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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:05 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | Diskutieren sie die Funktion [mm] \bruch{8x}{x^2+1}
[/mm]
ges.: Definitionsmenge, Symetrie, Asymptoten, Wendepunkte, Wendetangenten, Extrema, Nullstellen |
ich hab erst mal abgeleitet :
f': [mm] \bruch{8}{x^2+1} [/mm] - [mm] \bruch{16x^2}{(x^2+1)^2}
[/mm]
f'': [mm] \bruch{64x^3}{(x^2+1)^3} [/mm] - [mm] \bruch{48x}{(x^2+1)^2} [/mm]
als definitionsmenge hab ich {-1}
Nullstelle habe ich bei(0/0)
als Extrema ergeben sich x= ± 1 jedoch hab ich ja -1 ausgeschlossen => (1/4) und das ist ein hochpunkt
als wendepunkte hab ich [mm] (\wurzel{3}/3,46) [/mm] und [mm] (-\wurzel{3}/6,93)
[/mm]
kann das soweit mal stimmen bzw. stimmen mal die ableitungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:24 Sa 09.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Diskutieren sie die Funktion [mm]\bruch{8x}{x^2+1}[/mm]
> ges.: Definitionsmenge, Symetrie, Asymptoten, Wendepunkte,
> Wendetangenten, Extrema, Nullstellen
> ich hab erst mal abgeleitet :
>
> f': [mm]\bruch{8}{x^2+1}[/mm] - [mm]\bruch{16x^2}{(x^2+1)^2}[/mm]
Diese Ableitung ist korrekt, ich würde die aber ohne Trennung stehenlassen, also:
[mm] f'(x)=\bruch{8(x^{2}+1)-2x*8x}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{8-8x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
Das erleichtert dir die Suche nach Extrem- und Wendestellen ungemein, denn du musst dann nur die Zähler Nullsetzen, dann ist ein Bruch ja schon Null.
>
> f'': [mm]\bruch{64x^3}{(x^2+1)^3}[/mm] - [mm]\bruch{48x}{(x^2+1)^2}[/mm]
Diese leider dann nicht mehr. Woher hast du den ersten Summand?
Wenn ich von [mm] f'(x)=\bruch{8-8x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}} [/mm] ausgehe, erhalte ich:
[mm] f''(x)=\bruch{-16x(x^{2}+1)^{2}-(8-8x^{2})(2(x^{2}+1)*2)}{(x^{2}+1)^{4}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-16x(x^{2}+1)-(8-16x^{2})(2*2)}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-16x^{3}-16x-(32-64x^{2})}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-16x^{3}-16x-32+64x^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-16(x^{3}-4x^{2}+x+2)}{(x^{2}+1)^{3}}
[/mm]
>
> als definitionsmenge hab ich {-1}
Fallst du [mm] \IR/\{-1\} [/mm] meinst, ist das falsch. Du musst Ausschliessen, dass der Nenner Null wird, also [mm] x^{2}+1\ne0, [/mm] berechne daraus mal die Def-Lücke neu.
> Nullstelle habe ich bei(0/0)
Das Stimmt
>
> als Extrema ergeben sich x= ± 1
Das stimmt auch
> jedoch hab ich ja -1
> ausgeschlossen
Das stimmt nicht, siehe Definitionsbereich.
> => (1/4) und das ist ein hochpunkt
Wie hast du das ermittelt?
>
> als wendepunkte hab ich [mm](\wurzel{3}/3,46)[/mm] und
> [mm](-\wurzel{3}/6,93)[/mm]
Da du die 2. Ableitung falsch hast, müsstest du hier nochmal nachrechnen.
>
> kann das soweit mal stimmen bzw. stimmen mal die
> ableitungen?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
> [mm]f'(x)=\bruch{8(x^{2}+1)-2x*8x}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
> [mm]=\bruch{8-16x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
was ich hier nicht versteh ist wohin das [mm] (x^{2}+1) [/mm] vom Zäler verschunden?
> >
> > als definitionsmenge hab ich {-1}
>
> Fallst du [mm]\IR/\{-1\}[/mm] meinst, ist das falsch. Du musst
> Ausschliessen, dass der Nenner Null wird, also [mm]x^{2}+1\ne0,[/mm]
> berechne daraus mal die Def-Lücke neu.
muss das dann so lauten:
[mm]\IR/\{-(1)\}[/mm]??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Sa 09.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > [mm]f'(x)=\bruch{8(x^{2}+1)-2x*8x}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
> > [mm]=\bruch{8-16x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}[/mm]
>
> was ich hier nicht versteh ist wohin das [mm](x^{2}+1)[/mm] vom
> Zäler verschunden?
Du hast:
[mm] 8(x^{2}+1)-2x*8x=8x^{2}+8x-16x^{2}=8-\green{8}x^{2}, [/mm] sorry.
> > >
> > > als definitionsmenge hab ich {-1}
> >
> > Fallst du [mm]\IR/\{-1\}[/mm] meinst, ist das falsch. Du musst
> > Ausschliessen, dass der Nenner Null wird, also [mm]x^{2}+1\ne0,[/mm]
> > berechne daraus mal die Def-Lücke neu.
>
> muss das dann so lauten:
> [mm]\IR/\{-(1)\}[/mm]??
