Funktion surj, Umkehrfunktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Fr 19.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei D:=[-2,-1[ [mm] \cup [/mm] [1,2] und f:D [mm] \to \IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x):=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } -2 \le x < -1 \\ x-1, & \mbox{für } 1 \le x \le 2 \end{cases}
[/mm]
Zeigen Sie, dass f als Abbildung D [mm] \to [/mm] [-1,1] stetig, streng monoton wachsend und bijektiv ist. Ermitteln Sie die Umkehrfunktion g:[-1,1] -> D explizit und begründen Sie, warum g im Punkt 0 nicht stetig ist. |
Hallo zusammen,
Skizze ist gemacht.
Stetigkeit:
f ist im Definitionsbereich stetig da es jeweils in den Intervallen eine Verknüpfung stetiger Funktionen ist. Ist hier mehr gefordert zu zeigen?
Monotonie:
f ist im Intervall [-2,-1[ und [1,2] streng monoton wachsend.
Und für alle [mm] \epsilon> [/mm] 0 mit x [mm] \in [/mm] [-2,-1[ und x+ [mm] \epsilon \in [/mm] [1,2] gilt
f(x) = x-1 < x < x+ [mm] \epsilon [/mm] +1 =f(x+ [mm] \epsilon)
[/mm]
Reicht das so??
Inj:
Als streng monotone Funktion ist f injektiv.
Surj:
Da f stetig ist gilt der Zwischenwertsatz. Nach dem Zwischenwertsatz gilt [mm] \forall c\in \IR [/mm] mit f(1)=0 [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] f(2)=1, dass [mm] \exists x_0 \in [/mm] [0,1]: [mm] f(x_0)=c
[/mm]
Nun bin ich mir nicht sicher ob ich so weiter argumentieren darf, weil f(-1) nicht definiert ist:
Sei [mm] (h_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge mit [mm] h_n [/mm] -> 0 (n -> [mm] \infty) [/mm] mit [mm] h_n [/mm] <0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: [/mm] f(-2)=-1 [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] f(-1 + [mm] h_n)= -1+h_n+1=h_n
[/mm]
Demnach [mm] \exists x_0 \in [/mm] [-1, [mm] h_n] [/mm] sodass [mm] f(x_0)=c
[/mm]
Umkehrfunktion g:[-1,1] [mm] \to [/mm] D
f(x)=y=x +1 [mm] \Rightarrow [/mm] x=y-1 für [mm] -2\le [/mm] x<-1
f(x)=y=x-1 [mm] \Rightarrow [/mm] x=y+1 für 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
[mm] g(y):=\begin{cases} y-1, & \mbox{für } -1 \le y < 0\\ y+1, & \mbox{für }0 \le y \le 1 \end{cases}
[/mm]
Unstetigkeit im Punkt 0 von g:
Sei [mm] (y_n)_{n \in \IN} [/mm] eine Folge in [-1,1] mit [mm] y_n->0 (n->\infty) [/mm] mit [mm] y_n [/mm] <0 [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] lim_{n->\infty} g(y_n)=lim_{n->\infty}y_n [/mm] - [mm] 1=-1\not=1=f(0)
[/mm]
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:17 Sa 20.12.2014 | | Autor: | hippias |
> Es sei D:=[-2,-1[ [mm]\cup[/mm] [1,2] und f:D [mm]\to \IR[/mm] definiert
> durch
> [mm]f(x):=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } -2 \le x < -1 \\ x-1, & \mbox{für } 1 \le x \le 2 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f als Abbildung D [mm]\to[/mm] [-1,1] stetig,
> streng monoton wachsend und bijektiv ist. Ermitteln Sie die
> Umkehrfunktion g:[-1,1] -> D explizit und begründen Sie,
> warum g im Punkt 0 nicht stetig ist.
> Hallo zusammen,
>
> Skizze ist gemacht.
>
> Stetigkeit:
> f ist im Definitionsbereich stetig da es jeweils in den
> Intervallen eine Verknüpfung stetiger Funktionen ist. Ist
> hier mehr gefordert zu zeigen?
