Funktion eine Norm ? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] bv:=\{(a_k) \in w | \summe_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+1} [/mm] konvergiert absolut [mm] \} [/mm].
Zeigen Sie, dass die Funktion [mm] p: bv \to \IR, (a_k) \to p((a_k)) := \summe_{k=1}^{\infty} | (a_k - a_{k+1} | [/mm] keine Norm auf bv ist, dass aber die Funktion [mm] \parallel \parallel_{bv}: bv \to \IR, (a_k) \to ||(a_k)||_{bv} :=|a_1| + p((a_k)) [/mm] eine Norm auf bv ist. Dabei dürfen Sie ohne Beweis benutzen, dass bv ein reeller Untervektorraum von w ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
ich habe mir Folgendes gedacht:
Als Ergebnis der Reihe bleibt das 1. und letzte Glied übrig mit [mm] |a_k-a_{k+1}| , k=\infty [/mm], die Summanden dazwischen heben sich mit + und - auf.
Wenn die Reihe absolut konvergiert, muss [mm] (a_k) [/mm] eine Nullfolge sein.
Also ist [mm] a_k > a_{k+1} [/mm].
1. Definitheit ist gegeben, da [mm] a_k - a_{k+1} \ge 0 [/mm] ist (=0 wenn [mm] a_k [/mm] konstant Null ist).
2. Positive Homogenität ist gegeben, da [mm] \summe_{k=1}^{\infty} | (\alpha a_k - \alpha a_{k+1})| = |\alpha| \summe_{k=1}^{\infty} | (a_k - a_{k+1})| [/mm]
Mit der Dreiecksungleichung weiss ich nicht, was ich da wie zeigen soll und die darf ja eigentlich nicht gegeben sein - oder meine vorherigen Überlegungen waren falsch.
Danke, Susanne.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:12 So 05.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Susanne!
> Es sei [mm]bv:=\{(a_k) \in w | \summe_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+1}\red{)}[/mm] konvergiert absolut [mm]\} [/mm].
Klammer ergänzt!
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]p: bv \to \IR, (a_k) \to p((a_k)) := \summe_{k=1}^{\infty} | (a_k - a_{k+1}) |[/mm]
> keine Norm auf bv ist, dass aber die Funktion
> [mm]\parallel \parallel_{bv}: bv \to \IR, (a_k) \to ||(a_k)||_{bv} :=|a_1| + p((a_k))[/mm]
> eine Norm auf bv ist. Dabei dürfen Sie ohne Beweis
> benutzen, dass bv ein reeller Untervektorraum von w ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> ich habe mir Folgendes gedacht:
> Als Ergebnis der Reihe bleibt das 1. und letzte Glied
> übrig mit [mm]|a_k-a_{k+1}| , k=\infty [/mm], die Summanden
> dazwischen heben sich mit + und - auf.
> Wenn die Reihe absolut konvergiert, muss [mm](a_k)[/mm] eine
> Nullfolge sein.
Nein!! (Vorneweg: Zur Abkürzung sei [mm] $\sum_k:=\sum_{k=1}^\infty$.)
[/mm]
Wenn die Reihe [mm] $\sum_{k} |a_k-a_{k+1}| \equiv: \sum_k s_k$ [/mm] absolut konvergiert, muss die Folge [mm] $\blue{(|a_k-a_{k+1}|)_{k \in \IN}}\equiv(s_k)_{k \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge sein (anders formuliert: Die Folge [mm] $(s_k)_k$ [/mm] mit [mm] $s_k=|a_k-a_{k+1}|$ [/mm] ($k [mm] \in \IN$) [/mm] muss eine Nullfolge sein)!
Und dass Deine Behauptung nicht stimmt:
Was ist denn, wenn [mm] $a_k:=c$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] (wobei [mm] $c\,$ [/mm] eine konstante Zahl sei: [mm] $c\,=\,const$!)? [/mm] Was ist dann [mm] $\sum_{k} |a_{k}-a_{k+1}|$; [/mm] ist die letztstehende Reihe dann etwa nicht absolut konvergent? 
> Also ist [mm]a_k > a_{k+1} [/mm].
> 1. Definitheit ist gegeben, da [mm]a_k - a_{k+1} \ge 0[/mm] ist (=0
> wenn [mm]a_k[/mm] konstant Null ist).
