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| Aufgabe | Sei [mm] \alpha \in \IR [/mm] und sei [mm] f:\IR^{n} \to \IR [/mm] eine [mm] C^{2}-Funktion [/mm] die
[mm] f(\lambda[b]x[/b])=\lambda^{\alpha}f([b]x[/b]) [/mm] für alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] \ {0} und jedes [mm] \lambda [/mm] >0 erfüllt.
Drücke [mm] \Delta [/mm] f(x)*x in f(x) aus.
Drücke für den Fall n=2 [mm] \Delta f=f_{xx}+f_{yy} [/mm] in den θ-Ableitungen nullter, erster und zweiter Ordnung aus.
Anmerkungen: x steht hier für eine Punktmenge [mm] (x_{1},...x_{n}) [/mm] aus dem Definitionsbereich der Funktion. [mm] \Delta [/mm] steht hier für den Gradienten. Bei r und θ sind die Polarkoordinaten gemeint. |
Guten Abend!
Ich habe mich bereits den ganzen Tag mit dieser Aufgabe auseinandergesetzt, finde aber leider nicht einmal einen Ansatz zur Lösung dieser beiden Teilaufgaben. Mir ist überhaupt nicht klar, wie ich die beiden Verhältnisse hinsichtlich des Gradienten nachweisen kann.
Für einen Denkanstoß in die richtige Richtung wäre ich sehr dankbar!
Mit besten Grüßen und einen schönen Abend!
mathe_thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Mo 02.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]\alpha \in \IR[/mm] und sei [mm]f:\IR^{n} \to \IR[/mm] eine
> [mm]C^{2}-Funktion[/mm] die
> [mm]f(\lambda[b]x[/b])=\lambda^{\alpha}f([b]x[/b])[/mm] für alle x [mm]\in \IR^{n}[/mm] \
> {0} und jedes [mm]\lambda[/mm] >0 erfüllt.
> Drücke [mm]\Delta[/mm] f(x)*x in f(x) aus.
??? Ich lasse den blöden Fettdruck mal weg. Oben steht gewiss kein [mm] \Delta, [/mm] sondern [mm] \nabla
[/mm]
Gemeint ist also [mm] (\nabla [/mm] f)(x), also $f'(x)$
Ich verrate es Dir:
es gilt $ [mm] (\nabla f)(x)*x=\alpha [/mm] f(x)$
Dazu stze [mm] g(\lambda):=f(\lambda*x) [/mm] und berechne g'(1) einmal mit der Kettenregel und dann mit Hilfe der Gleichung
$ [mm] f(\lambda*x)= \lambda^{\alpha}f(x)$
[/mm]
> Drücke für den Fall n=2 [mm]\Delta f=f_{xx}+f_{yy}[/mm] in den
> θ-Ableitungen nullter, erster und zweiter Ordnung aus.
Hier ist wirklich [mm] \Delta [/mm] gemeint, der Laplace_Operator.
> Anmerkungen: x steht hier für eine Punktmenge
> [mm](x_{1},...x_{n})[/mm] aus dem Definitionsbereich der Funktion.
Punktmenge ??? Eher: Element des Definitionsbereiches.
FRED
> [mm]\Delta[/mm] steht hier für den Gradienten. Bei r und θ sind
> die Polarkoordinaten gemeint.
> Guten Abend!
>
> Ich habe mich bereits den ganzen Tag mit dieser Aufgabe
> auseinandergesetzt, finde aber leider nicht einmal einen
> Ansatz zur Lösung dieser beiden Teilaufgaben. Mir ist
> überhaupt nicht klar, wie ich die beiden Verhältnisse
> hinsichtlich des Gradienten nachweisen kann.
> Für einen Denkanstoß in die richtige Richtung wäre ich
> sehr dankbar!
>
> Mit besten Grüßen und einen schönen Abend!
> mathe_thommy
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Guten Abend FRED!
Ich danke dir für deine ausführliche Antwort!
Leite ich [mm] g(\lambda)=f(\lambda*x) [/mm] mit Hilfe der Kettenregel ab, erhalte ich [mm] g'(\lambda)=x*f'(\lambda*x), [/mm] sodass g'(1)=x*f'(x). Leider erkenne ich keinen Zusammenhang zu deiner zweiten Gleichung [mm] f(\lambda*x)=\lambda^{\alpha}*f(x).
