Funktion mit mehreren Variable < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegebene Funktion: u= log(x0)+ [mm] \bruch{2}{3}log(x1)+ \bruch{3}{4}(x2) [/mm] u.d.B.d. x0+x1+x2= 100.
Finde x0, x1,x2 heraus. |
Da die Funktionen mehrere Unbekannte hat, verwende ich den Lagrange-Ansatz um die Funktion mit mehreren Unbekannten zu lösen:
u= [mm] log(x_{0})+ \bruch{2}{3}log(x_{1})+ \bruch{3}{4}(x_{2}) [/mm] + [mm] \lambda(x_{0}+x_{1}+x_{2})= [/mm] 100
Hier die partiellen Ableitungen erster Ordnung:
x0: [mm] \bruch{1}{x_{0}*ln10} [/mm] + [mm] \lambda=0 [/mm] (1)
x1: [mm] \bruch{2}{3x_{1}*ln10}+ \lambda=0 [/mm] (2)
x2: [mm] \bruch{3}{4}+ \lambda=0 [/mm] (3)
Aus (1) und (2) folgt: x1= [mm] \bruch{2x_{0}}{3}
[/mm]
Wenn ich nun (2) und (3) gleichsetze bekomme ich keinen Ausdruck für x2, da das x2 nach der partiellen Ableitung weggefallen ist.
-> Um die Gleichung [mm] x_{0}+x_{1}+x_{2}=100 [/mm] zu lösen fehlt mir noch einen Ausdruck für x2=.....X0.
Wie kann ich die Gleichung mit den partiellen Ableitungen auf eine unbekannte [mm] Variable(x_{0}, x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2}) [/mm] reduzieren, so dass ich [mm] x_{0}+x_{1}+x_{2} [/mm] bestimmen kann?
Die Lösung ist [mm] x_{0}= \bruch{600}{11} [/mm] , [mm] x_{1}=\bruch{300}{11} [/mm] und [mm] x_{2}=\bruch{200}{11}.
[/mm]
Leider habe ich keinen Lösungsweg dazu.
Vielen Dank für dein resp. euer Engagement!
Freundliche Grüsse Nico
P.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Gegebene Funktion: u= log(x0)+ [mm]\bruch{2}{3}log(x1)+ \bruch{3}{4}(x2)[/mm]
> u.d.B.d. x0+x1+x2= 100.
> Finde x0, x1,x2 heraus.
Ist das tatsächlich die Aufgabenstellung?!
Was spricht zB. gegen [mm] $x_0=x_1=20, x_2=60$
[/mm]
Das erfüllt die NB ... und ist doch auf Anhieb zu finden.
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Nicolas5 |
Hallo Schachuzipus,
vielen Dank für dein Input.
Ich habe die Frage aus dem Kontext genommen, da es sich um ein rein mathematisches Problem handelt.
Hier einen Kopie der originalen, ursprünglichen Aufgabe
(Meine Frage bezieht sich auf Teilaufgabe 1):
"Ein Individuum maximiere die intertemporale Nutzenfunktion
U(x0, x1, x2) = log x0 + δ1 log x1 + δ2x2
bei einer Erstausstattung von 100 und keiner Verzinsung. Die Budgetrestriktion ist
daher x0 + x1 + x2 = 100.
1. Berechnen sie den optimalen Konsumpfad zum Zeitpunkt 0, falls δ1 = 0.5,
δ2 = 1/3. (5 Punkte)
2. Berechnen sie den optimalen Konsumpfad zum Zeitpunkt 0, falls δ1 = 0.5,
δ2 = 0.25. (5 Punkte)
3. Ist das Individuum zeitkonsistent? (5 Punkte)
4. Nehmen wir an, eine Regierung wurde eine proportionale Steuer in H ¨ ohe von ¨
t = 3/14 auf den Konsum in der dritten Periode erheben. Die neue Budgetrestriktion ist x0 + x1 + (1 + t)x2 = 100. Andert dies die Antwort zu Frage 3.? ¨
(5 Punkte)
"
Die richtige Lösung ist, wie oben beschrieben: x0=600/11, x1=300/11,x2=200/11.
Doch welcher Weg führt zum Ziel (resp. zu dieser Lösung)?
Wichtige Anmerkung: Falls δ1 = 0.5. Ist dies eingesetzt in die Nutzenfunktion: [mm] \bruch{1}{1+[red]0.5[/red]} [/mm] , da es isch um einen Diskontierungsfaktor handelt, der angibt, wieviel weniger eine morgige Konsumeinheit aus heutiger Sicht wert ist.