> 2. Positive Homogenität ist gegeben, da
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} | (\alpha a_k - \alpha a_{k+1})| = |\alpha| \summe_{k=1}^{\infty} | (a_k - a_{k+1})|[/mm]
>
> Mit der Dreiecksungleichung weiss ich nicht, was ich da wie
> zeigen soll und die darf ja eigentlich nicht gegeben sein -
> oder meine vorherigen Überlegungen waren falsch.
Also hier ging es ja darum, zu zeigen, dass [mm] $p\,$ [/mm] keine Norm auf $bv$ ist. Dazu brauchen wir gar nicht zu prüfen, ob [mm] $p\,$ [/mm] die Dreiecksungleichung erfüllt oder nicht (ob [mm] $p\,$ [/mm] diese erfüllt weiß ich gerade nicht, aber es ist schon etwas anderes verletzt).
Wenn Du oben nochmal genau hinguckst, solltest Du sehen, dass bei [mm] $p\,$ [/mm] die Defintiheit verletzt ist. Warum kann [mm] $p\,$ [/mm] nicht definit auf [mm] $bv\,$ [/mm] sein?
Nun ja:
Das Nullelement [mm] $n=(n_k)_k$ [/mm] von [mm] $bv\,$ [/mm] ist offensichtlich die Nullfolge [mm] $(n_k)_k:\equiv(0)_k$ [/mm] (d.h. es gilt [mm] $n_k=0$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$). [/mm] (Warum?)
Wenn Du nun aber [mm] $a_k:=c$ [/mm] (noch konkreter: [mm] $a_k:=1$) [/mm] für alle $k [mm] \in \IN$ [/mm] definierst:
Ist dann [mm] $p((a_k)_k)=p((c)_k) [/mm] > [mm] 0\,$?
[/mm]
P.S.:
Die obigen Überlegungen unter einem Vorbehalt:
Ich gehe davon aus, dass bei Euch [mm] $w\,$ [/mm] die Menge aller komplexwertigen Folgen ist (vielleicht auch 'nur' die Menge aller reellwertigen Folgen?). Wenn dem nicht so ist, solltest Du die Definition der Menge [mm] $w\,$ [/mm] konkret angeben.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Mo 06.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Marcel,
VIELEN VIELEN DANK für Deine ausführliche Hilfe !
> Nein!! (Vorneweg: Zur Abkürzung sei
> [mm]\sum_k:=\sum_{k=1}^\infty[/mm].)
>
> Wenn die Reihe [mm]\sum_{k} |a_k-a_{k+1}| \equiv: \sum_k s_k[/mm]
> absolut konvergiert, muss die Folge
> [mm]\blue{(|a_k-a_{k+1}|)_{k \in \IN}}\equiv(s_k)_{k \in \IN}[/mm]
> eine Nullfolge sein (anders formuliert: Die Folge [mm](s_k)_k[/mm]
> mit [mm]s_k=|a_k-a_{k+1}|[/mm] ([mm]k \in \IN[/mm]) muss eine Nullfolge
> sein)!
>
> Und dass Deine Behauptung nicht stimmt:
> Was ist denn, wenn [mm]a_k:=c[/mm] für alle [mm]k \in \IN[/mm] (wobei [mm]c\,[/mm]
> eine konstante Zahl sei: [mm]c\,=\,const[/mm]!)? Was ist dann
> [mm]\sum_{k} |a_{k}-a_{k+1}|[/mm]; ist die letztstehende Reihe dann
> etwa nicht absolut konvergent?
Ok, das habe ich verstanden. Vielen Dank für die gute Erklärung !
>
> > Also ist [mm]a_k > a_{k+1} [/mm].
> > 1. Definitheit ist gegeben, da [mm]a_k - a_{k+1} \ge 0[/mm] ist (=0
> > wenn [mm]a_k[/mm] konstant Null ist).
> > 2. Positive Homogenität ist gegeben, da
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty} | (\alpha a_k - \alpha a_{k+1})| = |\alpha| \summe_{k=1}^{\infty} | (a_k - a_{k+1})|[/mm]
> >
> > Mit der Dreiecksungleichung weiss ich nicht, was ich da wie
> > zeigen soll und die darf ja eigentlich nicht gegeben sein -
> > oder meine vorherigen Überlegungen waren falsch.