[/mm]
Könntest du mir dabei eventuell noch einmal helfen?
Besten Dank und einen angenehmen Abend!
mathe_thommy
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Mo 02.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Guten Abend FRED!
>
> Ich danke dir für deine ausführliche Antwort!
>
> Leite ich [mm]g(\lambda)=f(\lambda*x)[/mm] mit Hilfe der Kettenregel
> ab, erhalte ich [mm]g'(\lambda)=x*f'(\lambda*x),[/mm] sodass
> g'(1)=x*f'(x). Leider erkenne ich keinen Zusammenhang zu
> deiner zweiten Gleichung
> [mm]f(\lambda*x)=\lambda^{\alpha}*f(x).[/mm]
diese gleichung gehört nicht mir ...
dass f dieser gleichung genügt, ist doch Voraussetzung !!
differenziere die rechte Seite der Gleichung, die nicht mir gehört
fred
> Könntest du mir dabei eventuell noch einmal helfen?
>
> Besten Dank und einen angenehmen Abend!
>
> mathe_thommy
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Hinsichtlich welcher Variablen soll ich denn differenzieren: x oder [mm] \lambda?
[/mm]
Hinsichtlich x: [mm] (\lambda^{\alpha}*f(x))'=\lambda^{\alpha}*f'(x)
[/mm]
Hinsichtlich [mm] \lambda: (\lambda^{\alpha}*f(x))'=\alpha*\lambda^{\alpha-1}*f(x)
[/mm]
Inwiefern hilft mir das dabei, den geforderten Ausdruck nachzuweisen?
Beste Grüße
mathe_thommy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:56 Di 03.05.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hinsichtlich welcher Variablen soll ich denn
> differenzieren: x oder [mm]\lambda?[/mm]
>
> Hinsichtlich x:
> [mm](\lambda^{\alpha}*f(x))'=\lambda^{\alpha}*f'(x)[/mm]
> Hinsichtlich [mm]\lambda: (\lambda^{\alpha}*f(x))'=\alpha*\lambda^{\alpha-1}*f(x)[/mm]
>
> Inwiefern hilft mir das dabei, den geforderten Ausdruck
> nachzuweisen?
Du bist wirklich beratungsresistent !
Was habe ich Dir gesagt ? Das:
"definiere [mm] g(\lambda):=f(\lambda*x) [/mm] und berechne g'(1) einmal mit der Kettenregel und dann mit Hilfe der Gleichung
(*) $ [mm] f(\lambda\cdot{}x)= \lambda^{\alpha}f(x) [/mm] $"
Wenn ich g'(1) berechnen will, dann differenziere ich nach [mm] \lambda, [/mm] da g eine Funktion der Variablen [mm] \lanbda [/mm] ist.
Haben wir damit geklärt, wonach differenziert wird ? Schön ! War da so schwer ?
Gestern Abend hast Du mit der Kettenregel das richtige Resultat erhalten:
$g'(1)=x*f'(x)$.
Wegen (*) ist
(**) [mm] $g(\lambda)=\lambda^{\alpha}f(x)$.
[/mm]
Frage: wonach differenzieren wir nun ? Nach x, nach [mm] \lambda [/mm] , nach [mm] \mu [/mm] oder nach z ?
Na klar, wir differenzieren in (*) wieder nach [mm] \lambda [/mm] und bekommen
[mm] $g'(\lambda)=\alpha*\lambda^{\alpha-1}f(x)$.
[/mm]
Damit ist
$g'(1)= [mm] \alpha [/mm] f(x)$
Wir haben also g'(1) auf 2 Arten bekommen. Es resultiert
$x*f'(x)=g'(1)= [mm] \alpha [/mm] f(x)$
Die Aufgabenstellung lautete: "drücke [mm] $(\nabla [/mm] f) (x)*x$ in f(x) aus "
Bingo, das haben wir jetzt:
[mm] $(\nabla [/mm] f) [mm] (x)*x=\alpha [/mm] f(x)$.
Hat Dir das nun geholfen, den geforderten Ausdruck nachzuweisen?
Ich hoffe für Dich.
FRED
>
> Beste Grüße
> mathe_thommy
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Jetzt konnte ich deine Überlegungen nachvollziehen! Besten Dank für die ausführliche Hilfe, FRED!
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