Funktion in x = 0 nicht diffb. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige: Die Funktion $f(x) = [mm] \ln\left(\frac{1}{1+|x|}\right) [/mm] + [mm] e^{x}$ [/mm] ist in $x=0$ nicht differenzierbar. |
Hallo!
Ich habe den Differenzenquotienten
[mm] $\frac{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \frac{ln\left(\frac{1}{1+|h|}\right) + e^{h} - 1}{h}$
[/mm]
aufgeschrieben und mit Hilfe von L'Hospital festgestellt, dass linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert verschieden sind. (Rechtsseitig: 0, linksseitig: 2).
1.: Darf ich L'Hospital anwenden?
2.: Gibt es schneller Möglichkeiten zur Lösung dieser Aufgabe?
Vielen Dank für Eure Hilfe und Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:13 Di 28.12.2010 | | Autor: | abakus |
> Zeige: Die Funktion [mm]f(x) = \ln\left(\frac{1}{1+|x|}\right) + e^{x}[/mm]
> ist in [mm]x=0[/mm] nicht differenzierbar.
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> Hallo!
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> Ich habe den Differenzenquotienten
>
> [mm]\frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \frac{ln\left(\frac{1}{1+|h|}\right) + e^{h} - 1}{h}[/mm]
>
> aufgeschrieben und mit Hilfe von L'Hospital festgestellt,
> dass linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert verschieden
> sind. (Rechtsseitig: 0, linksseitig: 2).
>
> 1.: Darf ich L'Hospital anwenden?
> 2.: Gibt es schneller Möglichkeiten zur Lösung dieser
> Aufgabe?
Hallo,
da [mm] e^x [/mm] sowieso differenzierbar ist, geht es ja nur darum, ob
[mm] \ln\left(\frac{1}{1+|x|}\right)=ln [/mm] 1 - ln (1+|x|) differenzierbar ist oder nicht. Du kannst dich also voll auf ln(1+|x|) konzentrieren.
Gruß Abakus
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> Vielen Dank für Eure Hilfe und Grüße,
> Stefan
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Huhu,
> 1.: Darf ich L'Hospital anwenden?
um das zu komplettieren: Nein.
> 2.: Gibt es schneller Möglichkeiten zur Lösung dieser
> Aufgabe?
Ja.
Zeige:
f(x) diffbar in 0 [mm] \Rightarrow [/mm] |x| diffbar in 0
was ein Widerspruch ist.
Den Anfang hat ja abakus schon gemacht.
MFG,
Gono.
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Hallo abakus, hallo Gonozal,
danke für eure Antworten!
Die zweite Frage ist nun geklärt.
> > 1.: Darf ich L'Hospital anwenden?
>
> um das zu komplettieren: Nein.
Wieso geht das nicht?
Die Funktion $g(h) = [mm] \ln\left(\frac{1}{1+h}\right) [/mm] + [mm] e^{h}$ [/mm] ist doch auf ganz [mm] $(0,\infty)$ [/mm] differenzierbar?
Somit:
[mm] $\lim_{h\to 0, h > 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0, h > 0}\frac{g(h)-1}{h} [/mm] = [mm] \lim_{h\to 0, h > 0}g'(h) [/mm] = 0.$
Was ist nicht erlaubt?
Grüße,
Stefan
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Huhu Stefan,
das kommt auf die Formulierung an, die IHR für L'Hospital verwendet habt.
Die gängige Formulierung ist (alle Voraussetzungen mal angenommen):
[mm] $\lim_{x\to x_0}\bruch{f'(x)}{g'(x)} [/mm] = c [mm] \in \IR\Rightarrow \lim_{x\to x_0}\bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] = c$
Das Problem ist hier, dass der Grenzwert an der Stelle [mm] x_0 [/mm] existieren muss, was er hier nicht tut.
Natürlich kann man auch den allgemeineren Fall nutzen, der nur für einseitige Grenzwerte formuliert ist, damit funktioniert dein Weg natürlich.
Allerdings wird dieser nur seltenst so in einer Vorlesung benutzt.
Grüße,
Gono.
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Hallo Gonozal_IX,
danke nochmal für deine Antwort 
Das mit dem zweiseitigen, nicht existenten Grenzwert sehe ich ein.
Tatsächlich wurde bei uns in der Vorlesung aber L'Hospital mit einseitigen Grenzwerten gemacht, das dürfte also gehen.
Grüße,
Stefan
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