>
> Also hier ging es ja darum, zu zeigen, dass [mm]p\,[/mm] keine Norm
> auf [mm]bv[/mm] ist. Dazu brauchen wir gar nicht zu prüfen, ob [mm]p\,[/mm]
> die Dreiecksungleichung erfüllt oder nicht (ob [mm]p\,[/mm] diese
> erfüllt weiß ich gerade nicht, aber es ist schon etwas
> anderes verletzt).
>
> Wenn Du oben nochmal genau hinguckst, solltest Du sehen,
> dass bei [mm]p\,[/mm] die Defintiheit verletzt ist. Warum kann [mm]p\,[/mm]
> nicht definit auf [mm]bv\,[/mm] sein?
> Nun ja:
> Das Nullelement [mm]n=(n_k)_k[/mm] von [mm]bv\,[/mm] ist offensichtlich die
> Nullfolge [mm](n_k)_k:\equiv(0)_k[/mm] (d.h. es gilt [mm]n_k=0[/mm] für alle
> [mm]k \in \IN[/mm]). (Warum?)
>
> Wenn Du nun aber [mm]a_k:=c[/mm] (noch konkreter: [mm]a_k:=1[/mm]) für alle [mm]k \in \IN[/mm]
> definierst:
> Ist dann [mm]p((a_k)_k)=p((c)_k) > 0\,[/mm]?
[mm] \parallel x \parallel > 0 [/mm] falls [mm] x \not= 0 [/mm]
Aber wenn [mm]a_k:=1[/mm] (konstant) ist, dann ist [mm] \parallel x \parallel = 0 [/mm], also NICHT definit.
Auch das habe ich jetzt verstanden, vielen Dank !
> P.S.:
> Die obigen Überlegungen unter einem Vorbehalt:
> Ich gehe davon aus, dass bei Euch [mm]w\,[/mm] die Menge aller
> komplexwertigen Folgen ist (vielleicht auch 'nur' die Menge
> aller reellwertigen Folgen?). Wenn dem nicht so ist,
> solltest Du die Definition der Menge [mm]w\,[/mm] konkret angeben.
w ist bei uns die Menge aller reellen Folgen.
Zum 2. Teil (die Funktion [mm] \parallel \parallel_{bv} [/mm] ist eine Norm auf bv)
Dreiecksungleichung:
[mm] | (|a_1|+p(a_k)| \le |a_1| + |p(a_k)| = |a_1|+| (\summe_k |a_k-a_{k+1} |)| = |a_1| + \summe_k |a_k-a_{k+1} | [/mm]
Geht das so ?
Danke, Susanne.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:23 Mo 06.04.2009 | | Autor: | iks |
Hallo Susanne!
> Zum 2. Teil (die Funktion [mm]\parallel \parallel_{bv}[/mm] ist eine
> Norm auf bv)
> Dreiecksungleichung:
> [mm]| (|a_1|+p(a_k)| \le |a_1| + |p(a_k)| = |a_1|+| (\summe_k |a_k-a_{k+1} |)| = |a_1| + \summe_k |a_k-a_{k+1} |[/mm]
>
> Geht das so ?
>
> Danke, Susanne.
>
Nein. Hier zeigst du doch' nur' das der Betrag der Norm kleiner gleich der Norm ist.
Seien der Einfachheit halber [mm] $a:=(a_n),b:=(b_n)\in [/mm] bv$ . Dann ist bei der Dreiecksungleichung
[mm] $||a+b||_{bv}\leq ||a||_{bv}+||b||_{bv}$
[/mm]
zu zeigen. Also
[mm] $||(a_n+b_n)||=|a_1+b_1|+\sum_{k=1}^\infty|(a_k+b_k)-(a_{k+1}+b_{k+1})|\leq [/mm] ....$
Grüsse iks
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Mo 06.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo iks
VIELEN DANK für deine Hilfe !!
Jetzt hab ich es verstanden  danke !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:33 So 05.04.2009 | | Autor: | Marcel |
P.S.:
> Es sei [mm]bv:=\{(a_k) \in w | \summe_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+1}[/mm]
> konvergiert absolut [mm]\} [/mm].
> Zeigen Sie, dass die Funktion [mm]p: bv \to \IR, (a_k) \to p((a_k)) := \summe_{k=1}^{\infty} | (a_k - a_{k+1} |[/mm]
> keine Norm auf bv ist, dass aber die Funktion [mm]\parallel \parallel_{bv}: bv \to \IR, (a_k) \to ||(a_k)||_{bv} :=|a_1| + p((a_k))[/mm]
> eine Norm auf bv ist. Dabei dürfen Sie ohne Beweis
> benutzen, dass bv ein reeller Untervektorraum von w ist.
