Funktion injektiv? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Diophant |
| Aufgabe | | Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR\to\IR [/mm] mit f: [mm] x\mapsto x^3-2x. [/mm] Man zeige, dass die Funktion f nicht injektiv ist, wohl aber ihre Einschränkung [mm] f|\IQ. [/mm] |
Hallo zusammen,
an der obigen Aufgabe habe ich mir bisher die Zähne ausgebissen. Der erste Teil ist ja leicht durch Angabe der drei Nullstellen zu zeigen, aber mit der Injektivität der auf [mm] \IQ [/mm] eingeschränkten Funktion komme ich nicht weiter.
Man kann ja f(x)=f(y) setzen und kommt damit unter der Annahme [mm] x\not=y [/mm] leicht auf die Gleichung
[mm] x^2+xy+y^2=2.
[/mm]
Laut Aufgabenstellung dürfte diese Gleichung jetzt eigentlich nur noch für Zahlenpaare (x,y) gelten, bei denen mindestens eine der beiden Zahlen irrational ist. Aber wie zeige ich das am besten? - Oder bin ich völlig auf dem Holzweg?
Vielen Dank im Voraus wieder für jede Antwort!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Stoecki |
Ich lasse die Frage mal offen, falls wem was besseres einfällt, aber unter der Annahme, dass du richtig gerechnet hast, würde ich das jetzt mal nach x auflösen und mir überlegen, welchen Wert man in Abhängigkeit von y für x heraus bekommt. (zum Beispiel unter der Annahme, dass y [mm] \in \IQ [/mm] gelte)
Gruß Bernhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo Bernhard,
[mm] x=\bruch{-y\pm\wurzel{8-3y^2}}{2}
[/mm]
und jetzt die Gleichung
[mm] z^2=8-3y^2
[/mm]
betrachten. Ok, mir ist nur noch nicht ganz klar, wie man jetzt zeigt, dass diese Gleichung keine rationale Lösung besitzt. Vielleicht ist es ja morgendlicher Bodennebel? 
Vielen Dank für deine Antwort!
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
> [mm]x=\bruch{-y\pm\wurzel{8-3y^2}}{2}[/mm]
>
> und jetzt die Gleichung
>
> [mm]z^2=8-3y^2[/mm]
>
> betrachten. Ok, mir ist nur noch nicht ganz klar, wie man
> jetzt zeigt, dass diese Gleichung keine rationale Lösung
> besitzt. Vielleicht ist es ja morgendlicher Bodennebel?
>
Setzen wir mal [mm] z=\bruch{a}{b} [/mm] und [mm] y=\bruch{c}{d}
[/mm]
Wegen der Beschaffenheit der Gleichung (Quadrate) dürfen wir [mm] a,b,c,d\in\IN [/mm] voraussetzen.
Dann ist [mm] \bruch{a^2}{b^2}=8-3*\bruch{c^2}{d^2}\quad\gdw\quad a^2d^2=8b^2d^2-3b^2c^2
[/mm]
Ich ersetze [mm] r_0=ad, s_0=bd, t_0=bc [/mm] mit [mm] r_0,s_0,t_0\in\IN.
[/mm]
Wir haben also die diophantische  Gleichung [mm] \blue{r_0^2=8s_0^2-3t_0^2}
[/mm]
Nun hilft eine Betrachtung [mm] \mod{3}. [/mm] Da fallen Quadrate in die Restklassen [0] oder [1], nicht aber in [2].
Es gilt also [mm] r_0^2\equiv 2s_0^2\mod{3}. [/mm]
Daraus folgt [mm] s_0\equiv r_0\equiv 0\mod{3}. [/mm] Wir setzen also [mm] r_0=3r_1, s_0=3s_1
[/mm]
Unsere Gleichung wird zu [mm] 3r_1^2=24s_1^2-t_0^2, [/mm] woraus folgt [mm] t_0=3t_1.
[/mm]
Eingesetzt und gekürzt: [mm] r_1^2=8s_1^2-3t_1^2
[/mm]
Das ist aber im Prinzip die blaue Gleichung von oben. Wir müssten diese Betrachtung und Ersetzung also ad infinitum vornehmen; die Gleichung ist also nicht lösbar.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo reverend,
vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Zum einen sieht man mal wieder, dass mein Nickname purem Wunschdenken entsprungen ist, leider gehört die Zahlentheorie und damit das wunderschöne Gebiet der Diophantischen Gleichungen nicht gerade zu meinen Stärken. Bis jetzt wenigstens.
Zum anderen: ich dachte zunächst, die Aufgabe müsste leichter zu knacken sein. Sie entstammt dem Buch Algebraische Strukturen von Serge Lang, und es scheint bei diesem Autor typisch zu sein, dass immer mal wieder, zwischen kleinen Häppchen sozusagen, ein schwereres Kaliber von Aufgabe versteckt ist. Sie macht an der Stelle wo sie steht, aber durchaus Sinn. Es ging in dem Kapitel um Abbildungen, im vorigen aber u.a. um Kongruenzrechnung, und daran sollte man sich wohl zurückereinnern, was du ja eindrucksvoll vorgeführt hast.
