Funktion ermitteln < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo, ich hätte wieder einmal ein Problem:
1) geg. [mm] y=x^3+px+q [/mm] Wendetangente: 3x+2y-4=0
ges. Funktion
(ERGEBNIS: [mm] y=x^3-3/2x+2)
[/mm]
2) geg. [mm] ax^3+bx^2-9/2x+d [/mm] Wendetangente 3x-2y=0 an Stelle 4
ges. Funktion INFO: der WP müsste (4/..) sein?
Wie komme ich auf die Wendepunkt bzw. auf zus. Punkte?
------------------------------------------------
Wir haben im MatheKurs gelernt, dass man zuerst "Symbolgleichungen" erkennen kann.(zB. y(2)=3 und y'(3)=0),
diese dann in "echte" Gleichungen umwandelt und dann durch das Eliminationsverfahren die Gleichungen auflöst.
Meine Frage:
Ich erkenne nicht die Symbolgleichungen, die aus den Angaben abgeleitet werden.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:25 Sa 03.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin gary,
> Hallo, ich hätte wieder einmal ein Problem:
>
> 1) geg. [mm]y=x^3+px+q[/mm] Wendetangente: 3x+2y-4=0
> ges. Funktion
> (ERGEBNIS: [mm]y=x^3-3/2x+2)[/mm]
im prinzip musst du die koeffizienten der gleichng ermitteln. pro koeffizient (hier p und q) brauchst du eine gleichung bzw. eine information, aus der du eine gleichung machen kannst.
was musst du denn tun, wenn du die wendetangente ermitteln willst?
- 1. ableitung bilden
[mm] y=x^3 [/mm] +px +q
[mm] y'=3x^2 [/mm] +p
- 2. ableitung bilden,
diese null setzen => wendepunkt (d.h. x-koordinate ermitteln)
y''=6x
=> im wendepunkt muss die zweite abl. gleich null sein.
0=6x => [mm] x_{w}=0 [/mm]
3x+2y-4 =0
nach y umformen...
2y = 4 -3x
y= 2 - [mm] \bruch{3}{2}x [/mm]
aus [mm] x_{w}=0 [/mm] die zugehörige y-koordinate ausrechnen...
[mm] y_{w}= [/mm] 2
nun kann ich den wendepunkt in die funktion einsetzen, und erhalte:
[mm] y=x^3 [/mm] + px +q
[mm] 2=0^3 [/mm] +p*0 +q
q=2 damit habe ich also schon mal p bestimmt.
zweite information:
die steigung der wendetangente im wendepunkt ist gleich der steigung der funktion im wendepunkt (sonst wäre es ja keine Wende-TANGENTE!)
d.h.
[mm] y=3x^2 [/mm] +p [mm] y'=m_{w}= [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}
[/mm]
- [mm] \bruch{3}{2} [/mm] = [mm] 3*0^2 [/mm] +p
p= - [mm] \bruch{3}{2} [/mm]
und damit hast du auch p bestimmt.
also lautet die gesuchte funktionsgleichung:
[mm] f(x)=x^3 [/mm] - [mm] \bruch{3}{2}x [/mm] +2
> 2) geg. [mm]ax^3+bx^2-9/2x+d[/mm] Wendetangente 3x-2y=0 an Stelle 4
> ges. Funktion INFO: der WP müsste (4/..) sein?
>
> Wie komme ich auf die Wendepunkt bzw. auf zus. Punkte?
nur kurz zu 2).
tangentengleichung nach y auflösen, dann kann man die steigung (im wendepunkt) sofort ablesen
y= [mm] \bruch{3}{2}x
[/mm]
y' bilden
y'' bilden
[mm] y'(4)=m_{w}=\bruch{3}{2}
[/mm]
y''(4)=0
usw.
probiers mal!
gruß
wolfgang
|
|
|
| |
|
Hallo Wolfgang, vielen Dank, die erste Aufgabe kann ich nachvollziehen.
somit müsste die Steigung K, ist ja die 1 Ableitung, also 3/2 sein.
x müsste demnach 3/2*4=6 sein die Wendetangente also W(4|6) ? oder
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Sa 03.03.2007 | | Autor: | ullim |
> moin gary,
>
> > Hallo Wolfgang, vielen Dank, die erste Aufgabe kann ich
> > nachvollziehen.
