Funktion ist bzgl. Norm CF < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] I=[0,2\pi], f_{n}(x)=sinx-\bruch{sin(2x)}{2}+\bruch{sin(3x)}{3}...+(-1)^{n-1}\bruch{sin(nx)}{n}. [/mm] Zeige: [mm] f_{n} [/mm] ist bzgl. der Norm [mm] \parallel g\parallel_{2}=\wurzel{\integral_{0}^{2\pi}{g(t)^{2} dt}} [/mm] eine Cauchyfolge und [mm] f_{n} \in [/mm] C(I) (=reeller Vektorraum der stetigen Funktionen) |
Wie genau muss ich hier vorgehen? Zuerst zeigen, dass für m>n gilt
[mm] \parallel f_{m}-f_{n}\parallel [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] ? Ich bin bzgl. der Norm etwas irritiert, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:23 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]I=[0,2\pi], f_{n}(x)=sinx-\bruch{sin(2x)}{2}+\bruch{sin(3x)}{3}...+(-1)^{n-1}\bruch{sin(nx)}{n}.[/mm]
> Zeige: [mm]f_{n}[/mm] ist bzgl. der Norm [mm]\parallel g\parallel_{2}=\wurzel{\integral_{0}^{2\pi}{g(t)^{2} dt}}[/mm]
> eine Cauchyfolge und [mm]f_{n} \in[/mm] C(I) (=reeller Vektorraum
> der stetigen Funktionen)
> Wie genau muss ich hier vorgehen? Zuerst zeigen, dass für
> m>n gilt
>
> [mm]\parallel f_{m}-f_{n}\parallel[/mm] < [mm]\epsilon[/mm] ? Ich bin bzgl.
> der Norm etwas irritiert, ich hoffe ihr könnt mir helfen.
was irritiert Dich daran? Du hast zu zeigen:
Zu jedem beliebigem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ (und sei es auch noch so klein) existiert ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN\,,$ [/mm] so dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $$\|f_n-f_m\| [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
(Dabei kann man das [mm] $\ge$ [/mm] bei $n,m [mm] \ge [/mm] N$ auch durch [mm] $>\,$ [/mm] ersetzen und das letzte $<$ auch durch [mm] $\le\,.$ [/mm] Alle vier Kombinationsmöglichkeiten bei diesen Zeichen sind erlaubt und liefern einander äquivalente Definitionen.)
Wenn's Dir unklar ist: In einem metrischen Raum [mm] $(X,d)\,$ [/mm] heißt [mm] $(x_n)_n \in X^{\IN}$ [/mm] Cauchyfolge, wenn es zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ (hier würde übrigens [mm] $\epsilon \ge [/mm] 0$ keinen Sinn machen!) ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN$ [/mm] gibt, so dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $$d(x_n,x_m) [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
In einem normierten Raum [mm] $(N,\|\,.\|)$ [/mm] nimmt man, wenn sonst nichts weiteres gesagt wird, an, dass man ihn mit der von der Norm durch
[mm] $$d(a,b):=\|a-b\|\;\;\;(a,b \in [/mm] N)$$
induzierten Metrik betrachtet. So wird das dann "in natürlicher Weise" zu einem metrischen Raum [mm] $(N,d)\,.$
[/mm]
Bei Dir oben heißt das:
$$f,g [mm] \in [/mm] C(I) [mm] \Rightarrow d(f,g)=\|f-g\|\,,$$
[/mm]
also wenn [mm] $(f_n)_n \in C(I)^{\IN}$ [/mm] eine Cauchyfolge in $C(I)$ ist, so wird dies charakterisiert durch:
Zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $N=N_\epsilon \in \IN\,,$ [/mm] so dass für alle $n,m [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $$d(f_n,f_m)=\|f_n-f_m\|=\sqrt{\int_0^{2\pi}|f_n(t)-f_m(t)|^2 dt} [/mm] < [mm] \epsilon\,.$$
[/mm]
P.S.:
Ich habe am Ende extra $| [mm] .|^2$ [/mm] geschrieben. Da die Funktionen reellwertig sind, ist das egal, dann für $r [mm] \in \IR$ [/mm] gilt [mm] $r^2=|r|^2\,.$ [/mm] Sobald Du aber mit komplexwertigen Funktionen zu tun haben wirst, wirst Du sehen, warum ich das hier schon so geschrieben habe!
