade mit meinem Problem zu tun hat ist mir Unklar. Ich weiß leider immer noch nicht so wirklich was die Aufgabe überhaupt von mir verlangt.
Für q müsste doch gelten: [mm] q=-(x^2) [/mm]
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> Hi!
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> > es gilt doch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^n[/mm] = [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] für
> > |q|<1. Das sieht doch schon fast so aus wie
> > [mm]f(x)=\frac{1}{1+x^2}.[/mm]
> Woher nimmst du diese Erkenntnis?
Hallo,
erstens kann man diese Erkenntnis durch Draufgucken gewinnen, wenn man fleißig studiert hat und die geometrische Reihe kennt...
Hier allerdings ist es fast eine Kunst, es nicht zu sehen, denn die Formulierung der Aufgabenstellung zwingt einen ja geradezu zu der Erkenntnis, daß die geometrische Reihe im Spiel ist.
> Bei Wikipedia finde ich zwar diese "Rechnung":
> [mm]\sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k[/mm] = [mm]\lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k[/mm]
> = [mm]\lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm] =
> [mm]\frac{a_0}{1-q}[/mm]
> aber was das gerade mit meinem Problem zu tun hat
Insofern nicht viel, als daß Dir die geometrische Reihe mit ihrem Grenzwert bereits bekannt sein dürfte.
Da oben wird der Grenzwert berechnet.
> ist mir
> Unklar. Ich weiß leider immer noch nicht so wirklich was
> die Aufgabe überhaupt von mir verlangt.
f(x) = $ [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] $ als Potenzreihe zu schreiben.
Der Tip, daß Du die geometrische Reihe nehmen sollst, erspart Dir Denk- und Rechenarbeit: andernfalls würde man vielleicht beginnen, fleißig abzuleiten. (Taylor)
>
> Für q müsste doch gelten: [mm]q=-(x^2)[/mm]
Ja, das würde ich auch so sehen. Nun könntest Du Dir noch überlegen, ob f(x) für jedes x gleich dieser Potenzreihe ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Das ich die geometrische Reihe benutzen soll ist klar - steht ja in der Aufgabe. Auch dass da oben der Grenzwert berechnet wird konnte ich Wikipedia entnehmen.
Nur war für mich die Frage: Wenn ich eine Funktion f(x) mit einer Potenzreihe beschreiben will, warum ich mir dann den Grenzwert der Potenzreihe anschaue und diesen dann so baue, dass er gleich der Funktion ist. Aber wenn man das so aufschreibt macht es wieder irgendwie doch schon Sinn es zu tun. War mir vorher nur nicht klar.
> Ja, das würde ich auch so sehen. Nun könntest Du Dir noch
> überlegen, ob f(x) für jedes x gleich dieser Potenzreihe
> ist.
Ich sortiere mal kurz für mich:
Es soll gelten: f(x) = $ [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] $ = $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} q^n [/mm] $ = $ [mm] \frac{1}{1-q} [/mm] $ mit [mm] q=-(x^2)
[/mm]
Als problematisch sehe ich hier gerade den fall x=0, denn dann ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty} q^n =0\not=f(0)=1 [/mm] mit [mm] q=-(x^2) [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Sa 23.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Das ich die geometrische Reihe benutzen soll ist klar -
> steht ja in der Aufgabe. Auch dass da oben der Grenzwert
> berechnet wird konnte ich Wikipedia entnehmen.
> Nur war für mich die Frage: Wenn ich eine Funktion f(x)
> mit einer Potenzreihe beschreiben will, warum ich mir dann
> den Grenzwert der Potenzreihe anschaue und diesen dann so
> baue, dass er gleich der Funktion ist. Aber wenn man das so
> aufschreibt macht es wieder irgendwie doch schon Sinn es zu
> tun. War mir vorher nur nicht klar.
>
> > Ja, das würde ich auch so sehen. Nun könntest Du Dir noch
> > überlegen, ob f(x) für jedes x gleich dieser Potenzreihe
> > ist.
