Funktion des Erwartungswertes < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien X und Y quadrat-integrierbare Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitesraum [mm] (\Omega,P).
[/mm]
Man bestimme das Minimum der Funtion:
(a) f(a) = [mm] E(X-a)^{2} [/mm] , a [mm] \in \IR
[/mm]
(b) f(a,b) = [mm] E(X-bY-a)^{2} [/mm] , a,b [mm] \in \IR. [/mm] |
Ok, kann mir da jemand helfen, wie geh ich da dran?
Danke, Mattemonster
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Zu a): Wie würdest du vorgehen, wenn es sich um normale (d.h. deterministische) Funktionen handelte? Du würdest versuchen, die Ableitung von f nach a zu bestimmen, oder? Genau das solltest du auch hier tun.
[mm]f(a) = E(X-a)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} (X - a)^2 \, dP [/mm]
also
[mm]\begin{matrix}
f'(a) &=& \int_{-\infty}^{\infty} -2(X - a) \, dP \\
\ &=& \int_{-\infty}^{\infty} (-2X + 2a) \, dP \\
\ &=& -2 \int_{-\infty}^{\infty} X \, dP + 2a \int_{-\infty}^{\infty} \, dP \\
\ &=& -2 E(X) + 2a \\
\ &=& -2 (E(X) - a)
\end{matrix}
[/mm]
Kurvendiskussion kannst du selbst fortführen...
b) dann analog
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Di 02.12.2008 | | Autor: | luis52 |
a) Betrachte [mm] (X-a)^2=(X-\operatorname{E}[X]+\operatorname{E}[X]-a)^2, [/mm] fasse geeignet zusammen und bilde den Erwartungswert.
b) Das optimale a folgt aus a) Fuer b siehe
@BOOK{bido,
title = {Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics},
publisher = {Holden-Day Inc.},
year = {1977},
author = {P.J. Bickel and K.A. Doksum},
address = {San Francisco}
}
Seite 40-41 (dort wird auch a) geloest)
vg Luis
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OK, dass ist die Elementarvariante, falls man noch nicht genug Maßtheorie gemacht hat, um zu wissen, dass man die Reihenfolge von Integration und Differentiation vertauschen darf ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
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Ok, vielen Dank! Aber das Buch habe ich halt nicht...oder gibs irgendwo im netz ne leseprobe oder so was?
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Zur b)
Wenn man den Gradienten bestimmt und gleich Null setzt, erhält man das folgende Gleichungssystem:
[mm]\begin{matrix}
a &+& b E(Y) &=& E(X) \\
a E(Y) &+& b E(Y^2) &=& E(XY)
\end{matrix}[/mm]
Das wäre jetzt nach a und b aufzulösen und vielleicht kann man dabei ein paar der Terme zusammenfassen (siehe Formeln für Varianz und Kovarianz...).
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