Funktion in zwei Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Beweise:
[mm]f(x,y):=\sqrt{1+x^{2}+y^2}[/mm] lässt sich darstellen als
[mm]\summe_{i=1}^{\infty} {\summe_{j=1}^{\infty} c_{ij} x^{2i} y^{2j}}[/mm] |
Grüße
Habe Probleme mit obiger Aufgabe und vermute einen Fehler in der Aufgabenstellung.
Meine bisherigen Ansätze sind:
[mm]\sqrt{1+x^{2}+y^2}=\sqrt{1+a} \quad a:=x^2+y^2[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} a^i[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} (x^2+y^2)^i[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} \summe_{j=1}^{\infty} \vektor{i\\j} x^{2j}y^{2i-2j}[/mm]
[mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \summe_{j=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} \vektor{i\\j} x^{2j}y^{2i-2j}[/mm]
so, hier sehe ich kein Weiterkommen.
wäre nett wenn mit jemand entweder bestätigen könnte, das die Aufgabenstellung so fehlerhaft ist oder mir sagt wie es weitergeht.
Danke für die Hilfe
Phorkyas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Sa 21.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Beweise:
> [mm]f(x,y):=\sqrt{1+x^{2}+y^2}[/mm] lässt sich darstellen als
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} {\summe_{j=1}^{\infty} c_{ij} x^{2i} y^{2j}}[/mm]
>
> Grüße
>
> Habe Probleme mit obiger Aufgabe und vermute einen Fehler
> in der Aufgabenstellung.
Hallo,
ich lese aus der Summe heraus, dass der Graph der Funktion f(x,y) sowohl zur x-Achse als auch zur y-Achse symmetrisch ist (bzw. sein muss), da alle Potenzen nur mit geraden Exponenten vorkommen.
Lässt sich das nicht leicht bestätigen?
Gruß Abakus
> Meine bisherigen Ansätze sind:
> [mm]\sqrt{1+x^{2}+y^2}=\sqrt{1+a} \quad a:=x^2+y^2[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} a^i[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} (x^2+y^2)^i[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} \summe_{j=1}^{\infty} \vektor{i\\j} x^{2j}y^{2i-2j}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \summe_{j=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} \vektor{i\\j} x^{2j}y^{2i-2j}[/mm]
>
> so, hier sehe ich kein Weiterkommen.
> wäre nett wenn mit jemand entweder bestätigen könnte, das
> die Aufgabenstellung so fehlerhaft ist oder mir sagt wie es
> weitergeht.
>
> Danke für die Hilfe
> Phorkyas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:17 Sa 21.03.2009 | | Autor: | Phorkyas |
Ich verstehe nicht, was die Symmetrie der Funktion mit der Fragestellung zu tun hat. Kannst du das erläutern?
Gruß, Phorkyas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 So 22.03.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich verstehe nicht, was die Symmetrie der Funktion mit der
> Fragestellung zu tun hat. Kannst du das erläutern?
>
> Gruß, Phorkyas
Wenn in sämtlichen Summenden alle vorkommenden Potenzen nur mit geraden Exponenenten vorkommen, sind die daraus entstehenden Funktionswerte f(x,y) und f(x,-y) identisch, ebenso f(x,y) und f(-x,y). Sie wären es nicht, wenn irgendein Exponent ungerade wäre.
Und die gegebene Funktion IST doch symmetrisch, kann deshalb nicht als Summe "unsymmetrischer" Summanden entstanden sein.
Gruß Abakus
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Hallo Phorkyas,
> Beweise:
> [mm]f(x,y):=\sqrt{1+x^{2}+y^2}[/mm] lässt sich darstellen als
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} {\summe_{j=1}^{\infty} c_{ij} x^{2i} y^{2j}}[/mm]
>
> Grüße
>
> Habe Probleme mit obiger Aufgabe und vermute einen Fehler
> in der Aufgabenstellung.
> Meine bisherigen Ansätze sind:
> [mm]\sqrt{1+x^{2}+y^2}=\sqrt{1+a} \quad a:=x^2+y^2[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} a^i[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} (x^2+y^2)^i[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} \summe_{j=1}^{\infty} \vektor{i\\j} x^{2j}y^{2i-2j}[/mm]
Hier muß stehen:
[mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} \summe_{j={ \red{0} }}^{{ \red{i} }} \vektor{i\\j} x^{2j}y^{2i-2j}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{i=1}^{\infty} \summe_{j=1}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} \vektor{i\\j} x^{2j}y^{2i-2j}[/mm]
>
> so, hier sehe ich kein Weiterkommen.
> wäre nett wenn mit jemand entweder bestätigen könnte, das
> die Aufgabenstellung so fehlerhaft ist oder mir sagt wie es
> weitergeht.
Der einzigste Fehler ist, wohl der, daß
[mm]\summe_{i={ \red{0} } }^{\infty} { \summe_{j={ \red{0} } }^{\infty} c_{ij} x^{2i} y^{2j} }[/mm]
>
> Danke für die Hilfe
> Phorkyas
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 22.03.2009 | | Autor: | Phorkyas |
Die Summe sollte natürlich von 0 beginnen, das ist wahr.
Das war ein Schreibfehler der sich auch in die Aufgabenstellung übertrug.
$ [mm] =\summe_{i=0}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} \summe_{j=0}^{\infty} \vektor{i\\j} x^{2j}y^{2i-2j} [/mm] $
Hier allerdings kam das [mm]\infty[/mm] aus der Überlegung, dass ab em Punkt wo die Summe bis i läuft für alle weiteren Summanden 0 ergeben.
War mir an diesem Schritt allerdings auch nicht ganz sicher.
Trotz allem sehe ich noch keine Möglichkeit wie ich zu obiger Form kommen soll.
Grüße
Phorkyas
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Hallo Phorkyas,
> Die Summe sollte natürlich von 0 beginnen, das ist wahr.
> Das war ein Schreibfehler der sich auch in die
> Aufgabenstellung übertrug.
>
> [mm]=\summe_{i=0}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ i} \summe_{j=0}^{\infty} \vektor{i\\j} x^{2j}y^{2i-2j}[/mm]
>
> Hier allerdings kam das [mm]\infty[/mm] aus der Überlegung, dass ab
> em Punkt wo die Summe bis i läuft für alle weiteren
> Summanden 0 ergeben.
>
> War mir an diesem Schritt allerdings auch nicht ganz
> sicher.
>
> Trotz allem sehe ich noch keine Möglichkeit wie ich zu
> obiger Form kommen soll.
Ziel ist die Darstellung
[mm]\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{l=0}^{\infty} c_{kl}x^{2k}y^{2l}[/mm]
Ein Vergleich mit obiger Darstellung liefert:
[mm]j=k, i-j=l \Rightarrow i=j+l=k+l[/mm]
Das liefert:
[mm]=\summe_{k=0}^{\infty} \summe_{l=0}^{\infty} \vektor{\bruch{1}{2} \\ k+l}\vektor{k+l \\ l} x^{2k}y^{2l}[/mm]
>
> Grüße
> Phorkyas
Gruß
MathePower
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