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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Funktion erstellen
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Funktion erstellen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Mi 26.10.2011
Autor: stffn

Aufgabe
Der Schmelzvorgang eines Schneeballs (zu jedem zeitpunkt als Kugel angenommen) wird durch
[mm] $\bruch{dV(t)}{dt}=-\lambda [/mm] *F(t) $
beschrieben [mm] (\lambda [/mm] ist eine Konstante, F die Oberfläche und V das Volumen; R der Radius).

Ermitteln Sie $R(t)$ für [mm] $t\ge [/mm] 0$, wenn der Wert [mm] $R(t_0)$ [/mm] zu irgendeinem Zeitpunkt [mm] $t_0>0$ [/mm] bekannt ist.
Lesen Sie ab, wie sich der Radius in gleichen zeitspannen verändert.

Hallo zusammen!

Ich bin schon die ganze zeit am überlegen, wie ich diese (wahrscheinlich ziemlich einfache) Aufgabe löse.
In der ersten teilaufgabe sollte man die zeitliche Abhängigkeit vom Radius ermitteln, wenn der Anfangswert $R(0)$ bekannt ist.
Das habe ich gemacht:

[mm] $V(t)=\bruch{4}{3}\pi R(t)^3& [/mm]

[mm] $\gdw \bruch{dV(t)}{dt}=4*\pi*R(t)^2*\bruch{dR(t)}{dt}$. [/mm]


Mit [mm] $F(t)=4*\pi*R(t)^2$) [/mm] folgt:

[mm] $4*\pi*R(t)^2*\bruch{dR(t)}{dt}=-\lambda *4*\pi*R(t)^2$ [/mm]

[mm] $\gdw \bruch{dR(t)}{dt}=-\lambda$. [/mm]

[mm] $\Rightarrow R(t)=\integral_{}^{}{-\lambda dt}=-\lambda*t+C$ [/mm]

mit $C=R(0)$ (da $R(0)=C$ für $t=0$ bekannt ist).

Ich habe leider keine Idee wie ich jetzt die o.g. Aufgabe löse.
Meine Ideen führen zu nichts, habe z.B. aufgeschrieben, dass [mm] $C=\lambda*t_2§ [/mm] ist, wenn der Ball zum Zeitpunkt [mm] t_2 [/mm] geschmolzen ist.
Da [mm] t_2 [/mm] aber unbekannt ist, bringt das nicht viel. Man braucht ja irgendwie C, also die Anfangsgröße. Oder kann man das irgendwie mit bestimmer Integration lösen? (Man bedenke, dass davon ausgegangen werden soll, dass R(0) unbekannt ist.)

Vielen Dank für jeden Tipp, einen schönen Abend noch!

        
Bezug
Funktion erstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Mi 26.10.2011
Autor: Martinius

Hallo,

Google ist Dein Freund!

[guckstduhier]

[]http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=29531  


LG, Martinius

Bezug
                
Bezug
Funktion erstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Do 27.10.2011
Autor: stffn

Naja.
Das hat mir nicht wirklich geholfen.
Ich hab ja nichtmal gegeben wann der Ball nur noch halb so groß ist.
Wär supper wenn ich noch von jemanden einen richtigen Tipp bekommen könnte.
Danke, schöne Grüße!

Bezug
        
Bezug
Funktion erstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Do 27.10.2011
Autor: leduart

Hallo
es ist nicht R(0) bekannt sondern [mm] R(t_0) [/mm] mit [mm] t_0>0! [/mm]
deine Lösung ist sonst richtig
also allgemein [mm] R(t)=-\lambda*t+C [/mm] ,  C jetzt durch [mm] R(t_0) [/mm] bestimmen.
und jetzt:  wie ändert sich R(t), von t1 bis t2 und von t3bis t4 wenn t2-t1=t4-t3 also gleichen Zeitspannen  allgemein zwischen t und [mm] t+\Delta [/mm] t
gib dabei an, für welche t das in Abh von [mm] t_0 [/mm] und  [mm] \lambda [/mm] gilt!
Gruss leduart


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