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| Aufgabe | Kreis 1 hat den Mittelpunkt [mm] M_{1}(0/0) [/mm] und den Radius 4
Kreis 2 hat den Mittelpunkt [mm] M_{2}(2/0) [/mm] und den Radius 1
Wo liegen alle Punkte, die von Kreis 1 und Kreis 2 denselben Abstand haben? (Bestimme deren Funktion)
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Es sei [mm] (x_{1}/y_{1}) [/mm] die Punkte des Kreises 1 und [mm] (x_{2}/y_{2}) [/mm] die Punkte des Kreises 2.
Ferner sei [mm] (x_{z}/y_{z}) [/mm] die gesuchten Punkte, die von Kreis 1 und Kreis 2 denselben Abstand a haben.
Nun stelle ich die folgenden Gleichungen auf:
1.) [mm] x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=4 [/mm] (für Kreis 1)
2.) [mm] (x_{2}-2)^{2}+ y_{2}^{2}=1 [/mm] (für Kreis 2)
3.) [mm] x_{z}^{2}+y_{z}^{2}=(4-a)^{2}
[/mm]
4.) [mm] \bruch{x_{1}}{y_{1}}=\bruch{x_{z}}{y_{z}}
[/mm]
5.) [mm] (2-x_{z})^{2}+ y_{z}^{2}=(a+1)^{2}
[/mm]
6.) [mm] \bruch{2-x_{z}}{y_{z}}=\bruch{2-x_{2}}{y_{2}}
[/mm]
Nun habe ich eine ganze Menge an Gleichungen, und das Ziel ist, daraus etwas zu formen mit der Form:
[mm] y_{z}=f(x_{z})
[/mm]
Aber das scheint schwieriger zu sein, als gedacht.
Ich habe allerdings einige markante Punkte der Zielfunktion raus, wie z.B.
[mm] P_{1} [/mm] (-1.5/0) , [mm] P_{2} [/mm] (0/2.1) , [mm] P_{3} [/mm] (3.5/0)
und dass 0.5<a<2.5
Aber so ganz richtig weiter hilft das auch nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:20 So 20.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Kreis 1 hat den Mittelpunkt [mm]M_{1}(0/0)[/mm] und den Radius 4
> Kreis 2 hat den Mittelpunkt [mm]M_{2}(2/0)[/mm] und den Radius 1
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> Wo liegen alle Punkte, die von Kreis 1 und Kreis 2
> denselben Abstand haben? (Bestimme deren Funktion)
>
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> Es sei [mm](x_{1}/y_{1})[/mm] die Punkte des Kreises und
> [mm](x_{2}/y_{2})[/mm] die Punkte des Kreises 2.
> Ferner sei [mm](x_{z}/y_{z})[/mm] die gesuchten Punkte, die von
> Kreis 1 und Kreis 2 denselben Abstand a haben.
>
> Nun stelle ich die folgenden Gleichungen auf:
>
> 1.) [mm]x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=4[/mm] (für Kreis 1)
>
> 2.) [mm](x_{2}-2)^{2}+ y_{2}^{2}=1[/mm] (für Kreis 2)
>
> 3.) [mm]x_{z}^{2}+y_{z}^{2}=(4-a)^{2}[/mm]
>
> 4.) [mm]\bruch{x_{1}}{y_{1}}=\bruch{x_{z}}{y_{z}}[/mm]
>
> 5.) [mm](2-x_{z})^{2}+ y_{z}^{2}=(a+1)^{2}[/mm]
>
> 6.) [mm]\bruch{2-x_{z}}{y_{z}}=\bruch{2-x_{2}}{y_{2}}[/mm]
>
> Nun habe ich eine ganze Menge an Gleichungen, und das Ziel
> ist, daraus etwas zu formen mit der Form:
> [mm]y_{z}=f(x_{z})[/mm]
>
> Aber das scheint schwieriger zu sein, als gedacht.
>
> Ich habe allerdings einige markante Punkte der Zielfunktion
> raus, wie z.B.
> [mm]P_{1}[/mm] (-1.5/0) , [mm]P_{2}[/mm] (0/2.1) , [mm]P_{3}[/mm] (3.5/0)
>
> und dass 0.5<a<2.5
>
> Aber so ganz richtig weiter hilft das auch nicht.