Nein, zeig mal deine Rechnung:
Fang mal so an:
[mm] x^{2}+1=0\gdw-1=x^{2} [/mm] und ziehe daraus dann die Rückschlüsse.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 So 10.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
hallo ich hab jetzt wieder die Ableitungen gemacht und mir das auch nochmal das mit der Def. überlegt.
f' : [mm] \bruch{8-8x^2}{(x^2+1)^2}
[/mm]
f'': [mm] -\bruch{16}{(x^2+1)^2} [/mm] - [mm] \bruch{4x*(8-8x^2)}{(x^2+1)^3}
[/mm]
stimmt das jetzt?
und bei der def. ich glaube du willst mir sagen das es ± 1 ist aber dann würden beide Extrema wegfallen!?
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Hallo Laura,
> hallo ich hab jetzt wieder die Ableitungen gemacht und mir
> das auch nochmal das mit der Def. überlegt.
>
> f' : [mm]\bruch{8-8x^2}{(x^2+1)^2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> f'': [mm]-\bruch{16}{(x^2+1)^2}[/mm] - [mm]\bruch{4x*(8-8x^2)}{(x^2+1)^3}[/mm]
Das sieht falsch aus, zumindest lässt es sich nicht auf die korrekte Ableitung erweitern.
Wieso bist du deart resistent gegen gut gemeinte Ratschläge (auch in deinem anderen langen post zur Diskussion einer anderen Funktion) und ziehst die Ableitungen immer auseinander?
Dir ist schon dutzendfach gesagt worden, dass das sehr unpraktisch ist.
Außerdem zeigst du keine Rechnung, sondern ballerst irgendein Ergebnis (dazu in dieser unmöglichen Form) hin, das man sehr mühsam kontrollieren muss.
Schreibe hier die Rechnung Schritt für Schritt auf, wie genau und mit welcher Regel du von [mm]f'[/mm] auf [mm]f''[/mm] kommst!
>
> stimmt das jetzt?
>
> und bei der def. ich glaube du willst mir sagen das es ± 1
> ist aber dann würden beide Extrema wegfallen!?
Das ist ein Satz (wenn es denn einer ist - sind grammatikkundige Menschen hier?), den ich nicht verstehe.
Was willst du sagen?
Es ist [mm]x^2+1>0[/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm], daher ist [mm]\mathbb{D}_f=\IR[/mm]
Nullstellen der ersten Ableitung sind die Nullstellen des ZÄHLERS!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 So 10.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ausgehend von
f'= [mm] \bruch{8}{(x^{2}+1)^{2}} [/mm] - [mm] \bruch{8x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}
[/mm]
erster Bruch abgeleitet:
f' = 0 g' = [mm] 4x*(x^2+1)
[/mm]
Ableitung des 2.ten Bruchs
f'= 16x g' = [mm] 4x*(x^2+1)
[/mm]
[mm] \bruch{0* (x^2+1)^2 - 8* 4x*(x^2+1)-16x*(x^2+1)^2+8x^2*4x*(x^2+1)}{(x^2+1)^4}
[/mm]
ausgerechnet ergibt das:
[mm] \bruch{-32x*(x^2+1)-16x*(x^4+2x^2+1)+32x^3*(x^2+1)}{(x^2+1)^4}
[/mm]
-> f" = [mm] \bruch{16x*(x^{4}-2x^{2}-3)}{(x^2+1)^4}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 So 10.10.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Tag!
...
>
> ausgerechnet ergibt das:
>
> [mm]\bruch{-32x*(x^2+1)-16x*(x^4+2x^2+1)+32x^3*(x^2+1)}{(x^2+1)^4}[/mm]
>
> -> f" = [mm]\bruch{16x*(x^{4}-2x^{2}-3)}{(x^2+1)^4}[/mm]
>
Das Problem mit solchen Bruchtermen ist, dass immer gleich versucht wird sie "auszurechnen". Damit erschwert man sich aber die weiteren Rechnungen erheblich. Besser ist: Ausklammern und kürzen, dabei dann aber auf den Definitionsbereich achten.
[mm]\bruch{-32x*(x^2+1)-16x*(x^4+2x^2+1)+32x^3*(x^2+1)}{(x^2+1)^4} = \dfrac{x^2+1}{x^2+1} \cdot \dfrac{-32x-16x(x^2+1)+32x^3}{(x^2+1)^3}[/mm]
Und jetzt könnte man die Klammer im Zähler beseitigen, wenn es denn nötig wäre.
Salve!
Pappus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Sa 09.10.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich habe den Fehler in der Ableitung korrigiert,
Marius
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
noch eine Frage hierzu:
ich hab mir die Funktion gezeichnet und ich würde sagen das die Funktion bezüglich des Wendepunktes symetrisch ist. Ich habe aber in meinem Heft aufgeschrieben das dies nur bei Polynomfunktionen 3.Grades sein kann.
Stimmt das so? oder hab ich da eine andere Symetrie?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Sa 16.10.2010 | | Autor: | abakus |
> noch eine Frage hierzu:
>
> ich hab mir die Funktion gezeichnet und ich würde sagen
> das die Funktion bezüglich des Wendepunktes symetrisch
> ist. Ich habe aber in meinem Heft aufgeschrieben das dies
> nur bei Polynomfunktionen 3.Grades sein kann.
Diese Aussage ist falsch.
Richtig ist: Funktionen dritten Grades sind garantiert symmetrisch bezüglich ihres Wendepunkts.
Andere Funktionen können auch diese Eigenschaft habe, müssen es aber nicht.
Im konkreten Fall: Die gegebene Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung (vergleiche zum Nachweis f(x) und f(-x)).
Gruß Abakus
>
> Stimmt das so? oder hab ich da eine andere Symetrie?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Sa 16.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok dann hab ich das quasi eh richtig gemeint da ich ja im ursprung auch einen WEndepunkt habe.
Danke für die korrektur!
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