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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 So 09.09.2007 | | Autor: | Karlchen |
| Aufgabe | Für [mm] t\in\IR\{o} [/mm] sind die Funktionen [mm] f_{t} [/mm] gegeben durch [mm] f_{t}(x)=t-\bruch{2t}{x^{2}}. [/mm] Der Graph von f{t} sei K{t}.
Zeigen sie, dass alle Graphen [mm] K_{t} [/mm] die x-Achse in denselben Punkten N1 und N2 schneiden. |
nochmals hallo!
irgendwie werd ich aus dieser aufgabe nicht schlau. erstmal was bedeutet [mm] t\in\IR\{o}? [/mm]
ist das richtig das mit [mm] f_{t} [/mm] = [mm] K_{t}, [/mm] also [mm] f_{t}(x)=t-\bruch{2t}{x^{2}} [/mm] = [mm] K_{t}(x)=t-\bruch{2t}{x^{2}} [/mm] gemeint ist?
Nullstellen:
[mm] f_{t}(x)=0
[/mm]
[mm] t-\bruch{2t}{x^{2}} [/mm] = 0
ich weiß, dass ich jez die pg-Formel anwenden müsste, aber ich weiß nicht, wir ich dass bei dieser Gleichung machen soll.
wär sehr lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte
mfg
Karlchen
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Hallo Karlchen,
[mm] $t\in\IR\backslash\{0\}$ [/mm] bedeutet, dass die Parameter $t$ deiner Funktion [mm] $f_t$ [/mm]
alle beliebigen reellen Zahlen [mm] \underline{\text{mit Ausnahme}} [/mm] der 0 sein dürfen.
[mm] $K_t$ [/mm] ist der Funktionsgraph der Funktion [mm] $f_t$, [/mm] also ist [mm] $K_t$ [/mm] eine Punktmenge im [mm] \IR^2, [/mm] nämlich die Menge aller Paare (Argument,Funktionswert) = [mm] (x,f_t(x))
[/mm]
Also [mm] $K_t=\{(x,f_t(x))\mid x\in D\}$
[/mm]
wobei D der Definitionsbereich von [mm] $f_t$ [/mm] sein soll.
[mm] \underline{\text{Frage}}: [/mm] Wie sieht D aus?
Nun zur eigentlichen Aufgabe.
Du sollst zeigen, dass für zwei beliebige, aber [mm] \underline{\text{verschiedene}} [/mm] Parameter [mm] $t_1,t_2$ [/mm] die Funktionen [mm] $f_{t_1}$ [/mm] und [mm] $f_{t_2}$ [/mm] je zwei gemeinsame Nullstellen [mm] $N_1,N_2$ [/mm] haben.
Dazu war dein Ansatz schon ganz gut.
Nimm dir also [mm] $t_1,t_2$ [/mm] her mit [mm] $t_1\ne t_2$
[/mm]
Dann berechne die Nullstellen von [mm] $f_{t_1}$ [/mm] und [mm] $f_{t_2}$
[/mm]
[mm] $f_{t_1}(x)=0 \gdw t_1-\frac{2t_1}{x^2}=0$
[/mm]
Um das zu lösen, bringen wir alles auf den Hauptnenner [mm] $x^2$
[/mm]
[mm] $\gdw \frac{t_1x^2-2t_1}{x^2}=0\gdw t_1x^2-2t_1=0\gdw t_1(x^2-2)=0$
[/mm]
Also hat [mm] $f_{t_1}$ [/mm] welche Nullstellen?
Die gleiche Überlegung kannst du mal mit [mm] $f_{t_2}$ [/mm] anstellen und schauen, welche gemeinsamen NST denn [mm] $f_{t_1}$ [/mm] und [mm] $f_{t_2}$ [/mm] haben
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 So 09.09.2007 | | Autor: | Karlchen |
>
> [mm]K_t[/mm] ist der Funktionsgraph der Funktion [mm]f_t[/mm], also ist [mm]K_t[/mm]
> eine Punktmenge im [mm]\IR^2,[/mm] nämlich die Menge aller Paare
> (Argument,Funktionswert) = [mm](x,f_t(x))[/mm]
>
> Also [mm]K_t=\{(x,f_t(x))\mid x\in D\}[/mm]
>
> wobei D der Definitionsbereich von [mm]f_t[/mm] sein soll.
>
> [mm]\underline{\text{Frage}}:[/mm] Wie sieht D aus?