Hallo,
kleiner Tipp:
Sei X ein Punkt mit der gesuchten Eigenschaft. Dann gilt
[mm] |\overline{XM_2}|=|\overline{XM_1}|-3 [/mm] (wegen der um 3 Einheiten verschiedenen Radien).
Viele Grüße
Abakus
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Hallo Ralph,
gerade hat jemand anders eine Antwort in Angriff genommen (abakus).
Ich will mich deshalb ganz kurz fassen:
Der Abstand d eines Punktes P von einem Kreis (Mittelpunkt M, Radius r)
ist entweder [mm]\overline{PM} -r [/mm] oder [mm] r - \overline{PM} [/mm]
Wenn du die Abstandsbedingungen auf die Kreismittelpunkte beziehst, ergeben sich Hyperbel- bzw. Ellipsengleichung(en) (je nach Auswahl der +/- Variationen).
LG al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:55 So 20.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Danke für eure Antworten.
Ich glaube aber nicht, dass diese hier wirklich weiterhelfen. Bzw. die Sache mit den Abständen zu den Mittelpunkten ist schon in meinen aufgestellten Gleichungen enthalten = Das sind rechtwinklige Dreiecke, bei denen ich den Satz des Pythagoras angewendet habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 So 20.04.2008 | | Autor: | abakus |
Wenn du die beiden Kreismittelpunkte hast, suchst du ja einen dritten Punkt, dessen Abstand von einem Mittelpunkt drei Einheiten kleiner ist als vom anderen. Diesen Punkt kannst du mit einem Zirkel konstruieren (Kreisbogen mit beliebigem Radius um einen Mittelpunkt, Kreisbogen mit r-3 um den anderen Mittelpunkt).
Da die Mittelpunktskoordinaten bekannt sind, kannst du zwei Kreisgleichungen (mit den Radien r und r-3) aufstellen. Für jeden Parameter r erhältst du einen (eigentlich 2) anderen Schnittpunkt (x|y). Daraus bastelst du die Ortskurve aller Schnittpunkte.
Viele Grüße
Abakus
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> Danke für eure Antworten.
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> Ich glaube aber nicht, dass diese hier wirklich
> weiterhelfen. Bzw. die Sache mit den Abständen zu den
> Mittelpunkten ist schon in meinen aufgestellten Gleichungen
> enthalten = Das sind rechtwinklige Dreiecke, bei denen ich
> den Satz des Pythagoras angewendet habe.
(letzteres habe ich mir wohl gar nicht genau angeschaut, sorry)
Ich bezeichne den Ursprung mit [mm] \ O [/mm], den andern Kreismittelpunkt mit [mm] \ M [/mm] und suche nun zum Beispiel einmal jene Punkte [mm] \ P [/mm], die innerhalb des grossen und ausserhalb des kleinen Kreises liegen. Der gemeinsame Abstand zu den Kreisen sei [mm] \ a [/mm]. Dann haben wir [mm] \overline{OP} = r1-a = 4-a [/mm] und [mm] \overline{MP} = r2+a = 1+a[/mm] .
Daraus ergibt sich die Gleichung [mm] \overline{OP} + \overline{MP} = 5[/mm] . Dies ist eine Ellipsengleichung ("Gärtnerkonstruktion").
Gruß al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 So 20.04.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Vielen Dank noch mal an euch beiden.
Ich hatte mir diese Aufgabe einfach so ausgedacht - und manchmal ist die Antwort verblüffend einfach ("Ellipse").
Das weiß man aber im allgemeinen vorher nie, ob da ein "Gärtner" oder ein "Leder" bei rauskommt - es sei denn, man hat eine ähnliche Aufgabe vorher schon routinemäßig oft gerechnet.
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hallo Ralph,
> - es sei denn, man
> hat eine ähnliche Aufgabe vorher schon routinemäßig oft
> gerechnet.
Das habe ich als (bis vor kurzem) Gymnasiallehrer natürlich (nicht oft, aber so 3 , 4 mal) auch gemacht.
Trotzdem war auch mir nicht auf den ersten Blick klar, dass hier nur eine Ellipse und gar keine Hyperbel in Frage kommt.
Rudi
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