Gruß,
Marcel
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Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Zuerst möchte ich also zeigen, dass es sich bei [mm] f_{n}(x) [/mm] um eine Cauchyfolge handelt. Ich bin mir nur nicht sicher wie ich das am besten anstellen soll. [mm] f_{n}(x) [/mm] lässt sich mit [mm] sin(kx)\le [/mm] 1, folgenderweise abschätzen:
[mm] f_{n}(x)\le \summe_{i=1}^{n}(-1)^n\bruch{1}{n}
[/mm]
In meinem Skriptum findet sich auch folgende Zeile vor, vielleicht hilft diese weiter:
[mm] "\parallel s_{m}-s_{n}\parallel [/mm] = [mm] \parallel a_{n+1}+...+a_{m}\parallel \le \parallel a_{n+1}\parallel +...+\parallel a_{m}\parallel <\epsilon [/mm] Daher ist [mm] s_{n} [/mm] eine Cauchyfolge => lim [mm] s_{n} [/mm] existiert"
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Mo 16.05.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Zuerst
> möchte ich also zeigen, dass es sich bei [mm]f_{n}(x)[/mm] um eine
> Cauchyfolge handelt. Ich bin mir nur nicht sicher wie ich
Schreib $ [mm] d(f_n,f_m)=\|f_n-f_m\|=\sqrt{\int_0^{2\pi}|f_n(t)-f_m(t)|^2 dt} [/mm] $ für n < m
und für [mm] $f_n(t)$ [/mm] und [mm] $f_m(t)$ [/mm] die Funktionsgleichungen eingesetzt auf
und versuche das Integral auszurechnen.
> das am besten anstellen soll. [mm]f_{n}(x)[/mm] lässt sich mit
> [mm]sin(kx)\le[/mm] 1, folgenderweise abschätzen:
>
> [mm]f_{n}(x)\le \summe_{i=1}^{n}(-1)^n\bruch{1}{n}[/mm]
>
Vielleicht nützt es etwas um das Integral abzuschätzen.
> In meinem Skriptum findet sich auch folgende Zeile vor,
> vielleicht hilft diese weiter:
> [mm]"\parallel s_{m}-s_{n}\parallel[/mm] = [mm]\parallel a_{n+1}+...+a_{m}\parallel \le \parallel a_{n+1}\parallel +...+\parallel a_{m}\parallel <\epsilon[/mm]
Nützt etwas wenn [mm] $\parallel a_{n+1}\parallel +...+\parallel a_{m}\parallel$ [/mm] klein genug wird.
(Das ist, was man eigentlich zeigen muss.)
> Daher ist [mm]s_{n}[/mm] eine Cauchyfolge => lim [mm]s_{n}[/mm] existiert"
>
Gruß
meili
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Wir setzen
$ [mm] g_n(x):=(-1)^{n-1}\bruch{sin(nx)}{n}$
[/mm]
Für m>n ist wegen den Orthogonalitätsrelationen
(http://www.mathepedia.de/Orthogonalitaetsrelationen.aspx):
[mm] $||f_n-f_m||_2^2= ||g_{n+1}||_2^2+...+||g_m||_2^2
[/mm]
Weiter ist
[mm] $||g_k||_2^2= \integral_{0}^{2 \pi}{g_k(x)^2 dx} \le [/mm] 2 [mm] \pi*\bruch{1}{k^2}$
[/mm]
Mit [mm] $b_n:= \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}$ [/mm] ist dann:
[mm] $||f_n-f_m||_2^2 \le [/mm] 2 [mm] \pi(b_n-b_m)$ [/mm] (m>n)
Warum ist [mm] (b_n) [/mm] eine Cauchyfolge in [mm] \IR [/mm] ?
Warum ist dann [mm] (f_n) [/mm] eine Cauchyfolge ?
FRED
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Vielen Dank für eure Antworten.
Zu der Frage warum [mm] b_{n} [/mm] eine CF sein muss; [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2} [/mm] ist konvergent, daraus folgt das [mm] b_{n} [/mm] eine CF ist.
Daraus folgt ja unmittelbar, dass [mm] ||f_n-f_m||_2 <\epsilon [/mm] sein muss => [mm] f_{n} [/mm] = Cauchyfolge, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für eure Antworten.
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> Zu der Frage warum [mm]b_{n}[/mm] eine CF sein muss;
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k^2}[/mm] ist konvergent, daraus folgt
> das [mm]b_{n}[/mm] eine CF ist.
>
> Daraus folgt ja unmittelbar, dass [mm]||f_n-f_m||_2 <\epsilon[/mm]
> sein muss => [mm]f_{n}[/mm] = Cauchyfolge, oder?
Ja
FRED
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