> > somit müsste die Steigung K, ist ja die 1 Ableitung,
> also
> > 3/2 sein.
> >
> > x müsste demnach 3/2*4=6 sein die Wendetangente also W(4|6)
> > ? oder
>
> richtig siehe unten...
>
> zunächst wolltest du wahrscheinlich den wendepunkt
> berechnen, nicht die wendetangente.
>
>
> deine funktionsgleichung soll so aussehen:
>
>
> 2) geg. Wendetangente 3x-2y=0 an Stelle 4
> ges. Funktion
>
> f(x)= [mm]ax^3 +bx^2[/mm] - [mm]\bruch{9}{2}x[/mm] +d
>
> hier musst du also die werte für a,b und d bestimmen.
>
> INFO: der WP müsste (4/..) sein?
> >
> > Wie komme ich auf die Wendepunkt bzw. auf zus. Punkte?
>
> tangentengleichung nach y auflösen, dann kann man die
> steigung (im wendepunkt) sofort ablesen
>
> y= [mm]\bruch{3}{2}x[/mm]
>
> y' bilden
>
> f(x)= [mm]ax^3 +bx^2[/mm] - [mm]\bruch{9}{2}x[/mm] +d
>
> [mm]f'(x)=3ax^2[/mm] +2bx - [mm]\bruch{9}{2}[/mm]
>
> y'' bilden
>
> f''(x)= 6ax + 2b
>
> du weisst: bei x=4 soll ein wendepunkt sein, d.h.
>
> 0=6ax +2b bzw.
>
> 0=6a*4 +2b 1. Gleichung
>
>
> die steigung im wendepunkt ist [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> d.h.
>
> f'(4)= [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] = [mm]3a*4^2[/mm] +2*b*4 - [mm]\bruch{3}{2}[/mm] 2.
> Gleichung
>
>
Muss hier nicht [mm]\bruch{3}{2}[/mm] = [mm]3a*4^2[/mm] +2*b*4 - [mm] \bruch{9}{2} [/mm] stehen
> damit kann ich hier schon a und b ausrechnen!
>
> 1. Gleichung z.b. nach b auflösen
>
> 24a +2b=0
>
> b= -12a
>
> in 2. Gleichung einsetzen
>
>
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] = 48a +8b - [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{3}{2}[/mm] = 48a +8*(-12a) - [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> 3= -48a
>
> a= - [mm]\bruch{1}{16}[/mm]
>
> b= -12*(- [mm]\bruch{1}{16})[/mm]
>
> b= [mm]\bruch{3}{4}[/mm]
>
>
> jetzt fehlt nur noch d .
>
>
> mein y-wert der funktion an der stelle 4
> ist ja gleich dem y-wert der tangente an der stelle 4.
>
> also kann ich gleichsetzen:
>
>
> f(x)= [mm]ax^3 +bx^2[/mm] - [mm]\bruch{9}{2}x[/mm] +d
>
> f(x)= - [mm]\bruch{1}{16}*x^3[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}*x^2[/mm] -
> [mm]\bruch{9}{2}x[/mm] +d
>
> insofern hast du recht:
>
> f(4)=6 weil y= [mm]\bruch{3}{2}*4[/mm]
>
> daraus erhalte ich jetzt d
>
> 6 = - [mm]\bruch{1}{16}*4^3[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}*4^2[/mm] - [mm]\bruch{9}{2}*4[/mm]
> +d
>
> 6 = -16 + 12 -18 + d
>
> 6= -22 +d
>
> d=28
>
>
> das wars.
>
> kannst ja mal die probe machen!
>
> f(x)= - [mm]\bruch{1}{16}*x^3[/mm] + [mm]\bruch{3}{4}*x^2[/mm] -
> [mm]\bruch{9}{2}x[/mm] +28
>
> f'(x)= - [mm]\bruch{3}{16}*x^2[/mm] + [mm]\bruch{3}{2}x[/mm] - [mm]\bruch{9}{2}[/mm]
>
> f''(x)= - [mm]\bruch{3}{8}*x[/mm] + [mm]\bruch{3}{2}[/mm]
>
> f''(4)=0 also soweit so gut 
>
> lg
> wolfgang
>
>
>
>
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Sa 03.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
korrekt!
|
|
|
|