>
sorry aber das check ich nicht, da bin ich glaub ich zu blöd für.
> [mm]\gdw \frac{t_1x^2-2t_1}{x^2}=0[red]\gdw t_1x^2-2t_1=0 [/red] \gdw t_1(x^2-2)=0[/mm]
>
ich versteh nich so ganz, wie du darauf kommst. Ich mein warum fällt der nenner [mm] x^{2} [/mm] auf einmal weg?
> Also hat [mm]f_{t_1}[/mm] welche Nullstellen?
>
wenn ich das jez richtig sehe, ist [mm] N_{1}=(\wurzel{2}/0) [/mm] und [mm] N_{2}=(-\wurzel{2}/0), [/mm] oder?
> Die gleiche Überlegung kannst du mal mit [mm]f_{t_2}[/mm] anstellen
> und schauen, welche gemeinsamen NST denn [mm]f_{t_1}[/mm] und
> [mm]f_{t_2}[/mm] haben
>
ich versteh das nich so ganz mit dem [mm] t_{1} [/mm] und [mm] t_{2}, [/mm] weil ich mein eigentlich ist es doch egal, was man dafür einsetzt, denn es kommt ja immer null heraus.
danke für deine mühe und sorry, dass ich so dumm bin^^
mfg
Karlchen
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Hi Karlchen,
> >
> > [mm]K_t[/mm] ist der Funktionsgraph der Funktion [mm]f_t[/mm], also ist [mm]K_t[/mm]
> > eine Punktmenge im [mm]\IR^2,[/mm] nämlich die Menge aller Paare
> > (Argument,Funktionswert) = [mm](x,f_t(x))[/mm]
> >
> > Also [mm]K_t=\{(x,f_t(x))\mid x\in D\}[/mm]
> >
> > wobei D der Definitionsbereich von [mm]f_t[/mm] sein soll.
> >
> > [mm]\underline{\text{Frage}}:[/mm] Wie sieht D aus?
> >
>
> sorry aber das check ich nicht, da bin ich glaub ich zu
> blöd für.
na der Definitionsbereich umfasst ja alle [mm] x\in\IR, [/mm] die du in die Funktionsvorschrigt einsetzen darfst.
Die ist [mm] f_t(x)=t-\frac{2t}{x^2}
[/mm]
Welche(s) x darf man auf [mm] \underline{\text{gar keinen Fall}} [/mm] einsetzen ?
 Also [mm] D_{f_t}=\IR\backslash\{...\}
[/mm]
> > [mm]\gdw \frac{t_1x^2-2t_1}{x^2}=0[red]\gdw t_1x^2-2t_1=0[/red] \gdw t_1(x^2-2)=0[/mm]
>
> >
>
> ich versteh nich so ganz, wie du darauf kommst. Ich mein
> warum fällt der nenner [mm]x^{2}[/mm] auf einmal weg?
Nun, ein Bruch ist genau dann =0, wenn sein Zähler =0 ist, der Nenner
darf ja nicht 0 werden, also habe ich mit [mm] x^2 [/mm] durchmultipliziert.
Das darf ich machen, weil [mm] x\ne [/mm] .... ist (s. Def.bereich)
> > Also hat [mm]f_{t_1}[/mm] welche Nullstellen?
> >
>
> wenn ich das jez richtig sehe, ist [mm]N_{1}=(\wurzel{2}/0)[/mm] und
> [mm]N_{2}=(-\wurzel{2}/0),[/mm] oder? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
jo, genau
>
> > Die gleiche Überlegung kannst du mal mit [mm]f_{t_2}[/mm] anstellen
> > und schauen, welche gemeinsamen NST denn [mm]f_{t_1}[/mm] und
> > [mm]f_{t_2}[/mm] haben
> >
>
> ich versteh das nich so ganz mit dem [mm]t_{1}[/mm] und [mm]t_{2},[/mm] weil
> ich mein eigentlich ist es doch egal, was man dafür
> einsetzt, denn es kommt ja immer null heraus.
ja genau das ist ja auch zu zeigen, dass [mm] \underline{\text{unabhängig}} [/mm] vom Parameter t,
also für beliebige Parameter t, die Funtion [mm] f_t [/mm] stets zwei gleiche NST hat
>
> danke für deine mühe und sorry, dass ich so dumm bin^^
Das nimmst du sofort zurück !!!!!
> mfg
> Karlchen
dito
schachuzipus
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