Das waere mir zu schwammig. Einerseits liegt keine -offensichtliche-Verknuepfung von Funktionen vor, sondern eine stueckweise definierte Funktion. Wichtiger ist aber, dass eine stueckweise stetige Funktion nicht stetig zu sein braucht. Ich wuerde also schon die Definition der Steitigkeit diskutieren, mich aber im wesentlichen auf die Randpunkte beschraenken.
>
> Monotonie:
> f ist im Intervall [-2,-1[ und [1,2] streng monoton
> wachsend.
> Und für alle [mm]\epsilon>[/mm] 0 mit x [mm]\in[/mm] [-2,-1[ und x+
> [mm]\epsilon \in[/mm] [1,2] gilt
> f(x) = x-1 < x < x+ [mm]\epsilon[/mm] +1 =f(x+ [mm]\epsilon)[/mm]
> Reicht das so??
Das sieht zwar verboten aus, aber Du hast gezeigt, dass $f(a)<f(b)$ fuer [mm] $a\in [/mm] [-2,-1[$ und [mm] $b\in [/mm] [1,2]$ gilt. Wie steht's mit [mm] $a,b\in [/mm] [-2,-1[$ und [mm] $a,b\in [/mm] [1,2]$?
>
> Inj:
> Als streng monotone Funktion ist f injektiv.
O.K.
>
> Surj:
> Da f stetig ist gilt der Zwischenwertsatz. Nach dem
> Zwischenwertsatz gilt [mm]\forall c\in \IR[/mm] mit f(1)=0 [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm]
> f(2)=1, dass [mm]\exists x_0 \in[/mm] [0,1]: [mm]f(x_0)=c[/mm]
>
> Nun bin ich mir nicht sicher ob ich so weiter argumentieren
> darf, weil f(-1) nicht definiert ist:
> Sei [mm](h_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge mit [mm]h_n[/mm] -> 0 (n ->
> [mm]\infty)[/mm] mit [mm]h_n[/mm] <0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN:[/mm]
> f(-2)=-1 [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] f(-1 + [mm]h_n)= -1+h_n+1=h_n[/mm]
> Demnach
> [mm]\exists x_0 \in[/mm] [-1, [mm]h_n][/mm] sodass [mm]f(x_0)=c[/mm]
Das ist aber unheimlich kompliziert! $f$ ist monoton wachsend, daher ist [mm] $\min [/mm] Bild f= f(-2)=-1$ und [mm] $\max [/mm] Bild f= f(2)=1$. Da $f$ stetig ist, nimmt $f$ nach dem Zwischenwertsatz auch alle Werte dazwischen an.
>
> Umkehrfunktion g:[-1,1] [mm]\to[/mm] D
> f(x)=y=x +1 [mm]\Rightarrow[/mm] x=y-1 für [mm]-2\le[/mm] x<-1
> f(x)=y=x-1 [mm]\Rightarrow[/mm] x=y+1 für 1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 2
> [mm]g(y):=\begin{cases} y-1, & \mbox{für } -1 \le y < 0\\ y+1, & \mbox{für }0 \le y \le 1 \end{cases}[/mm]
O.K.
>
> Unstetigkeit im Punkt 0 von g:
> Sei [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge in [-1,1] mit [mm]y_n->0 (n->\infty)[/mm]
> mit [mm]y_n[/mm] <0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]lim_{n->\infty} g(y_n)=lim_{n->\infty}y_n[/mm]
> - [mm]1=-1\not=1=f(0)[/mm]
Ich schaetze, da soll $g(0)$ statt $f(0)$ gemeint sein. Wenn Du Unstetigkeit nachweisen moechtest, musst Du eine Folge angeben, die das Stetigkeitskriterium verletzt. Du hast Dir ihre Eigenschaften passend ueberlegt. Wie lautet also eine solche konkret?
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Sa 20.12.2014 | | Autor: | sissile |
> > Stetigkeit:
> > f ist im Definitionsbereich stetig da es jeweils in den
> > Intervallen eine Verknüpfung stetiger Funktionen ist. Ist
> > hier mehr gefordert zu zeigen?
> Das waere mir zu schwammig. Einerseits liegt keine
> -offensichtliche-Verknuepfung von Funktionen vor, sondern
> eine stueckweise definierte Funktion. Wichtiger ist aber,
> dass eine stueckweise stetige Funktion nicht stetig zu sein
> braucht. Ich wuerde also schon die Definition der
> Steitigkeit diskutieren, mich aber im wesentlichen auf die
> Randpunkte beschraenken.