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
> Hallo,
> ich habe mir Folgendes gedacht:
> Als Ergebnis der Reihe bleibt das 1. und letzte Glied
> übrig mit [mm]|a_k-a_{k+1}| , k=\infty [/mm], die Summanden
> dazwischen heben sich mit + und - auf.
das stimmt auch nicht (jedenfalls stimmt das nicht, wenn bspw. [mm] $w\,$ [/mm] nur die Menge aller komplexwertigen Folgen ist). Du übersiehst hierbei die Beträge:
Was Du meinst, ist, dass für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] gilt:
[mm] $$\sum_{k=1}^n (a_{k}-a_{k+1})=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+...+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}\,.$$
[/mm]
Damit gilt:
Die Reihe [mm] $\sum_{k=1}^\infty (a_{k}-a_{k+1})$ [/mm] konvergiert genau dann, wenn [mm] $(a_n)_n$ [/mm] konvergiert. Und falls [mm] $a_n \to [/mm] a$ $(n [mm] \to \infty)$ [/mm] folgt somit auch:
[mm] $$\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k+1}) \to a_1-a \;\;(n \to \infty)\,,$$
[/mm]
in Kurzform
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty (a_k-a_{k+1})=a_1-a\,.$$
[/mm]
(Das ist übrigens eine saubere Notation, denn so, wie Du es oben ausgedrückt hast, würde man sich fragen, was denn bitteschön [mm] $a_\infty$ [/mm] sein soll? Dann könnte man, wenn [mm] $a_n \to [/mm] a$ ($n [mm] \to \infty$) [/mm] gilt, definieren: [mm] $a_\infty:=\lim_{n \to \infty} a_n\,.$ [/mm] Dann würde Deine obige Aussage (vielleicht; denn eigentlich ist das, was da steht, was anderes als das, was ich hier sage!) Sinn machen!)
Oben steht aber nicht [mm] $\sum_{k=1}^\infty (a_{k}-a_{k+1})\,,$ [/mm] sondern [mm] $\sum_{k=1}^\infty \blue{|}a_{k}-a_{k+1}\blue{|}\,.$ [/mm] Und [mm] $a_k-a_{k+1}=\blue{|}a_{k}-a_{k+1}\blue{|}$ [/mm] gilt genau dann, wenn [mm] $a_k-a_{k+1} \ge 0\,.$
[/mm]
Du kannst also i.a. nicht sagen, dass [mm] $\sum_k |a_k-a_{k+1}|=a_1-a$ [/mm] bei [mm] $a_n \to [/mm] a$ gelten würde [mm] $\text{(}$ist [/mm] allerdings [mm] $(a_n)_n$ [/mm] monoton fallend gegen [mm] $\,a$, [/mm] so gilt
[mm] $$\sum_k |a_k-a_{k+1}| \equiv \sum_k (a_k-a_{k+1})=a_1-a\,\text{)}.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Mo 06.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
> P.S.:
> > Es sei [mm]bv:=\{(a_k) \in w | \summe_{k=1}^{\infty} (a_k - a_{k+1}[/mm]
> > konvergiert absolut [mm]\} [/mm].
> > Zeigen Sie, dass die
> Funktion [mm]p: bv \to \IR, (a_k) \to p((a_k)) := \summe_{k=1}^{\infty} | (a_k - a_{k+1} |[/mm]
> > keine Norm auf bv ist, dass aber die Funktion [mm]\parallel \parallel_{bv}: bv \to \IR, (a_k) \to ||(a_k)||_{bv} :=|a_1| + p((a_k))[/mm]
> > eine Norm auf bv ist. Dabei dürfen Sie ohne Beweis
> > benutzen, dass bv ein reeller Untervektorraum von w ist.
> > Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> > Hallo,
> > ich habe mir Folgendes gedacht:
> > Als Ergebnis der Reihe bleibt das 1. und letzte Glied
> > übrig mit [mm]|a_k-a_{k+1}| , k=\infty [/mm], die Summanden
> > dazwischen heben sich mit + und - auf.