Die Frage ist für mich damit geklärt. Kann ich eigentlich irgendwie meine Ausgangsfrage ebenfalls als geklärt markieren, oder könnte ein Moderator dies tun?
Ich bin ja hier zwar schon länger angemeldet, aber noch nicht sehr lange aktiv, daher bin ich mit der Bedienung des Forums teilweise noch etwas unsicher. Bei der Gelegenheit möchte ich aber mal loswerden, dass dieses Forum hier echt klasse ist. Neben der fachlichen Kompetenz, die man in anderen Foren auch hat, gefällt mir hier der respektvolle Umgang miteinander wirklich sehr gut.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:47 Mo 18.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben sei die Funktion f: [mm]\IR\to\IR[/mm] mit f: [mm]x\mapsto x^3-2x.[/mm]
> Man zeige, dass die Funktion f nicht injektiv ist, wohl
> aber ihre Einschränkung [mm]f|\IQ.[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> an der obigen Aufgabe habe ich mir bisher die Zähne
> ausgebissen. Der erste Teil ist ja leicht durch Angabe der
> drei Nullstellen zu zeigen, aber mit der Injektivität der
> auf [mm]\IQ[/mm] eingeschränkten Funktion komme ich nicht weiter.
>
> Man kann ja f(x)=f(y) setzen und kommt damit unter der
> Annahme [mm]x\not=y[/mm] leicht auf die Gleichung
>
> [mm]x^2+xy+y^2=2.[/mm]
>
> Laut Aufgabenstellung dürfte diese Gleichung jetzt
> eigentlich nur noch für Zahlenpaare (x,y) gelten, bei
> denen mindestens eine der beiden Zahlen irrational ist.
> Aber wie zeige ich das am besten? - Oder bin ich völlig
> auf dem Holzweg?
Angenommen, es gibt $x, y [mm] \in \IQ$ [/mm] mit [mm] $x^2 [/mm] + x y + [mm] y^2 [/mm] = 2$. Schreibe $x = [mm] \frac{a}{c}$, [/mm] $y = [mm] \fac{b}{c}$ [/mm] mit $a, b, c [mm] \in \IZ$ [/mm] teilerfremd (d.h. $ggT(a, b, c) = 1$).
Dann gilt [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2 [/mm] = 2 c$. Die rechte Seite ist offensichtlich gerade.
Es gibt vier Faelle:
Fall 1: $a$ und $b$ sind ungerade. In dem Fall ist [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2$ [/mm] ungerade, und man hat einen Widerspruch.
Fall 2 und 3: eins von $a$ und $b$ ist gerade, das andere ungerade. Da der Ausdruck symmetrisch ist nehmen wir an, $a$ ist gerade und $b$ ist ungerade. Dann steht da [mm] $b^2 [/mm] = 2 (c - [mm] \frac{a b}{2} [/mm] - [mm] \frac{a^2}{2})$, [/mm] wobei $c - [mm] \frac{a b}{2} [/mm] - [mm] \frac{a^2}{2}$ [/mm] eine ganze Zahl ist. Aber [mm] $b^2$ [/mm] ist nicht gerade, da $b$ nicht gerade ist. Also haben wir einen Widerspruch.
Fall 4: $a$ und $b$ sind gerade. In dem Fall ist [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2$ [/mm] ungerade, aber $2 c$ ist gerade. Widerspruch.
Edit: Der Fall 4 stimmt nicht ganz. Wenn $a$ und $b$ gerade ist, dann ist [mm] $a^2 [/mm] + a b + [mm] b^2$ [/mm] durch 4 teilbar, $c$ ist also gerade. Aber dann ist 2 ein Teiler von $ggT(a, b, c)$, was ein Widerspruch zur Teilerfremdheit ist.
Es kann also keine solche $x, y [mm] \in \IZ$ [/mm] geben.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mo 18.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo Felix,
im Prinzip kann ich mir jetzt nur noch an den Kopf klatschen, so einfach geht das...
Aber bei deinem 4. Fall verstehe ich etwas nicht: muss das nicht sinngemäß heißen, dass aus a, b gerade folgt, dass c ungerade ist (wegen der Teilerfremdheit), andererseits aber [mm] 4|a^2+ab+b^2 [/mm] gilt, was ein Widerspruch ist?
Auch dir vielen Dank für deine Antwort.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mo 18.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Diophant,
> im Prinzip kann ich mir jetzt nur noch an den Kopf
> klatschen, so einfach geht das...
das ist uebrigens das gleiche, als wenn man die Gleichung modulo 2 anschaut
> Aber bei deinem 4. Fall verstehe ich etwas nicht: muss das
> nicht sinngemäß heißen, dass aus a, b gerade folgt, dass
> c ungerade ist (wegen der Teilerfremdheit), andererseits
> aber [mm]4|a^2+ab+b^2[/mm] gilt, was ein Widerspruch ist?
Aeh, ja. Danke fuer den Hinweis, da war ich noch nicht ganz wach
LG Felix
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