>
> Ich sortiere mal kurz für mich:
> Es soll gelten: f(x) = [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^n[/mm] = [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] mit [mm]q=-(x^2)[/mm]
> Als problematisch sehe ich hier gerade den fall x=0, denn
> dann ist [mm]\summe_{n=1}^{\infty} q^n =0\not=f(0)=1[/mm] mit
> [mm]q=-(x^2)[/mm]
Hallo,
müsste dein Laufindex nicht bei 0 beginnen? Du startest mit n=1.
Gruß Abakus
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Sa 23.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit x=0 hast du nur probleme, weil deine Reihe falsch anfaengt, der Summationsindex faengt bei 0 a, d.h. der erste summand ist immer 1. In dem Sinne ist auch [mm] 0^0=1
[/mm]
aber was ist mit [mm] x\ge [/mm] 1?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hm nehme ich mal das Beispiel x = 1:
f(1) = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] mit q = [mm] -(1^2)
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} q^n [/mm] = [mm] (-(1^2))^1 [/mm] + [mm] (-(1^2))^2 [/mm] + [mm] (-(1^2))^3 [/mm] ... = 0
Da für ungerade n -1 und für gerade n +1 gilt oder was meint ihr da nun? Ich habe das Gefühl gerade etwas auf dem Schlauch zu stehen :o
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Sa 23.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Hm nehme ich mal das Beispiel x = 1:
> f(1) = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] mit q = [mm]-(1^2)[/mm]
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} q^n[/mm] = [mm](-(1^2))^1[/mm] + [mm](-(1^2))^2[/mm] +
> [mm](-(1^2))^3[/mm] ... = 0
> Da für ungerade n -1 und für gerade n +1 gilt oder was
> meint ihr da nun? Ich habe das Gefühl gerade etwas auf dem
> Schlauch zu stehen :o
Hallo,
die geometrische Reihe konvergiert nur dann, wenn |q|<1 gilt.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Hmm okay... ich sortiere mal für mich:
Also es ist die Funktion f(x) als Potenzreihe zu schreiben. Dazu soll man die geometrische Reihe nutzen (vorgegeben). Die geometrische Reihe sieht so aus: [mm] s_n= [/mm] $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} q^n [/mm] $. Sie konvergiert (wenn |q| < 1 gitl) gegen [mm] \bruch{1}{1-q}. [/mm] Soweit klar bzw. auch unter z.B. ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia mit Herleitung zu finden.
Die geometrische Reihe soll ja nun meine Funktion f(x) "darstellen". Darum musst die geometrische Reihe für ein x jeweils gegen f(x) konvergieren. Mathematisch also so:
f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
Damit das gilt wird q = [mm] -(x^2) [/mm] gewählt. Da die geometrische Reihe aber nur für |q| < 1 konvergiert ist f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] nur für |x| < 1 wahr. Für alle anderen x gilt diese "Annäherung"(oder was ist das?) nicht.
1. Ist die Erklärung so richtig?
2. Was bringt mir das in diesem Beispiel? Sinus,Cosinus oder auch die Exponentialfunktion als Potzenreihe zu schreiben finde ich sinnvoll, da man sie dadurch mehr oder weniger exakt berechnen kann aber was soll das hier? Mein einzige Idee wäre, dass man über diese Reihe vielleicht auf eine Potzenreihe für arctan() kommt, denn f(x) sieht schwer nach der Ableitung von arctan aus.
3. Wie gehe ich denn vor,wenn mir die Denkarbeit die geometrische Reihe zu verwenden nicht erspart wird? Woher weiß ich dann welchen "Potenzreihentyp" ich als Ansatz nehmen soll? Oder muss ich dann immer über Taylor gehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Sa 23.05.2009 | | Autor: | abakus |
> Hmm okay... ich sortiere mal für mich:
> Also es ist die Funktion f(x) als Potenzreihe zu
> schreiben. Dazu soll man die geometrische Reihe nutzen
> (vorgegeben). Die geometrische Reihe sieht so aus: [mm]s_n=[/mm]
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} q^n [/mm]. Sie konvergiert (wenn |q| < 1
> gitl) gegen [mm]\bruch{1}{1-q}.[/mm] Soweit klar bzw. auch unter
> z.B.
> Wikipedia
> mit Herleitung zu finden.