Ja das stimmt, wenn die beiden Teilintervalle offen wären wäre die stetigkeit von f ja klar.
Die Funktion f ist stückweise stetig, also die Einschränkungen [mm] f|_{[-2,-1)} [/mm] und [mm] f|_{[1,2]} [/mm] sind stetig.
Da:
[mm] 1)\forall \epsilon_1>0, \forall x\in [/mm] [-2,-1) [mm] mit|x-x_0|< \delta_1:=\epsilon_1 [/mm] gilt:
[mm] |f|_{[-2,-1)}(x_0)-f|_{[-2,-1)}(x)| [/mm] = [mm] |x_0 [/mm] +1 - x -1| = [mm] |x_0 [/mm] - x|< [mm] \delta_1= \epsilon_1
[/mm]
[mm] 2)\forall \epsilon_2>0, \forall x\in [/mm] [1,2] [mm] mit|x-x_0|< \delta_2:=\epsilon_2 [/mm] gilt:
[mm] |f|_{[1,2]}(x_0)-f|_{[1,2]}(x)| [/mm] = [mm] |x-1-x_0+1| =|x-x_0|=|(-1)*(x-x_0)|= |x_0 [/mm] - x|< [mm] \delta_2= \epsilon_2
[/mm]
Aber wie soll ich das allgemein für f machen?
> >
> > Unstetigkeit im Punkt 0 von g:
> > Sei [mm](y_n)_{n \in \IN}[/mm] eine Folge in [-1,1] mit [mm]y_n->0 (n->\infty)[/mm]
> > mit [mm]y_n[/mm] <0 [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> > [mm]lim_{n->\infty} g(y_n)=lim_{n->\infty}y_n[/mm]
> > - [mm]1=-1\not=1=f(0)[/mm]
> Ich schaetze, da soll [mm]g(0)[/mm] statt [mm]f(0)[/mm] gemeint sein. Wenn
> Du Unstetigkeit nachweisen moechtest, musst Du eine Folge
> angeben, die das Stetigkeitskriterium verletzt. Du hast Dir
> ihre Eigenschaften passend ueberlegt. Wie lautet also eine
> solche konkret?
Warum? Hab ich hier nicht gezeigt, dass der Linksseitige [mm] Limes((y_n)_{n\in \IN} [/mm] war ja eine beliebige Folge mit den Eigenschaften) nicht mit den Funktionswert übereinstimmt und deshalb die Funktion nicht stetig ist an 0?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Sa 20.12.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
bist du sicher du hast die Aufgabe richtig geschrieben, dann ist f(x) für -1<x<1 nicht definiert?? wie willst du dann irgendwas zeigen in dem Intervall?
Gruß leduart
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 20:12 Sa 20.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> bist du sicher du hast die Aufgabe richtig geschrieben,
> dann ist f(x) für -1<x<1 nicht definiert?? wie willst du
> dann irgendwas zeigen in dem Intervall?
dort ging es um die Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}$ [/mm] von [mm] $f\,$ [/mm] (wobei schon [mm] $f\,$ [/mm] als *neue*
Funktion [mm] $[-2,-1[\cup[1,2] \to \red{\,[-1,1]\,}$ [/mm] aufgefasst wurde), die auch als [mm] $g\,$
[/mm]
bezeichnet wurde. Die Aufgabenstellung wirkt absolut korrekt!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Sa 20.12.2014 | | Autor: | hippias |
> > Ich schaetze, da soll [mm]g(0)[/mm] statt [mm]f(0)[/mm] gemeint sein.
> Wenn
> > Du Unstetigkeit nachweisen moechtest, musst Du eine Folge
> > angeben, die das Stetigkeitskriterium verletzt. Du hast Dir
> > ihre Eigenschaften passend ueberlegt. Wie lautet also eine
> > solche konkret?
>
> Warum? Hab ich hier nicht gezeigt, dass der Linksseitige
> [mm]Limes((y_n)_{n\in \IN}[/mm] war ja eine beliebige Folge mit den
> Eigenschaften) nicht mit den Funktionswert übereinstimmt
> und deshalb die Funktion nicht stetig ist an 0?