MFG Nico
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Hallo nochmal,
na, der Zusammenhang ist ja nicht so spannend, du hast aber im Ausgangspost die entscheidende Information, nämlich, dass du die Funktion maximieren sollst, verschwiegen ...
Darauf wollte ich anspielen. Das Drumherum ist (mathemat.) nicht soooo wichtig 
Gruß
schachuzipus
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Hallo Nico,
> Gegebene Funktion: u= log(x0)+ [mm]\bruch{2}{3}log(x1)+ \bruch{3}{4}(x2)[/mm]
> u.d.B.d. x0+x1+x2= 100.
> Finde x0, x1,x2 heraus.
Wie kommst du auf die Koeffizienten von $u$?
In deiner Mitteilung schreibst du doch, dass du in Fall 1) bist mit [mm] $\delta_1=\frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $\delta_2=\frac{1}{3}$
[/mm]
Also [mm] $u(x_0,x_1,x_2)=\log(x_0)+\frac{1}{2}\log(x_1)+\frac{1}{3}x_2$
[/mm]
> Da die Funktionen mehrere Unbekannte hat, verwende ich den
> Lagrange-Ansatz um die Funktion mit mehreren Unbekannten zu
> lösen:
> u= [mm]log(x_{0})+ \bruch{2}{3}log(x_{1})+ \bruch{3}{4}(x_{2})[/mm] + [mm]\lambda(x_{0}+x_{1}+x_{2})=[/mm] 100
Du musst zuerst die Nebenbedingung umstellen:
[mm] $g(x_0,x_1,x_2)=x_0+x_1+x_2-100=0$
[/mm]
Dann hast du die Lagrangefunktion
[mm] $L(x_0,x_1,x_2,\lambda)=\log(x_0)+\frac{1}{2}\log(x_1)+\frac{1}{3}x_2+\lambda(x_0+x_1+x_2-100)$
[/mm]
Hier nun [mm] $\nabla L(x_0,x_1,x_2,\lambda)=0$ [/mm] lösen ...
> Hier die partiellen Ableitungen erster Ordnung:
> x0: [mm]\bruch{1}{x_{0}*ln10}[/mm] + [mm]\lambda=0[/mm] (1)
> x1: [mm]\bruch{2}{3x_{1}*ln10}+ \lambda=0[/mm] (2)
> x2: [mm]\bruch{3}{4}+ \lambda=0[/mm] (3)
Die nach [mm] $\lambda$ [/mm] fehlt noch ...
Und mit [mm] $\log$ [/mm] bezeichnet ihr den dekadischen Logarithmus?!
Und wie schon erwähnt scheint mir da mit den Koeffizienten was schiefgelaufen zu sein ...
>
> Aus (1) und (2) folgt: x1= [mm]\bruch{2x_{0}}{3}[/mm]
>
> Wenn ich nun (2) und (3) gleichsetze bekomme ich keinen
> Ausdruck für x2, da das x2 nach der partiellen Ableitung
> weggefallen ist.
> -> Um die Gleichung [mm]x_{0}+x_{1}+x_{2}=100[/mm] zu lösen fehlt
> mir noch einen Ausdruck für x2=.....X0.
> Wie kann ich die Gleichung mit den partiellen Ableitungen
> auf eine unbekannte [mm]Variable(x_{0}, x_{1}[/mm] oder [mm]x_{2})[/mm]
> reduzieren, so dass ich [mm]x_{0}+x_{1}+x_{2}[/mm] bestimmen kann?
>
> Die Lösung ist [mm]x_{0}= \bruch{600}{11}[/mm] ,
> [mm]x_{1}=\bruch{300}{11}[/mm] und [mm]x_{2}=\bruch{200}{11}.[/mm]
>
> Leider habe ich keinen Lösungsweg dazu.
>
> Vielen Dank für dein resp. euer Engagement!
>
> Freundliche Grüsse Nico
>
> P.s. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
schachuzipus
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Zu deinen beiden Fragen:
1. ich gehe davon aus, dass:
log(wie's in der Aufgabenstellung steht)= dekadischer logarithmus.
Damit ich ihn ableiten kann. Stimmt dies nicht?
2. der koeffizient ergibt sich aus 1/(1+δ), da es isch um eine exponentielle Diskontierung über mehrere Perioden handelt.
Unabhängig der Berechnung des Koeffizienten- Meine Frage an dich:
Wie komme ich auf die oben genannten Lösungen für die Variablen [mm] x_{0},x_{1},x_{2}?
[/mm]
Denn auch die partielle ableitung von [mm] \lambda: x_{0}+x_{1}+x_{2}-100=0
[/mm]
Bringt mich nicht zur gewünschten Lösung.
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mo 14.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 15.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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