> Die geometrische Reihe soll ja nun meine Funktion f(x)
> "darstellen". Darum musst die geometrische Reihe für ein x
> jeweils gegen f(x) konvergieren. Mathematisch also so:
> f(x) = [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> Damit das gilt wird q = [mm]-(x^2)[/mm] gewählt. Da die
> geometrische Reihe aber nur für |q| < 1 konvergiert ist
> f(x) = [mm]\bruch{1}{1+x^2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm] nur für |x| < 1
> wahr. Für alle anderen x gilt diese "Annäherung"(oder was
> ist das?) nicht.
Hallo,
mit einem Trick dürfte es weitergehen:
[mm] \bruch{1}{1+x^2}=\bruch{1}{x^2}*\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}+1}
[/mm]
Den Faktor [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] behältst du einfach vor allem anderen als ausgeklammerten Faktor, und [mm] -\bruch{1}{x^2} [/mm] ist dein neues q.
Gruß Abakus
>
> 1. Ist die Erklärung so richtig?
> 2. Was bringt mir das in diesem Beispiel? Sinus,Cosinus
> oder auch die Exponentialfunktion als Potzenreihe zu
> schreiben finde ich sinnvoll, da man sie dadurch mehr oder
> weniger exakt berechnen kann aber was soll das hier? Mein
> einzige Idee wäre, dass man über diese Reihe vielleicht auf
> eine Potzenreihe für arctan() kommt, denn f(x) sieht schwer
> nach der Ableitung von arctan aus.
> 3. Wie gehe ich denn vor,wenn mir die Denkarbeit die
> geometrische Reihe zu verwenden nicht erspart wird? Woher
> weiß ich dann welchen "Potenzreihentyp" ich als Ansatz
> nehmen soll? Oder muss ich dann immer über Taylor gehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 23.05.2009 | | Autor: | Pille456 |
Also so:
[mm] \bruch{1}{1+x^2}=\bruch{1}{x^2}\cdot{}\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^2}*\bruch{1}{1-q} [/mm] mit q = [mm] \bruch{-1}{x^2} \Rightarrow \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}}*\bruch{1}{x^2} [/mm] ist meine Potenzreihe, die dann für alle x>1 konvergiert, da |q| = [mm] |-\bruch{1}{x^2}| [/mm] < 1
Aber was ist nun für den Fall x [mm] \le [/mm] 1? Soll man für den Fall die andere Schreibweise(jedenfalls für x<1) nutzen oder wie?
Mich würde mal interessieren wie man so eine Umformung "sieht", aber ich denke, dass kommt einfach mit der Zeit wenn man sich damit beschäftigt oder?
Was ist sonst zu meiner Erklärung aus dem vorherigen Post zu sagen? Soweit korrekt?
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Hallo Pille456,
> Also so:
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> [mm]\bruch{1}{1+x^2}=\bruch{1}{x^2}\cdot{}\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}+1}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{x^2}*\bruch{1}{1-q}[/mm] mit q = [mm]\bruch{-1}{x^2} \Rightarrow \bruch{1}{1+\bruch{1}{x^2}}*\bruch{1}{x^2}[/mm]
> ist meine Potenzreihe, die dann für alle x>1 konvergiert,
> da |q| = [mm]|-\bruch{1}{x^2}|[/mm] < 1
> Aber was ist nun für den Fall x [mm]\le[/mm] 1? Soll man für den
> Fall die andere Schreibweise(jedenfalls für x<1) nutzen
> oder wie?
Nun, für den Fall [mm]\vmat{x}<1[/mm] gilt dann folgende Umformumng:
[mm]\bruch{1}{1+x^{2}}=\bruch{1}{1-\left(-x^{2}\right)}[/mm]
Den Fall [mm]\vmat{x}=1[/mm] mußt Du dann mit Hilfe einer der Reihen auf Konvergenz untersuchen.
> Mich würde mal interessieren wie man so eine Umformung
> "sieht", aber ich denke, dass kommt einfach mit der Zeit
> wenn man sich damit beschäftigt oder?
>
> Was ist sonst zu meiner Erklärung aus dem vorherigen Post
> zu sagen? Soweit korrekt?
Ja, alles ok.
Gruß
MathePower
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