Worauf ich hinaus will, ist folgendes: Du hast gesagt, wenn es eine Folge [mm] $y_{n}$ [/mm] mit den und den Eigenschaften gibt, dann folgt, dass $g$ nicht stetig ist. Aber gibt es auch tatsaechlich eine solche Folge [mm] $y_{n}$? [/mm] Ich koennte ja auch sagen: Sei [mm] $y_{n}$ [/mm] eine Nullfolge mit [mm] $\lim y_{n}^{2}=1$. [/mm] Dann gilt fuer $f(x):= [mm] x^{2}$, [/mm] dass [mm] $\lim f(y_{n})=1\neq [/mm] f(0)$. Also ist $f(x)= [mm] x^{2}$ [/mm] unstetig.
Hier ist ihre Existenz zwar offensichtlich, gehoert meiner Meinung nach aber unbedingt zur Vervollstaendigung des Beweises.
>
> LG,
> sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Sa 20.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> > > Stetigkeit:
> > > f ist im Definitionsbereich stetig da es jeweils in
> den
> > > Intervallen eine Verknüpfung stetiger Funktionen ist. Ist
> > > hier mehr gefordert zu zeigen?
> > Das waere mir zu schwammig. Einerseits liegt keine
> > -offensichtliche-Verknuepfung von Funktionen vor, sondern
> > eine stueckweise definierte Funktion. Wichtiger ist aber,
> > dass eine stueckweise stetige Funktion nicht stetig zu sein
> > braucht. Ich wuerde also schon die Definition der
> > Steitigkeit diskutieren, mich aber im wesentlichen auf die
> > Randpunkte beschraenken.
>
> Ja das stimmt, wenn die beiden Teilintervalle offen wären
> wäre die stetigkeit von f ja klar.
>
> Die Funktion f ist stückweise stetig, also die
> Einschränkungen [mm]f|_{[-2,-1)}[/mm] und [mm]f|_{[1,2]}[/mm] sind stetig.
> Da:
> [mm]1)\forall \epsilon_1>0, \forall x\in[/mm] [-2,-1) [mm]mit|x-x_0|< \delta_1:=\epsilon_1[/mm]
> gilt:
> [mm]|f|_{[-2,-1)}(x_0)-f|_{[-2,-1)}(x)|[/mm] = [mm]|x_0[/mm] +1 - x -1| =
> [mm]|x_0[/mm] - x|< [mm]\delta_1= \epsilon_1[/mm]
> [mm]2)\forall \epsilon_2>0, \forall x\in[/mm]
> [1,2] [mm]mit|x-x_0|< \delta_2:=\epsilon_2[/mm] gilt:
> [mm]|f|_{[1,2]}(x_0)-f|_{[1,2]}(x)|[/mm] = [mm]|x-1-x_0+1| =|x-x_0|=|(-1)*(x-x_0)|= |x_0[/mm]
> - x|< [mm]\delta_2= \epsilon_2[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Aber wie soll ich das allgemein für f machen?
wo ist das Problem? Sei $x_0 \in D=[-2,-1[ \cup [1,2]\,.$ Dann gilt
1. Fall: $x_0 \in [-2,-1[$
oder
2. Fall: $x_0 \in [1,2]\,.$
1. Fall: Wenn $x_n \in D$ mit $x_n \to x_0$ ist, dann folgt $x_n \in [-2,-1[$ für fast
alle $n\,,$ ich sage einfach nur noch "für alle $x_n$ mit $n\,$ hinreichend groß".
Dann gilt für diese $x_n$ mit $n\,$ hinreichend groß:
$f(x_n)=\left.f\right|_{[-2,-1[}(x_n)$
Jetzt nutze die Stetigkeit von $\left.f\right|_{[-2,-1[}$ (in $x_0=-2$ wäre allerdings
hier *nur* "stetig=rechtsstetig").
2. Fall: analog.
Wichtig ist hier: $[-2,-1[$ und $[0,1]\,$ haben KEINEN gemeinsamen Häufungspunkt.
