Funktion linearisieren < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 So 20.09.2015 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen könnt :)
Ich habe folgende Funktion:
R(T) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}
[/mm]
Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es dann richtig, wenn ich schreibe:
R_lin(T,To) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] + Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] * (T-To)
Vielen Dank für eure Hilfe :)
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Hallo Dom_89,
> Hallo,
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> ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen
> könnt :)
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> Ich habe folgende Funktion:
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> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
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> Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es
> dann richtig, wenn ich schreibe:
>
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm] * (T-To)
>
Das soll ja eine lineare Funktion werden.
Demnach müssen die blau markierten Ausdrücke konstant sein:
[mm]R_{lin}(T,To) = \blue{Ro * exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}}
+ \blue{Ro * exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}}* (T-To)[/mm]
Die Ableitung der Funktion, das ist der Teil vor [mm]T-T_{0}[/mm],
stimmt nicht.
> Vielen Dank für eure Hilfe :)
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:56 Mo 21.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine kleine Frage und hoffe, dass ihr mir helfen
> könnt :)
>
> Ich habe folgende Funktion:
>
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>
> Nun möchte ich die Funktion gerne linearisieren. Ist es
> dann richtig, wenn ich schreibe:
>
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm] * (T-To)
Das stimmt hinten und vorne nicht !
Sei I ein Intervall in [mm] \IR, [/mm] f:I [mm] \to \IR [/mm] eine Funktion und f sei in [mm] x_0 \in [/mm] I differenzierbar. Dann lautet die Linearisierung von f in [mm] x_0 [/mm] so:
[mm] y(x)=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).
[/mm]
Das ist gerade die Gleichung der Tangente von f im Punkt [mm] (x_0,f(x_0).
[/mm]
Jetzt zu Deiner Funktion
$R(T) = [mm] R_0 [/mm] * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{T_0}))} [/mm] $
Hier ist [mm] x_0=T_0 [/mm] und damit
[mm] R(x_0)=R(T_0)=R_0 [/mm] ,
$R'(T)= [mm] R_0 [/mm] * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{T_0}))}*(-\bruch{B}{T^2}),$
[/mm]
also
[mm] $R'(x_0) =R'(T_0)=-\bruch{R_0 B}{T_0^2}.$
[/mm]
Die Gleichung der fraglichen Tangente ist also
[mm] y(T)=-\bruch{R_0 B}{T_0^2}(T-T_0)+R_0.
[/mm]
FRED
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> Vielen Dank für eure Hilfe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 21.09.2015 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo zusammen,
ich bin nun nach einiger Überlegung zu folgenden Ergebnis gekommen:
R(T) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}
[/mm]
R_lin(T,To) = Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))} [/mm] + Ro * [mm] exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To})*(-\bruch{B}{To^{2}})} [/mm] * (T-To)
Ist dies so richtig ? Falls ja, kann ich hier ggf. noch weiter kürzen ?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Mo 21.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> ich bin nun nach einiger Überlegung zu folgenden Ergebnis
> gekommen:
>
> R(T) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
>
>
> R_lin(T,To) = Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To}))}[/mm]
> + Ro * [mm]exp^{(B(\bruch{1}{T} - \bruch{1}{To})*(-\bruch{B}{To^{2}})}[/mm]
> * (T-To)
>
> Ist dies so richtig ?
NEIN, HAST DU MEINE ANTWORT IN DIE MÜLLTONNE GETRETEN ?
Fred
Falls ja, kann ich hier ggf. noch
> weiter kürzen ?
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Mo 21.09.2015 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo Fred,
leider habe ich deine vorangegangenen Antwort vorhin nicht richtig lesen können.
Bedeutet das nun, dass die Funktion y (T) , die du zu letzt geschrieben hast , nun bereits die linearisisierte Funktion ist, oder muss ich da noch etwas ergänzen?
Danke und Gruss
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Hallo Dom,
> Hallo Fred,
>
> leider habe ich deine vorangegangenen Antwort vorhin nicht
> richtig lesen können.
>
> Bedeutet das nun, dass die Funktion y (T) , die du zu letzt
> geschrieben hast , nun bereits die linearisisierte Funktion
> ist,
Ja
> oder muss ich da noch etwas ergänzen?
Nö, ich wüsste nicht, was ... Fred hat es doch ausführlich vorgemacht.
> Danke und Gruss
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Di 22.09.2015 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
zuerst einmal vielen Dank für eure bisherige Hilfe :)
Ich möchte nun einmal folgende Werte in die Ausgangsfunktion und in die linearisierte Funktion einsetzten:
Ro = 20000 [mm] \Omega [/mm] ; B = 3000 K ; To = 273,15 K ; T = 373,15 K
R(373,15 K) = R(T) = 20000 [mm] \Omega [/mm] * [mm] exp^{(3000 K(\bruch{1}{373,15 K
} - \bruch{1}{273,15 K}))}
[/mm]
R(373,15 K) = 1053,82 [mm] \Omega
[/mm]
[mm] R_{lin}(373,15 K)=-\bruch{20000 \Omega * 3000 K}{(273,15 K)^2}(373,15 [/mm] K-273,15 K)+ 20000 [mm] \Omega
[/mm]
[mm] R_{lin}(373,15 [/mm] K) = - 60417,18 [mm] \Omega
[/mm]
Dies kann meiner Meinung ja aber nicht so stimmen (die Werte sollten ziemlich nahe beieinander liegen)!
Was mache ich hier falsch ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Di 22.09.2015 | | Autor: | chrisno |
Der Fehler liegt im Ansatz.
Du linearisierst bei [mm] $T_0 [/mm] = 273,15$K. Dann Sollten für Werte wie $T = 273,16$K gute Näherungen entstehen. Aber doch nicht für einen Temperaturunterschied von 100 K!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:13 Mi 23.09.2015 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort!
Könntest du mir einmal ein venünftiges Zahlenbeispiel, wo dann für beide Gleichungen venünftige Werte raus kommen, nennen?
Vielen Dank
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Mi 23.09.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> vielen Dank für die Antwort!
>
> Könntest du mir einmal ein venünftiges Zahlenbeispiel, wo
> dann für beide Gleichungen venünftige Werte raus kommen,
> nennen?
chrisno hats doch gesagt: nimm mal T = 273,16K
Die Linearisierung in [mm] T_0 [/mm] approximiert die Funktion in der "Nähe" von [mm] T_0 [/mm] !
FRED
>
> Vielen Dank
>
> Gruß
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