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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Fr 16.12.2011 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | | ich soll mit der [mm] \delta-\varepsilon- [/mm] defintion zeigen, dass die potenzfunktion [mm] \IR \to \IR, x\mapsto x^n [/mm] stetig ist |
mir ist aber bisher nichts gutes eingefallen, wie ich [mm] |x^n-x_o^n| [/mm] geschickt umformen kann um eine abschätzung machen zu können... es ist auch das erste mal, dass wir diese definition anwenden.
kann mir jemand helfen? 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Fr 16.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> ich soll mit der [mm]\delta-\varepsilon-[/mm] defintion zeigen, dass
> die potenzfunktion [mm]\IR \to \IR, x\mapsto x^n[/mm] stetig ist
> mir ist aber bisher nichts gutes eingefallen, wie ich
> [mm]|x^n-x_o^n|[/mm] geschickt umformen kann um eine abschätzung
> machen zu können... es ist auch das erste mal, dass wir
> diese definition anwenden.
> kann mir jemand helfen?
Den Fall n=1 bekommst Du sicher selber hin.
Sei also n [mm] \ge [/mm] 2.
Es gilt:
[mm] x^n-x_0^n=(x-x_0)\summe_{i=0}^{n-1}x^ix_0^{n-1-i},
[/mm]
also
(*) [mm] $|x^n-x_0^n| \le |x-x_0|\summe_{i=0}^{n-1}|x|^i|x_0|^{n-1-i},
[/mm]
Da für die Stetigkeit in [mm] x_0 [/mm] nur solche x zu betrachten sind,die in der "Nähe" von [mm] x_0 [/mm] liegen, kannst Du [mm] |x-x_0| \le [/mm] 1 annehmen.
Dann ist
[mm] $|x|=|x-x_0+x_0| \le |x-x_0|+|x_0| \le 1+|x_0|$
[/mm]
Somit gibt es, wegen (*), ein c>0 mit:
[mm] $|x^n-x_0^n| \le c|x-x_0|$ [/mm] für [mm] |x-x_0| \le [/mm] 1
So nun leg mal los mit [mm] $\varepsilon- \delta [/mm] $
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:35 Fr 16.12.2011 | | Autor: | anabiene |
dies hier: $ [mm] x^n-x_0^n=(x-x_0)\summe_{i=0}^{n-1}x^ix_0^{n-1-i}, [/mm] $ hatte ich auch, nur kam ich da nicht weiter... *grummel* aber ich denke mit deinen weiteren tipps schaffe ich es. ich melde mich auf jeden fall noch mal, ob ichs geschafft hab oder noch ein tipp brauch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Fr 16.12.2011 | | Autor: | anabiene |
eine kurze frage. du hast geschieben [mm] |x^n-x_0^n| \le |x-x_0|\summe_{i=0}^{n-1}|x|^i|x_0|^{n-1-i}
[/mm]
müsste es dann nicht heißen: "Somit gibt es ein c [mm] \ge0 [/mm] also größer gleich mit:
$ [mm] |x^n-x_0^n| \le c|x-x_0| [/mm] $ "
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> eine kurze frage. du hast geschieben [mm]|x^n-x_0^n| \le |x-x_0|\summe_{i=0}^{n-1}|x|^i|x_0|^{n-1-i}[/mm]
>
> müsste es dann nicht heißen: "Somit gibt es ein c [mm]\ge0[/mm]
> also größer gleich mit:
>
> [mm]|x^n-x_0^n| \le c|x-x_0|[/mm] "
Falls schon c=0 die Ungleichung erfüllt, so erfüllen auch
alle positiven c die Ungleichung.
Und in den allermeisten (und wichtigen) Fällen ist der
Fall c=0 ohnehin illusorisch.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Fr 16.12.2011 | | Autor: | anabiene |
danke
ich glaube ich habe es noch nicht ganz verstanden. ich habs ein bissel anders probiert:
[mm] |f(x)-f(x_o)|=|x^n-x_o^n|=\vmat{ (x-x_o)\summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} } [/mm] = [mm] |x-x_o|\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} } [/mm] <
[mm] \delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} } [/mm] < [mm] \delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^kx_o^{n-1-k} } [/mm] < [mm] \delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^k(x_o+1)^{n-1-k} } [/mm]
= [mm] \delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^{k+n-1-k} } [/mm] = [mm] \delta\cdot\vmat{ (x_o+1)^{n-1} } [/mm] < [mm] \delta\cdot |x_o+1|^{n-1} \le \varepsilon \gdw \delta \le \bruch {\varepsilon}{|x_o+1|^{n-1}}
[/mm]
geht das so auch?
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> danke
>
> ich glaube ich habe es noch nicht ganz verstanden. ich habs
> ein bissel anders probiert:
>
> [mm]|f(x)-f(x_o)|=|x^n-x_o^n|=\vmat{ (x-x_o)\summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} }[/mm]
> = [mm]|x-x_o|\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} }[/mm] <
>
> [mm]\delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}x^kx_o^{n-1-k} }[/mm] <
> [mm]\delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^kx_o^{n-1-k} }[/mm]
> < [mm]\delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^k(x_o+1)^{n-1-k} }[/mm]
>
> = [mm]\delta\cdot\vmat{ \summe_{k=0}^{n-1}(x_o+1)^{k+n-1-k} }[/mm] =
> [mm]\delta\cdot\vmat{ (x_o+1)^{n-1} }[/mm] < [mm]\delta\cdot |x_o+1|^{n-1} \le \varepsilon \gdw \delta \le \bruch {\varepsilon}{|x_o+1|^{n-1}}[/mm]
>
>
> geht das so auch?
Das ist jedenfalls auch eine gute Idee. Zu prüfen wäre noch,
ob die Abschätzung mittels [mm] x_0+1 [/mm] auch für negative [mm] x_0
[/mm]
wirklich in Ordnung ist.
Mit kleinen Modifikationen (bzw. einer Fallunterscheidung)
sollte das Ganze aber machbar sein.
Man sollte wohl [mm] |x_0|+1 [/mm] betrachten anstatt [mm] x_0+1 [/mm] !
LG Al-Chw.
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