>
> das stimmt auch nicht (jedenfalls stimmt das nicht, wenn
> bspw. [mm]w\,[/mm] nur die Menge aller komplexwertigen Folgen ist).
> Du übersiehst hierbei die Beträge:
> Was Du meinst, ist, dass für jedes [mm]n \in \IN[/mm] gilt:
> [mm]\sum_{k=1}^n (a_{k}-a_{k+1})=(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+...+(a_{n-1}-a_n)+(a_n-a_{n+1})=a_1-a_{n+1}\,.[/mm]
>
> Damit gilt:
> Die Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty (a_{k}-a_{k+1})[/mm] konvergiert
> genau dann, wenn [mm](a_n)_n[/mm] konvergiert. Und falls [mm]a_n \to a[/mm]
> [mm](n \to \infty)[/mm] folgt somit auch:
> [mm]\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k+1}) \to a_1-a \;\;(n \to \infty)\,,[/mm]
>
> in Kurzform
> [mm]\sum_{k=1}^\infty (a_k-a_{k+1})=a_1-a\,.[/mm]
>
> (Das ist übrigens eine saubere Notation, denn so, wie Du es
> oben ausgedrückt hast, würde man sich fragen, was denn
> bitteschön [mm]a_\infty[/mm] sein soll? Dann könnte man, wenn [mm]a_n \to a[/mm]
> ([mm]n \to \infty[/mm]) gilt, definieren: [mm]a_\infty:=\lim_{n \to \infty} a_n\,.[/mm]
> Dann würde Deine obige Aussage (vielleicht; denn eigentlich
> ist das, was da steht, was anderes als das, was ich hier
> sage!) Sinn machen!)
>
> Oben steht aber nicht [mm]\sum_{k=1}^\infty (a_{k}-a_{k+1})\,,[/mm]
> sondern [mm]\sum_{k=1}^\infty \blue{|}a_{k}-a_{k+1}\blue{|}\,.[/mm]
> Und [mm]a_k-a_{k+1}=\blue{|}a_{k}-a_{k+1}\blue{|}[/mm] gilt genau
> dann, wenn [mm]a_k-a_{k+1} \ge 0\,.[/mm]
>
> Du kannst also i.a. nicht sagen, dass [mm]\sum_k |a_k-a_{k+1}|=a_1-a[/mm]
> bei [mm]a_n \to a[/mm] gelten würde [mm]\text{(}[/mm]ist allerdings [mm](a_n)_n[/mm]
> monoton fallend gegen [mm]\,a[/mm], so gilt
> [mm]\sum_k |a_k-a_{k+1}| \equiv \sum_k (a_k-a_{k+1})=a_1-a\,\text{)}.[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
WOW, lieber Marcel, VIELEN VIELEN DANK für Deine Mühe, mir das so ausführlich zu erklären.
Oje, insgesamt waren meine Überlegungen wohl ziemlich falsch !
LG, Susanne.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mo 06.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hi Susanne,
> WOW, lieber Marcel, VIELEN VIELEN DANK für Deine Mühe, mir
> das so ausführlich zu erklären.
> Oje, insgesamt waren meine Überlegungen wohl ziemlich
> falsch !
Fehler sind ja dazu da, um aus ihnen zu lernen. Wer keine Fehler macht, braucht anscheinend nichts mehr zu lernen, oder vermeidet es, überhaupt etwas zu tun.
Viel wichtiger ist es, dass Du die Sachen nun verstehst und die gleichen Fehler sich nicht (jedenfalls nicht in allzu naher Zukunft) ähnlich wiederholen, bzw. dass Du nun etwas vorsichtiger mit ähnlichen Behauptungen umgehst.
Also z.B. hattest Du behauptet:
[mm] $(\star)\;\;\;\sum_k |a_k -a_{k+1}|$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow$ $a_k \to 0\,.$ [/mm] Auf diese Idee könnte man kommen, aber dann schlägst Du nochmal nach, wie der Satz genau lautet (wenn Du den Satz+Beweis nicht auswendig im Kopf hast):
Da steht eigentlich:
[mm] $\sum_k \blue{a_k}$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow$ $a_k \to 0\,.$ [/mm]
Und bei [mm] $(\star)$ [/mm] wird die Rolle der [mm] $\blue{a_k}$ [/mm] des letzten Satzes nicht durch [mm] $a_k\,,$ [/mm] sondern eben durch [mm] $|a_k-a_{k+1}|$ [/mm] gespielt. Deswegen hätte ich den letzten Satz auch jetzt, weil [mm] $(a_k)_k$ [/mm] in [mm] $(\star)$ [/mm] schon vergeben ist, z.B. formuliert als
[mm] $\sum_k s_k$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow$ $s_k \to 0\,.$ [/mm]
Dann hat man keine Überschneidungen in den Variablenbezeichnungen.