Hätten Sie einen, so müßtest Du ggf. *an dieser Schnittstelle* aufpassen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 So 21.12.2014 | | Autor: | sissile |
Vielen lieben Dank für die Hilfe Hippias & Marcel !!
Schönen vierten Advent euch beiden,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:36 So 21.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Vielen lieben Dank für die Hilfe Hippias & Marcel !!
> Schönen vierten Advent euch beiden,
Danke. Dir auch. (War mir gar nicht aufgefallen, dass es schon der 4. Advent
ist). Und frohe Festtage wünsche ich!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Sa 20.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Es sei D:=[-2,-1[ [mm]\cup[/mm] [1,2] und f:D [mm]\to \IR[/mm] definiert
> durch
> [mm]f(x):=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } -2 \le x < -1 \\ x-1, & \mbox{für } 1 \le x \le 2 \end{cases}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass f als Abbildung D [mm]\to[/mm] [-1,1] stetig,
> streng monoton wachsend und bijektiv ist. Ermitteln Sie die
> Umkehrfunktion g:[-1,1] -> D explizit und begründen Sie,
> warum g im Punkt 0 nicht stetig ist.
> Surj:
> Da f stetig ist gilt der Zwischenwertsatz. Nach dem
> Zwischenwertsatz gilt [mm]\forall c\in \IR[/mm] mit f(1)=0 [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm]
> f(2)=1, dass [mm]\exists x_0 \in[/mm] [0,1]: [mm]f(x_0)=c[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Nun bin ich mir nicht sicher ob ich so weiter argumentieren
> darf, weil f(-1) nicht definiert ist:
mit dem Zwischenwertsatz folgt sofort
$f([1,2])=[0,1]\,.$
Wende ihn auf $\left.f\right|_{[1,2]}$ an!
Eine Möglichkeit für den Rest: Die (eigentlich schon offensichtlich
surjektive) Funktion
$\left.f\right|_{[-2,-1[} \colon$ $[-2,-1[\; \longrightarrow [-1,0[$
kannst Du an der Stelle $-1\,$ stetig ergänzen. Nenne die ergänzte Funktion
$g\,.$ Dann kannst Du auf $g\,$ den Zwischenwertsatz anwenden. Dann ist sicherlich
$[-1,1]=((g([-2,-1]) \setminus \{g(-1)\}) \cup \left.f\right|_{[1,2]})$ $\,=\,$ ($[-1,0]\setminus \{0\}$) $\cup$ $[0,1]$
$\,=\,$ $f([-2,-1[\; \cup\; [1,2])$ $\subseteq$ $f([-2,-1[)\,\cup\,f([1,2])=\left.f\right|_{[-2,-1[}([-2,-1[) \cup \left.f\right|_{[1,2]}([1,2])\,.$
Daraus folgt die Surjektivität von $f\,.$
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:59 Sa 20.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei D:=[-2,-1[ [mm]\cup[/mm] [1,2] und f:D [mm]\to \IR[/mm] definiert
> durch
> [mm]f(x):=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } -2 \le x < -1 \\ x-1, & \mbox{für } 1 \le x \le 2 \end{cases}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
weil das irgendwie unklar zu sein scheint: Dass $f\,$ stetig ist, sieht man sofort.
Und da braucht man auch nichts mit Randpunkten zu argumentieren:
$\left.f\right|_{[-2,-1[}$ und $\left.f\right|_{[1,2]}$
sind offensichtlich stetig. Hieraus folgt sofort, dass $f\,$ stetig ist, weil eine Funktion
stetig ist genau dann, wenn sie auf ihrem Definitionsbereich stetig ist. Und
an keiner der Stellen aus $\{-2,\,-1,\,1,\,2\}$ kann hier ein Problem auftreten.
(Mach' das Dir meinetwegen mit "stetig=folgenstetig" klar!)
Was anderes wäre es, wenn man etwa
$f(x):=x+1$ für $0 \le x < 1\,$ und $f(x):=x-1$ für $1 \le x \le 2$
hätte. Dort gibt es dann nämlich einen linksseitigen und einen rechtsseitigen
Grenzwert an $1\,.$
Bei der obigen Funktion $f\,$ haben wir "solch' eine Veränderung" nicht!
Gruß,
Marcel
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