P.S.:
Gibt es nun noch Unklarheiten, oder ist Dir nun vollständig klar, warum [mm] $p\,$ [/mm] keine Norm auf [mm] $bv\,$ [/mm] ist (ich denke eigentlich, dass Dir das nun klar ist, oder?) und warum [mm] $\|.\|_{bv}$ [/mm] eine Norm ist?
Bei [mm] $\|.\|_{bv}$ [/mm] fehlen ja - siehe Antwort von iks - nur noch ein paar kleine Abschätzungen, die man aufgrund der Konvergenz der Reihe und allg. Dreiecksungleichung leicht hinschreiben kann (sofern ich mich gerade nicht täusche). Und zur Definitheit von [mm] $\|.\|_{bv}$:
[/mm]
Dass [mm] $\|(0)_k\|_{bv}=0$ [/mm] ist klar. Um [mm] $\|a\|_{bv}=0 \Rightarrow a=(a_k)_k \equiv(0)_k$ [/mm] für [mm] $a=(a_k)_k \in [/mm] w$ zu zeigen:
Aus [mm] $\|a\|_{bv}=\|(a_k)_k\|_{bv}=0$ [/mm] folgt dann jedenfalls [mm] $a_1=0\,.$ [/mm] Jetzt kann man sich (z.B. induktiv) überlegen, dass dann
[mm] $$a_2=a_1\;\;\;\;\;(=0)$$
[/mm]
[mm] $$a_3=a_2=\;\;\;\;\;(=a_1=0)$$
[/mm]
[mm] $$a_4=a_3=\;\;\;\;\;(=a_2=a_1=0)$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
gelten muss.
LG zurück,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Mo 06.04.2009 | | Autor: | SusanneK |
Lieber Marcel,
vielen vielen Dank für deine Mühe !!!
Ja, ich habe die Aufgabe jetzt verstanden und sie gelöst - maße mir aber noch nicht an zu sagen, dass ich jetzt alle Aufgaben dieser Art auf Anhieb hinbekommen werde.
Deine Ausführungen haben mir wirklich sehr geholfen, das war ganz toll, wie du das alles erklärt hast.
Liebe Grüsse, Susanne.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Sa 11.04.2009 | | Autor: | iks |
Moin Susanne, Marcel!
Da ich die selbe Aufgabe zu lösen habe, und Susanne jetzt ihre Lösung fand, will ich nur schnell meine eigene (betreffend [mm] $||.||_{bv}$ [/mm] ist Norm) posten:
Die Dreiecksungleichung bzw die positive Homogenität sind wohl ausreichend behandelt und schnell einzusehen. Das für die Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] mit [mm] $a_n=0 (\forall n\in\IN)$ $||(a_n)||_{bv}=0$ [/mm] gilt scheint auch klar.
Ist also [mm] $(b_n)$ [/mm] eine Folge in $bv$ mit [mm] $(b_n)\neq0$ [/mm] so gibt es mindestens ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $b_n\neq0$. [/mm] Ist $n=1$ dann ist [mm] $||(b_n)||_{bv}\ge |b_1|>0$.
[/mm]
Sei also $n>1$. Aufgrund der Wohlordnung der natürlichen Zahlen gibt es ein kleinstes [mm] $n_0>1$ [/mm] mit der Eigenschaft [mm] $b_{n_0}\neq0$. [/mm] Dann folgt aber:
[mm] $||(b_n)||_{bv}=|b_1|+\sum_{k=1}^\infty|b_k-b_{k+1}|=|b_1|+\sum_{k=1}^{n_0-1}|b_k-b_{k+1}|+\sum_{k=n_0}^\infty|b_k-b_{k+1}|=|b_{n_0}|+\sum_{k=n_0}^\infty|b_k-b_{k+1}|\ge |b_{n_0}|>0$
[/mm]
und somit die Definitheit von [mm] $$||.||_{bv}$
[/mm]
Frohe Ostern iks
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 07.04.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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